2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競賽均值不等式試卷一、選擇題（共5小題，每小題7分，滿分35分）1.若正實數(shù)(a)，(b)滿足(a+2b=3)，則(ab)的最大值為（）A.(\frac{9}{8})B.(\frac{3}{2})C.1D.(\frac{9}{4})2.已知(x>0)，則代數(shù)式(x+\frac{4}{x}+3)的最小值為（）A.4B.5C.7D.93.若實數(shù)(a)，(b)滿足(a^2+b^2=10)，則(ab)的取值范圍是（）A.([-5,5])B.([0,5])C.([-10,10])D.([0,10])4.設(shè)(a)，(b)為正數(shù)，且(a+b=1)，則(\frac{1}{a}+\frac{1})的最小值為（）A.2B.4C.6D.85.若(x>3)，則(x+\frac{1}{x-3})的最小值為（）A.3B.4C.5D.6二、填空題（共5小題，每小題7分，滿分35分）6.已知正實數(shù)(x)，(y)滿足(2x+y=4)，則(xy)的最大值為________。7.若(a>0)，(b>0)，且(ab=4)，則(a+b)的最小值為________。8.函數(shù)(y=x(5-2x))（(0<x<\frac{5}{2})）的最大值為________。9.已知(x)，(y)為正數(shù)，且(\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1)，則(x+y)的最小值為________。10.若實數(shù)(a)，(b)滿足(a+b=6)，則(a^2+b^2)的最小值為________。三、解答題（共4小題，每小題20分，滿分80分）11.（1）已知(x>0)，求(y=x+\frac{9}{x})的最小值，并求出此時(x)的值。（2）若(x>-1)，求(y=x+1+\frac{4}{x+1})的最小值。12.（1）已知正實數(shù)(a)，(b)滿足(a+2b=5)，求(ab)的最大值。（2）若(a>0)，(b>0)，且(a+b=3)，求(\frac{1}{a}+\frac{2})的最小值。13.（1）設(shè)(x)，(y)為正數(shù)，且(2x+3y=12)，求(xy)的最大值。（2）已知(x>0)，(y>0)，且(x+y=1)，求證：((1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})\geq9)。14.某工廠要建造一個長方體無蓋蓄水池，其容積為(4800m^3)，深為(3m)。如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低？最低總造價是多少元？參考答案及解析一、選擇題A解析：由均值不等式得(a+2b\geq2\sqrt{2ab})，即(3\geq2\sqrt{2ab})，平方得(9\geq8ab)，故(ab\leq\frac{9}{8})，當(dāng)且僅當(dāng)(a=2b=\frac{3}{2})時取等號。C解析：(x+\frac{4}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{4}{x}}=4)，故(x+\frac{4}{x}+3\geq4+3=7)，當(dāng)且僅當(dāng)(x=2)時取等號。A解析：由(a^2+b^2\geq2|ab|)得(10\geq2|ab|)，即(|ab|\leq5)，故(-5\leqab\leq5)。B解析：(\frac{1}{a}+\frac{1}=(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1})=2+\frac{a}+\frac{a}\geq2+2\sqrt{\frac{a}\cdot\frac{a}}=4)，當(dāng)且僅當(dāng)(a=b=\frac{1}{2})時取等號。C解析：令(t=x-3)（(t>0)），則(x=t+3)，原式(=t+3+\frac{1}{t}\geq2\sqrt{t\cdot\frac{1}{t}}+3=5)，當(dāng)且僅當(dāng)(t=1)（即(x=4)）時取等號。二、填空題2解析：(2x+y\geq2\sqrt{2xy})，即(4\geq2\sqrt{2xy})，解得(xy\leq2)，當(dāng)且僅當(dāng)(2x=y=2)時取等號。4解析：(a+b\geq2\sqrt{ab}=2\sqrt{4}=4)，當(dāng)且僅當(dāng)(a=b=2)時取等號。(\frac{25}{8})解析：(y=x(5-2x)=\frac{1}{2}\cdot2x(5-2x)\leq\frac{1}{2}\cdot(\frac{2x+5-2x}{2})^2=\frac{25}{8})，當(dāng)且僅當(dāng)(2x=5-2x)，即(x=\frac{5}{4})時取等號。16解析：(x+y=(x+y)(\frac{1}{x}+\frac{9}{y})=1+9+\frac{y}{x}+\frac{9x}{y}\geq10+2\sqrt{\frac{y}{x}\cdot\frac{9x}{y}}=16)，當(dāng)且僅當(dāng)(\frac{y}{x}=\frac{9x}{y})，即(y=3x)時取等號。18解析：由(a^2+b^2\geq\frac{(a+b)^2}{2}=\frac{36}{2}=18)，當(dāng)且僅當(dāng)(a=b=3)時取等號。三、解答題（1）最小值為6，此時(x=3)。解析：(y=x+\frac{9}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{9}{x}}=6)，當(dāng)且僅當(dāng)(x=3)時取等號。（2）最小值為4，此時(x=1)。解析：令(t=x+1)（(t>0)），則(y=t+\frac{4}{t}\geq2\sqrt{t\cdot\frac{4}{t}}=4)，當(dāng)且僅當(dāng)(t=2)（即(x=1)）時取等號。（1）最大值為(\frac{25}{8})。解析：(a+2b=5\geq2\sqrt{2ab})，平方得(25\geq8ab)，故(ab\leq\frac{25}{8})，當(dāng)且僅當(dāng)(a=2b=\frac{5}{2})時取等號。（2）最小值為(1+\frac{2\sqrt{2}}{3})。解析：(\frac{1}{a}+\frac{2}=\frac{1}{3}(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{2})=\frac{1}{3}(1+2+\frac{a}+\frac{2a})\geq\frac{1}{3}(3+2\sqrt{2})=1+\frac{2\sqrt{2}}{3})，當(dāng)且僅當(dāng)(b=\sqrt{2}a)時取等號。（1）最大值為6。解析：(2x+3y=12\geq2\sqrt{6xy})，平方得(144\geq24xy)，故(xy\leq6)，當(dāng)且僅當(dāng)(2x=3y=6)，即(x=3)，(y=2)時取等號。（2）證明：((1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})=(1+\frac{x+y}{x})(1+\frac{x+y}{y})=(2+\frac{y}{x})(2+\frac{x}{y})=4+2(\frac{y}{x}+\frac{x}{y})+1\geq5+4=9)，當(dāng)且僅當(dāng)(x=y=\frac{1}{2})時取等號。當(dāng)池底長和寬均為(40m)時，總造價最低，最低總造價為297600元。解析：設(shè)池底長為(xm)，寬為(ym)，則