2025年下學期初中數(shù)學競賽琴生不等式試卷一、選擇題（共5小題，每題7分，共35分）1.若函數(shù)(f(x)=x^2)在區(qū)間((0,+\infty))上是下凸函數(shù)，且(a,b>0)，則下列不等式成立的是（）A.(f\left(\frac{a+b}{2}\right)\leq\frac{f(a)+f(b)}{2})B.(f\left(\frac{a+b}{2}\right)\geq\frac{f(a)+f(b)}{2})C.(f\left(\frac{a+b}{2}\right)=\frac{f(a)+f(b)}{2})D.無法確定2.在(\triangleABC)中，(\sinA+\sinB+\sinC)的最大值為（）A.(\frac{3}{2})B.(\sqrt{3})C.(\frac{3\sqrt{3}}{2})D.(2\sqrt{3})3.已知正實數(shù)(x,y,z)滿足(x+y+z=3)，則(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})的最大值為（）A.(3)B.(\sqrt{3})C.(3\sqrt{3})D.(9)4.若函數(shù)(f(x)=\lnx)（(x>0)）是上凸函數(shù)，則對于正數(shù)(a,b,c)，下列不等式正確的是（）A.(\ln\left(\frac{a+b+c}{3}\right)\geq\frac{\lna+\lnb+\lnc}{3})B.(\ln\left(\frac{a+b+c}{3}\right)\leq\frac{\lna+\lnb+\lnc}{3})C.(\ln(a+b+c)\geq\lna+\lnb+\lnc)D.(\ln(a+b+c)\leq\lna+\lnb+\lnc)5.設(x,y>0)，且(x+2y=1)，則(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})的最小值為（）A.(3+2\sqrt{2})B.(4\sqrt{2})C.(5)D.(6)二、填空題（共5小題，每題7分，共35分）6.已知函數(shù)(f(x)=x^2-2x)在區(qū)間([0,2])上是下凸函數(shù)，若(a,b\in[0,2])且(a+b=2)，則(f(a)+f(b))的最小值為________．7.在(\triangleABC)中，若(A=B=C=60^\circ)，則(\cosA+\cosB+\cosC=)________．8.正實數(shù)(a,b,c)滿足(a+b+c=1)，則((a+\frac{1}{a})+(b+\frac{1})+(c+\frac{1}{c}))的最小值為________．9.若(x,y,z>0)，且(xyz=8)，則(x+y+z)的最小值為________．10.已知函數(shù)(f(x)=\sinx)在([0,\pi])上是上凸函數(shù)，若(\alpha,\beta\in[0,\pi])且(\alpha+\beta=\frac{\pi}{2})，則(\sin\alpha+\sin\beta)的最大值為________．三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11.證明：對于任意正實數(shù)(a,b,c)，有(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\geq\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2)，并指出等號成立的條件．12.已知(x,y,z>0)，且(x+y+z=1)，求證：(\sqrt{3x+1}+\sqrt{3y+1}+\sqrt{3z+1}\leq3\sqrt{2})．13.在(\triangleABC)中，求證：(\tan\frac{A}{2}+\tan\frac{B}{2}+\tan\frac{C}{2}\geq\sqrt{3})．14.已知正實數(shù)(a,b,c)滿足(a+b+c=3)，求(\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c})的最小值，并說明等號成立的條件．參考答案與解析一、選擇題A解析：(f(x)=x^2)的二階導數(shù)(f''(x)=2>0)，為下凸函數(shù)，由琴生不等式得(f\left(\frac{a+b}{2}\right)\leq\frac{f(a)+f(b)}{2})。C解析：(f(x)=\sinx)在((0,\pi))上是上凸函數(shù)，由琴生不等式得(\frac{\sinA+\sinB+\sinC}{3}\leq\sin\left(\frac{A+B+C}{3}\right)=\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2})，故最大值為(\frac{3\sqrt{3}}{2})。A解析：設(f(x)=\sqrt{x})，其二階導數(shù)(f''(x)=-\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}}<0)，為上凸函數(shù)。由琴生不等式得(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{3}\leq\sqrt{\frac{x+y+z}{3}}=\sqrt{1}=1)，故最大值為(3)。A解析：(f(x)=\lnx)是上凸函數(shù)，由琴生不等式得(\ln\left(\frac{a+b+c}{3}\right)\geq\frac{\lna+\lnb+\lnc}{3})。A解析：(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=(x+2y)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=3+\frac{2y}{x}+\frac{x}{y}\geq3+2\sqrt{2})（利用均值不等式，此處可結(jié)合琴生不等式證明函數(shù)(f(t)=\frac{1}{t})的凸性）。二、填空題0解析：(f(a)+f(b)=a^2-2a+b^2-2b)，由(a+b=2)得(b=2-a)，代入得(2a^2-4a+0)，最小值為(0)（當(a=b=1)時）。(\frac{3}{2})解析：(\cos60^\circ=\frac{1}{2})，故和為(3\times\frac{1}{2}=\frac{3}{2})。10解析：(a+\frac{1}{a}\geq2)（均值不等式），但(a+b+c=1)，利用琴生不等式可得最小值為(1+3\times\frac{1}{1}=10)（當(a=b=c=\frac{1}{3})時）。6解析：由均值不等式(x+y+z\geq3\sqrt[3]{xyz}=6)。(\sqrt{2})解析：(\alpha+\beta=\frac{\pi}{2})，(\sin\alpha+\sin\beta=\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{2}\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)\leq\sqrt{2})。三、解答題11.證明：設(f(x)=x^2)，則(f''(x)=2>0)，為下凸函數(shù)。由琴生不等式，對任意正實數(shù)(a,b,c)：[f\left(\frac{a+b+c}{3}\right)\leq\frac{f(a)+f(b)+f(c)}{3}]即(\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\leq\frac{a^2+b^2+c^2}{3})，整理得(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\geq\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2)。等號成立當且僅當(a=b=c)。12.證明：設(f(t)=\sqrt{3t+1})，則(f''(t)=-\frac{9}{4}(3t+1)^{-\frac{3}{2}}<0)，為上凸函數(shù)。由琴生不等式：[\frac{f(x)+f(y)+f(z)}{3}\leqf\left(\frac{x+y+z}{3}\right)=f\left(\frac{1}{3}\right)=\sqrt{3\times\frac{1}{3}+1}=\sqrt{2}]故(\sqrt{3x+1}+\sqrt{3y+1}+\sqrt{3z+1}\leq3\sqrt{2})，等號成立當且僅當(x=y=z=\frac{1}{3})。13.證明：在(\triangleABC)中，(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}=\frac{\pi}{2})，設(x=\frac{A}{2},y=\frac{B}{2},z=\frac{C}{2})，則(x+y+z=\frac{\pi}{2})且(x,y,z>0)。函數(shù)(f(t)=\tant)在(\left(0,\frac{\pi}{2}\right))上是下凸函數(shù)（二階導數(shù)(f''(t)=2\tant\sec^2t>0)），由琴生不等式：[\frac{\tanx+\tany+\tanz}{3}\geq\tan\left(\frac{x+y+z}{3}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}]故(\tanx+\tany+\tanz\geq\sqrt{3})，即(\tan\frac{A}{2}+\tan\frac{B}{2}+\tan\frac{C}{2}\geq\sqrt{3})，等號成立當且僅當(A=B=C=60^\circ)。14.解：由均值不等式，(\frac{a+b+c}{3}\geq\sqrt[3]{abc})，因(a+b+c=3)，故(abc\leq1)（等號成立當且僅當(a=b=c=1)）。函數(shù)(f(t)=\frac{1}{