2025年下學期初中數(shù)學競賽西姆松定理試卷考試時間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分）1.西姆松定理的核心結(jié)論是（）A.三角形三條高交于一點B.圓內(nèi)接四邊形對角互補C.外接圓上一點向三邊作垂線，三垂足共線D.三角形三邊中垂線交于外心2.已知點P是△ABC外接圓上一點，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F。若∠BAC=60°，則∠FDE的度數(shù)為（）A.30°B.60°C.90°D.120°3.在銳角△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點P為△ABC外接圓上一點（不與頂點重合）。過P作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，則△DEF的形狀是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.不確定4.下列條件中，能判定點P在△ABC外接圓上的是（）A.P到△ABC三個頂點距離相等B.P在△ABC三條中線交點處C.P向△ABC三邊作垂線，三垂足共線D.P到△ABC三邊距離相等5.如圖1，點P是△ABC外接圓上一點，西姆松線l交AB于F，交BC于D。若BF=2，BD=3，BC=5，則AB的長為（）A.4B.5C.6D.7二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）6.若△ABC是直角三角形，∠C=90°，點P為斜邊AB中點，則P關(guān)于△ABC的西姆松線是________。7.在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，點P為△ABC外接圓上一點。若P到BC的距離為2，則西姆松線l在BC邊上的截距長度為________。8.如圖2，點P在△ABC外接圓上，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F。若∠BPC=120°，則∠FEP的度數(shù)為________。9.已知△ABC外接圓半徑為5，點P為劣弧BC上一點，西姆松線l交AB于F，交AC于E。若AF=2，AE=3，EF=4，則∠BAC的余弦值為________。10.西姆松線的一個重要性質(zhì)：若H為△ABC的垂心，P為外接圓上一點，則西姆松線l平分線段________。三、解答題（共6小題，滿分90分）11.（12分）證明西姆松定理：過△ABC外接圓上一點P，作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，求證：D、E、F三點共線。12.（14分）如圖3，在△ABC中，AB=AC，外接圓半徑R=5，BC=8。點P為劣弧BC上一點，過P作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F。（1）求證：△DEF是等腰三角形；（2）若PD=3，求EF的長度。13.（15分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點P為△ABC外接圓上一點（不與A、B、C重合）。（1）求△ABC外接圓的半徑；（2）過P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，PF⊥AB于F，求證：CD=EF。14.（15分）如圖4，點P是△ABC外接圓上一點，西姆松線l交AB于F，交AC于E，交BC于D。若AF=AE，求證：PB=PC。15.（16分）已知△ABC中，AB=7，AC=8，BC=9，點P為△ABC外接圓上一點，西姆松線l交BC于D，且BD=DC。（1）證明：P為△ABC外接圓的直徑端點；（2）求點P到直線AB的距離。16.（18分）在銳角△ABC中，O為外心，H為垂心，點P在△ABC外接圓上，西姆松線l交OH于M。（1）求證：M為OH的中點；（2）若OH=6，求點P到l的距離的最大值。參考答案與詳細解析一、選擇題C（西姆松定理：過三角形外接圓上異于頂點的一點向三邊作垂線，三垂足共線，該線稱為西姆松線）。B（由西姆松線性質(zhì)，∠FDE=180°-∠BAC=120°，但需注意垂足順序，實際應(yīng)為∠FDE=∠BAC=60°）。A（AB=AC，外接圓關(guān)于BC中垂線對稱，西姆松線l關(guān)于BC中垂線對稱，故DF=DE）。C（西姆松定理逆定理：若三垂足共線，則點在三角形外接圓上）。B（由梅涅勞斯定理：(AF/FB)·(BD/DC)·(CE/EA)=1，代入得AF=3，AB=AF+FB=5）。二、填空題斜邊AB的中垂線（直角三角形外心為斜邊中點，P與外心重合，西姆松線為外心到斜邊的垂線，即中垂線）。2.4（△ABC為直角三角形，外接圓半徑5/2，西姆松線截距=PD·BC/AB=2×6/5=2.4）。60°（∠FEP=∠FBP=∠BCP=(180°-∠BPC)/2=30°，但需結(jié)合圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，正確答案為60°）。3/5（由余弦定理：EF2=AF2+AE2-2AF·AE·cos∠BAC，代入得cos∠BAC=3/5）。PH（西姆松線平分點P與垂心H的連線）。三、解答題證明：連接PB、PC?！逷D⊥BC，PE⊥AC，∴P、D、C、E四點共圓（∠PDC=∠PEC=90°），∴∠PDE=∠PCE。同理，P、F、B、D四點共圓，∠PDF=∠PBF。∵∠PCE=∠PBF（同弧PB所對圓周角），∴∠PDE=∠PDF，即D、E、F三點共線。（1）證明：AB=AC，△ABC為等腰三角形，外接圓關(guān)于BC中垂線對稱?！逷D⊥AB，PE⊥AC，∴PD=PE（對稱性），∴DF=DE（西姆松線性質(zhì)），即△DEF是等腰三角形。（2）EF=4：BC=8，外接圓半徑R=5，由余弦定理得cos∠BAC=3/5，PD=3，EF=PD·sin∠BAC=3×4/5=12/5（錯誤，正確應(yīng)為EF=BC·PD/AB=8×3/5=24/5，修正后答案為4.8）。（1）外接圓半徑R=5（Rt△ABC斜邊AB=10，R=AB/2=5）。（2）證明：建立坐標系，C(0,0)，A(0,6)，B(8,0)，P(x,y)滿足x2+y2=25（外接圓方程）。PD=|y|，PE=|x|，EF=√(x2+y2)=5，CD=√(x2+y2)=5，故CD=EF。證明：AF=AE，∠AFE=∠AEF。由西姆松線性質(zhì)，∠AFE=∠PBF，∠AEF=∠PCE，∴∠PBF=∠PCE，即∠PBC=∠PCB，故PB=PC。（1）證明：BD=DC，D為BC中點，西姆松線過BC中點。由西姆松線性質(zhì)，PD⊥BC，故PD過BC中點D，即PD為BC中垂線，∴PB=PC，P在BC中垂線上，又P在圓上，故PA為直徑。（2）距離為24/7（由坐標法計算，P(12/7,36/7)，到AB距離=24/7）。（1）證明：由西姆松線性質(zhì)，M