2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽組合極值試卷一、選擇題（共5小題，每小題7分，滿分35分）1.設(shè)集合(A={a^2\mida\in\mathbb{Z},a^2\geq2025})，(B={21b\midb\in\mathbb{Z},9\leqb\leq14})，則(A\capB)的元素個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.42.已知(x,y>0)且(x+y=1)，則(\frac{y+1}{y}+\frac{x+2}{x})的最小值為（）A.5B.6C.7D.83.從1至20的整數(shù)中選出4個(gè)不同的數(shù)，使它們的乘積為2025的倍數(shù)，則不同選法的數(shù)目為（）A.126B.135C.144D.1534.平面內(nèi)有3個(gè)單位向量(\vec{a},\vec,\vec{c})，滿足(\vec{a}\cdot\vec=\frac{1}{2})，(\vec\cdot\vec{c}\leq-\frac{1}{2})，則(|\vec{a}+\vec+\vec{c}|)的最大值與最小值之和為（）A.(2\sqrt{3})B.4C.(\sqrt{6}+\sqrt{2})D.(2\sqrt{2}+2)5.定義有序?qū)崝?shù)對(duì)((m,n))與((p,q))的運(yùn)算“△”為：((m,n)△(p,q)=(mp-nq,mq+np))。若對(duì)任意實(shí)數(shù)(m,n)，均有((m,n)△(a,b)=(m,n))，則((a,b))為（）A.(0,1)B.(1,0)C.(-1,0)D.(0,-1)二、填空題（共5小題，每小題7分，滿分35分）6.兩條直角邊長(zhǎng)均為整數(shù)（其中較短直角邊小于2025），斜邊為整數(shù)的直角三角形的個(gè)數(shù)為________。7.設(shè)(S=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{100}})，則(4S)的整數(shù)部分為________。8.已知(\sin20^\circ\sin25^\circ+\sin\alpha=\cos20^\circ\cos25^\circ)，則(\cos2\alpha=)________。9.點(diǎn)(D,E)分別在(\triangleABC)的邊(AB,AC)上，(BE,CD)相交于點(diǎn)(F)。設(shè)四邊形(EADF)的面積為(S_1)，(\triangleBDF)的面積為(S_2)，(\triangleBCF)的面積為(S_3)，(\triangleCEF)的面積為(S_4)，則(S_1S_3)與(S_2S_4)的大小關(guān)系為________（填“>”“<”或“=”）。10.若(\log_x3)，(\log_{3x}9)，(\log_{27}(9x))成等比數(shù)列，則正數(shù)(x)的值為________。三、解答題（共3小題，滿分80分）11.（25分）已知(x+y=5)，(x,y>0)，求(\sqrt{x^2-1}+\sqrt{y^2-4})的最大值。12.（25分）某班級(jí)有40名學(xué)生，學(xué)號(hào)為1至40?，F(xiàn)從中選出若干名學(xué)生排成一圈，要求任意相鄰兩名學(xué)生的學(xué)號(hào)之差不小于5，求最多能選出的學(xué)生人數(shù)。13.（30分）在(8\times8)的方格表中，每個(gè)格子填入0或1。若任意(2\times2)的子方格表中四個(gè)數(shù)之和均為偶數(shù)，求方格表中所有數(shù)之和的最小值。四、附加題（共2小題，滿分40分）14.（20分）設(shè)(a,b,c)為正實(shí)數(shù)，滿足(a+b+c=3)，求(\frac{a^2}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})的最小值。15.（20分）從1至100的整數(shù)中任取(k)個(gè)數(shù)，使得其中必有兩個(gè)數(shù)的差為5。求(k)的最小值。解答題與附加題解析要點(diǎn)11.構(gòu)造直角三角形與三點(diǎn)共線模型，利用勾股定理和幾何不等式求解，最大值為4。12.采用抽屜原理與遞推法，最多可選取16人（如學(xué)號(hào)1,6,11,...,36）。13.通過染色法分析奇偶性，最小值為0（全0方格表滿足條件）。14.應(yīng)用柯西不等式或均值不等式，當(dāng)(a=b=c=1)時(shí)，最小