2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽組合計(jì)數(shù)試卷一、選擇題（共5小題，每題6分，滿分30分）將10個(gè)相同的乒乓球放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，每個(gè)盒子至少放1個(gè)球，則不同的放法有（）A.36種B.45種C.54種D.72種答案：A解析：利用“隔板法”，將10個(gè)球排成一列，形成9個(gè)空隙，插入2個(gè)隔板分成3組，共有(C_9^2=36)種放法。從1，2，3，4，5中任取3個(gè)數(shù)組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）A.24個(gè)B.30個(gè)C.40個(gè)D.60個(gè)答案：A解析：偶數(shù)需滿足個(gè)位為2或4，分兩類：個(gè)位為2：百位有4種選擇（1，3，4，5中除去2），十位有3種選擇，共(4×3=12)個(gè)；個(gè)位為4：同理可得12個(gè)?？偣灿?12+12=24)個(gè)。某班6名同學(xué)參加演講比賽，出場(chǎng)順序通過(guò)抽簽決定，則甲、乙兩人相鄰出場(chǎng)的概率為（）A.(\frac{1}{6})B.(\frac{1}{3})C.(\frac{1}{2})D.(\frac{2}{3})答案：B解析：將甲、乙視為整體，與其他4人全排列，有(A_5^5)種排法，甲、乙內(nèi)部可交換順序，共(2×A_5^5)種相鄰情況?？偱帕袛?shù)為(A_6^6)，概率為(\frac{2×A_5^5}{A_6^6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3})。如圖，在4×4的方格紙中，從A到B的最短路徑（只能向右或向下走）有（）A.20條B.24條C.35條D.42條答案：C解析：從A到B需向右3次、向下3次，共6步，路徑數(shù)為(C_6^3=20)？（注：原解析有誤，正確應(yīng)為(C_7^3=35)，因4×4方格需走7步：右4次+下3次，(C_7^4=35)）滿足方程(x+y+z=10)（x，y，z為非負(fù)整數(shù)）的解的個(gè)數(shù)為（）A.36B.66C.100D.120答案：B解析：利用“隔板法”，將10個(gè)“1”分成3組，允許有空組，需添加2個(gè)虛擬隔板，共(C_{10+3-1}^{3-1}=C_{12}^2=66)。二、填空題（共5小題，每題6分，滿分30分）用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，共有________個(gè)。答案：96解析：首位不能為0，有4種選擇（1，2，3，4），其余4位全排列，共(4×A_4^4=4×24=96)。某班10名同學(xué)兩兩握手一次，共握手________次。答案：45解析：組合問(wèn)題，(C_{10}^2=\frac{10×9}{2}=45)。將3本不同的數(shù)學(xué)書(shū)和2本不同的語(yǔ)文書(shū)排成一排，數(shù)學(xué)書(shū)必須相鄰的排法有________種。答案：144解析：將3本數(shù)學(xué)書(shū)視為整體，與2本語(yǔ)文書(shū)全排列，有(A_3^3)種，數(shù)學(xué)書(shū)內(nèi)部可交換，有(A_3^3)種，總排法為(A_3^3×A_3^3=6×6=36)？（注：正確應(yīng)為(A_3^3×A_3^3=6×6=36)，原答案144有誤）從1到20這20個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)相加，和為偶數(shù)的取法有________種。答案：90解析：和為偶數(shù)需兩數(shù)同奇或同偶，1-20中有10個(gè)奇數(shù)、10個(gè)偶數(shù)，取法為(C_{10}^2+C_{10}^2=45+45=90)。某密碼鎖有3位數(shù)字，每位可填0-9，若忘記密碼，最多嘗試________次能打開(kāi)鎖。答案：1000解析：每位10種選擇，共(10×10×10=1000)種可能。三、解答題（共3小題，每題15分，滿分45分）（15分）某校組織3名教師和5名學(xué)生參觀科技館，現(xiàn)需從這8人中選4人擔(dān)任講解員，要求教師和學(xué)生都至少有1人，求不同的選法種數(shù)。答案：70種解析：分三類：1名教師+3名學(xué)生：(C_3^1×C_5^3=3×10=30)；2名教師+2名學(xué)生：(C_3^2×C_5^2=3×10=30)；3名教師+1名學(xué)生：(C_3^3×C_5^1=1×5=5)?？傔x法：(30+30+5=65)？（注：正確應(yīng)為(C_8^4-C_5^4-C_3^4=70-5-0=65)，原答案70有誤）（15分）如圖，在正六邊形ABCDEF中，對(duì)角線共有多少條？其中過(guò)頂點(diǎn)A的對(duì)角線有多少條？答案：15條；3條解析：正六邊形有6個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)與其他5個(gè)點(diǎn)連線，共(6×5=30)條，每條對(duì)角線重復(fù)計(jì)算2次，總對(duì)角線數(shù)為(\frac{30-6}{2}=12)？（注：正確公式為(\frac{n(n-3)}{2}=\frac{6×3}{2}=9)，原答案15有誤）過(guò)頂點(diǎn)A的對(duì)角線：與A不相鄰的3個(gè)頂點(diǎn)（C，D，E），共3條。（15分）某信號(hào)兵用紅、黃、藍(lán)3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號(hào)，每次可以掛1面、2面或3面，且不同的順序表示不同的信號(hào)，一共可以表示多少種不同的信號(hào)？答案：15種解析：分三類：掛1面旗：3種（紅，黃，藍(lán)）；掛2面旗：(A_3^2=3×2=6)種；掛3面旗：(A_3^3=6)種?？傂盘?hào)數(shù)：(3+6+6=15)種。四、附加題（共1小題，滿分20分）將1，2，3，4，5，6這6個(gè)數(shù)填入如圖所示的6個(gè)小圓圈中，要求每個(gè)三角形頂點(diǎn)上的數(shù)之和相等，求不同的填法有多少種？（旋轉(zhuǎn)或?qū)ΨQ視為同一種填法）答案：8種解析：設(shè)每個(gè)三角形頂點(diǎn)和為S，6個(gè)數(shù)總和為21，每個(gè)數(shù)被2個(gè)三角形共用，得(4S=2×21)，即(S=10.5)（矛盾）。（注：題目應(yīng)為“每個(gè)頂點(diǎn)屬于2個(gè)三角形”，正確總和為(3S=2×21)，(S