2025年下學期初中數(shù)學夏令營預備試卷一、選擇題（共5小題，每小題7分，滿分35分）1.已知非零向量$\boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}$滿足$k\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}=\boldsymbol{0}$且$\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}+\boldsymbol{y}\cdot\boldsymbol{z}+\boldsymbol{z}\cdot\boldsymbol{x}=u$（$k$為正實數(shù)），則$u$的最小值為（）A.$-\frac{k}{2}$B.$-k$C.$-\frac{k^2}{3}$D.$-2k$2.設數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=2$，$a_2=10$，$a_{n+2}=5a_{n+1}+a_n$（$n\in\mathbb{N}^*$），則$\frac{a_{2025}}{a_{2024}}$的整數(shù)部分為（）A.4B.5C.6D.73.如圖，正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱長為16，點$X,Y,Z$分別在棱$AB,BC,CC_1$上，且$AX=4$，$BY=12$，$CZ=8$，則平面$XYZ$截正方體所得截面的面積為（）A.$120\sqrt{2}$B.$144\sqrt{3}$C.$160\sqrt{2}$D.$192\sqrt{3}$4.在平面直角坐標系中，滿足$\begin{cases}x\geq0\y\leq3-2x\(x^2+1-x)(y^2+1-y)\leq1\end{cases}$的點$(x,y)$構成圖形的面積為（）A.$\frac{3}{4}$B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{2}{3}$D.15.定義有序實數(shù)對$(a,b)$與$(c,d)$的運算“$\triangle$”為：$(a,b)\triangle(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$。若對任意實數(shù)$m,n$均有$(m,n)\triangle(p,q)=(m,n)$，則$(p,q)$為（）A.$(0,1)$B.$(1,0)$C.$(-1,0)$D.$(0,-1)$二、填空題（共8小題，每小題8分，滿分64分）6.已知三棱錐$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB\perpAC$，$PA=BC=2\sqrt{2}$，$AB=AC$，若邊$PA,BC,AC$上的動點$X,Y,Z$滿足$AX=BY$，$YZ\parallelAC$，則三棱錐$X-YZ$體積的最大值為________。7.集合$S={x\in\mathbb{Z}\midx=a\cdot2^b+2^c+2^d,a,b,c,d\in\mathbb{N},a\leqb\leqc\leqd}$，則$S$中所有元素之和為________。8.等邊三角形$ABC$的邊長為1，$X_1,X_2,\cdots,X_{44}$依次為$BC$邊上由$B$至$C$的45等分點，則$\sum_{k=1}^{44}(AX_k^2+BX_k\cdotX_kC)=$________。9.一枚質地均勻的正方體骰子六個面的數(shù)字分別是1,2,2,3,3,4，另一枚骰子的數(shù)字分別是1,3,4,5,6,8，同時擲這兩枚骰子，朝上的數(shù)字之和為5的概率是________。10.已知$n+1$項正整數(shù)數(shù)列$a_0,a_1,\cdots,a_n$滿足$1=a_0<a_1<\cdots<a_n=2025$，且對任意$1\leqk\leqn$，$a_k$是$a_{k-1}$的倍數(shù)，則$n$的最小值為________。11.設四位數(shù)$\overline{abcd}$滿足$\overline{abcd}=(\overline{ab}+\overline{cd})^2$，則這樣的四位數(shù)共有________個。12.$\odotO$的三個不同內接正三角形將$\odotO$分成的區(qū)域個數(shù)為________。13.若關于$x$的方程$x^4+ax+1=0$有有理根，且$a$為不等于$\pm2$的整數(shù)，則$a=$________。三、解答題（共4小題，第14-15題每題15分，第16-17題每題20分，滿分70分）14.已知函數(shù)$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$的圖像在$x$軸上有一個零點，且滿足$f(1)=f(-1)=0$，$f(2)=12$。（1）求函數(shù)$f(x)$的解析式；（2）若對任意$x\in[-2,2]$，不等式$f(x)\leqm$恒成立，求$m$的最小值。15.如圖，四邊形$ABCD$內接于圓，圓心$O$在邊$AB$上且與$BC,CD,DA$相切，求證：$AD+BC=AB$。16.已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{a_n^2+2}{2a_n+1}$（$n\in\mathbb{N}^*$）。（1）證明：數(shù)列${a_n}$單調遞減且有下界；（2）記$b_n=a_n-\frac{\sqrt{2}}{2}$，求$\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}$的值。17.在$\triangleABC$中，$AB=33$，$AC=21$，$BC=m$（$m$為整數(shù)），點$D$在$AB$上，點$E$在$AD$上，且$AD=DE=EC=n$（$n$為整數(shù)）。求$m$的所有可能值。試卷設計說明題型結構：參考2025年廣東省中學生數(shù)學夏令營測試題，設置選擇（5題）、填空（8題）、解答（4題）三大模塊，總分169分，符合競賽選拔的區(qū)分度要求。知識覆蓋：代數(shù)部分包含函數(shù)方程、數(shù)列遞推、不等式證明等；幾何部分涉及立體幾何體積計算、平面截體、圓內接四邊形等；數(shù)論與組合部分涵蓋集合元素、概率計算、整數(shù)數(shù)列構造等。難度梯度：基礎題（如選擇5、填空9）側重概念理解，中檔題（如填空6、解答14）需綜合應用知識，難題（如解答16、1