2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)最值問題探究試卷一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=4，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PB+PD的最小值為（）A.√3B.2√2C.2√3D.4√5解答過程：延長(zhǎng)BC至點(diǎn)B'，使BC=B'C，連接B'A、B'P?！逜C垂直平分BB'，∴PB=PB'，則PB+PD=PB'+PD≥B'D（兩點(diǎn)之間線段最短）。∵∠CAB=30°，AB=4，∴△ABB'為等邊三角形，B'A=AB=4。D為AB中點(diǎn)，AD=2，∠B'AD=60°，∴B'D=AD·tan60°=2√3。故最小值為2√3，選C。二次函數(shù)y=x2-4x+5的最小值為（）A.1B.2C.3D.4解答過程：配方得y=(x-2)2+1，∵a=1>0，∴當(dāng)x=2時(shí)，y最小值=1，選A。如圖，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，動(dòng)點(diǎn)P滿足S△PAB=1/3S矩形ABCD，則PA+PB的最小值為（）A.√34B.5√2C.2√13D.√41解答過程：S矩形ABCD=15，S△PAB=5，設(shè)P到AB距離為d，1/2×5d=5→d=2?！郟在直線l（距AB2個(gè)單位的直線）上，作B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B'，AB'=√(52+42)=√41，選D。拋物線y=-x2+2x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)及最大值分別為（）A.(1,4)，4B.(-1,4)，4C.(1,2)，2D.(-1,2)，2解答過程：配方得y=-(x-1)2+4，頂點(diǎn)(1,4)，開口向下，最大值為4，選A。點(diǎn)P是⊙O內(nèi)一點(diǎn)，OP=3，⊙O半徑為5，則過點(diǎn)P的最短弦長(zhǎng)為（）A.4B.6C.8D.10解答過程：過P最短弦垂直于OP，設(shè)弦長(zhǎng)為2l，則l2+32=52→l=4，弦長(zhǎng)=8，選C。若實(shí)數(shù)x、y滿足x+y=6，則x2+y2的最小值為（）A.12B.18C.24D.36解答過程：x2+y2=(x+y)2-2xy=36-2xy，當(dāng)x=y=3時(shí)，xy最大=9，∴最小值=36-18=18，選B。二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）如圖，∠AOB=30°，P為OB上一點(diǎn)，OP=5，M、N為OA上動(dòng)點(diǎn)，則PM+PN的最小值為________。解答過程：作P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)P'，則P'N=PN，PM+PN=PM+P'N≥P'M'（P'到OB垂線段）?！螾'OB=60°，P'M'=OP'·sin60°=5×√3/2=5√3/2，答案：5√3/2。二次函數(shù)y=2x2-4x+3在x∈[0,3]上的最大值為________。解答過程：對(duì)稱軸x=1，f(0)=3，f(1)=1，f(3)=9，最大值為9，答案：9。菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，E為BC中點(diǎn)，P為對(duì)角線BD上動(dòng)點(diǎn)，則PE+PC的最小值為________。解答過程：連接AE，AE=√(42+22-2×4×2×cos60°)=√12=2√3，答案：2√3。若關(guān)于x的函數(shù)y=x2-2mx+1在x≥1時(shí)y隨x增大而增大，則m的取值范圍是________。解答過程：對(duì)稱軸x=m，x≥m時(shí)遞增，∴m≤1，答案：m≤1。三、解答題（本大題共6小題，共66分）11.（10分）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，將BM繞B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得BN，連接EN、AM、CM。（1）求證：△AMB≌△ENB；（2）當(dāng)M在何處時(shí)，AM+CM最?。慨?dāng)M在何處時(shí)，AM+BM+CM最小？解答過程：（1）∵△ABE等邊，BA=BE，∠ABE=60°?！摺螹BN=60°，∴∠MBA=∠NBE，又MB=NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）。（2）①連AC交BD于O，M與O重合時(shí)，AM+CM=AC最?。▋牲c(diǎn)之間線段最短）。②連CE交BD于M，AM+BM+CM=EN+MN+CM=EC（△BMN等邊，BM=MN，AM=EN），此時(shí)最小。12.（10分）拋物線y=ax2+bx+c頂點(diǎn)為(1,4)，交x軸于B(3,0)，求：（1）拋物線解析式；（2）x軸上是否存在點(diǎn)H，使D(0,3)、G（對(duì)稱軸上動(dòng)點(diǎn)）、F(0,1)、H四點(diǎn)周長(zhǎng)最?。拷獯疬^程：（1）設(shè)y=a(x-1)2+4，代入(3,0)：4a+4=0→a=-1，∴y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3。（2）對(duì)稱軸x=1，D(0,3)與E(2,3)對(duì)稱，F(xiàn)(0,1)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)F'(0,-1)。連EF'交x軸于H，交對(duì)稱軸于G，G(1,1)，H(1/2,0)，周長(zhǎng)最小值=DF+EI=2+√(22+42)=2+2√5。13.（12分）拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A(-1,0)、B(3,0)，與y軸交于C(0,3)。（1）點(diǎn)P在拋物線上，求S△PAB最大值；（2）點(diǎn)Q在對(duì)稱軸上，求QB+QC最小值。解答過程：（1）設(shè)P(t,-t2+2t+3)，S△PAB=1/2×4×|yP|=2(-t2+2t+3)=-2(t-1)2+8，最大值8。（2）對(duì)稱軸x=1，作C關(guān)于x=1的對(duì)稱點(diǎn)C'(2,3)，QB+QC=QB+QC'≥BC'=√(12+32)=√10。14.（12分）如圖，直線y=2x-8交x軸于A(4,0)，拋物線y=ax2+bx過A，頂點(diǎn)Q在直線AB上。（1）求拋物線解析式；（2）點(diǎn)P(x,y)在第四象限拋物線上，S=s1+s2（s1=S△OAP，s2=S△OBP），求S最大值。解答過程：（1）A(4,0)，B(0,-8)，頂點(diǎn)Q(2,-4)（對(duì)稱軸x=2，代入y=2x-8），設(shè)y=a(x-2)2-4，代入(4,0)：4a-4=0→a=1，∴y=(x-2)2-4=x2-4x。（2）P(t,t2-4t)，s1=1/2×4×(-yP)=2(4t-t2)，s2=1/2×8×t=4t，S=2(4t-t2)+4t=-2t2+12t=-2(t-3)2+18，t=3時(shí)S最大=18。15.（12分）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)P在BC上，從B向C運(yùn)動(dòng)，速度1單位/秒，同時(shí)Q在AC上從A向C運(yùn)動(dòng)，速度2單位/秒，運(yùn)動(dòng)t秒。（1）用t表示CP、CQ；（2）t為何值時(shí)，△PCQ面積最大？解答過程：（1）BP=t，AP=2t，CP=8-t，CQ=6-2t（0≤t≤3）。（2）S△PCQ=1/2(8-t)(6-2t)=(8-t)(3-t)=t2-11t+24，對(duì)稱軸t=11/2=5.5（超出范圍），在t=0時(shí)S=24，t=3時(shí)S=5×0=0，∴t=0時(shí)最大，S=24。16.（12分）如圖，⊙C內(nèi)接△AOB，AB=AO=4，tan∠AOB=3/4，拋物線過A(4,0)和(-2,6)。（1）求拋物線解析式；（2）點(diǎn)R在拋物線上x軸下方，求△ROB面積最大值。解答過程：（1）設(shè)y=ax2+bx，代入(4,0)和(-2,6)：16a+4b=04a-2b=6解得a=1/2，b=-2，∴y=1/2x2-2x。（2）設(shè)R(t,1/2t2-2t)（t<0或t>4），OB=5（tan∠AOB=3/4，OA=4→OB=5），S△ROB=1/2×5