2025年下學(xué)期高中等差數(shù)列及其應(yīng)用試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知等差數(shù)列${a_n}$中，$a_3=5$，$a_5=9$，則公差$d$的值為（）A.1B.2C.3D.4解析：在等差數(shù)列中，$a_n=a_1+(n-1)d$。由$a_5-a_3=2d=9-5=4$，解得$d=2$。答案：B2.等差數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$a_1=1$，$S_3=15$，則$a_6$的值為（）A.11B.13C.15D.17解析：$S_3=3a_1+\frac{3\times2}{2}d=3+3d=15$，解得$d=4$。則$a_6=a_1+5d=1+20=21$。答案：無(wú)正確選項(xiàng)（注：題目可能存在數(shù)據(jù)錯(cuò)誤，正確結(jié)果應(yīng)為21）3.已知等差數(shù)列${a_n}$中，$a_2+a_8=24$，則$a_5$的值為（）A.10B.12C.14D.16解析：等差數(shù)列中，若$m+n=p+q$，則$a_m+a_n=a_p+a_q$。$2+8=5+5$，故$a_2+a_8=2a_5=24$，解得$a_5=12$。答案：B4.等差數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$S_5=30$，$S_{10}=100$，則$S_{15}$的值為（）A.170B.180C.190D.200解析：等差數(shù)列中，$S_5$，$S_{10}-S_5$，$S_{15}-S_{10}$成等差數(shù)列。即$30$，$70$，$S_{15}-100$成等差數(shù)列，故$2\times70=30+(S_{15}-100)$，解得$S_{15}=180$。答案：B5.已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_{n+1}-a_n=2$（$n\in\mathbb{N}^*$），且$a_1=3$，則$a_{10}$的值為（）A.21B.23C.25D.27解析：由題意知${a_n}$是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，$a_{10}=3+9\times2=21$。答案：A6.等差數(shù)列${a_n}$中，若$a_1=2$，$d=-3$，則前$n$項(xiàng)和$S_n$的最大值為（）A.2B.5C.6D.8解析：$a_n=2-3(n-1)=5-3n$。令$a_n\geq0$，解得$n\leq\frac{5}{3}$，故$n=1$時(shí)$S_n$最大，$S_1=2$。答案：A7.已知等差數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$a_4=10$，$S_4=28$，則$a_1$的值為（）A.3B.4C.5D.6解析：$S_4=\frac{4(a_1+a_4)}{2}=2(a_1+10)=28$，解得$a_1=4$。答案：B8.若等差數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和$S_n=n^2-2n$，則$a_5+a_6$的值為（）A.15B.17C.19D.21解析：$a_5+a_6=S_6-S_4=(6^2-2\times6)-(4^2-2\times4)=(36-12)-(16-8)=24-8=16$。答案：無(wú)正確選項(xiàng)（注：題目可能存在數(shù)據(jù)錯(cuò)誤，正確結(jié)果應(yīng)為16）9.已知等差數(shù)列${a_n}$中，$a_1+a_2+a_3=12$，$a_4+a_5+a_6=30$，則公差$d$的值為（）A.2B.3C.4D.5解析：設(shè)$b_n=a_{3n-2}+a_{3n-1}+a_{3n}$，則${b_n}$是公差為$9d$的等差數(shù)列。由$b_1=12$，$b_2=30$，得$9d=30-12=18$，解得$d=2$。答案：A10.等差數(shù)列${a_n}$中，若$a_7+a_9=16$，$a_4=1$，則$a_{12}$的值為（）A.15B.16C.17D.18解析：$a_7+a_9=2a_8=16$，得$a_8=8$。又$a_4$，$a_8$，$a_{12}$成等差數(shù)列，故$2a_8=a_4+a_{12}$，即$16=1+a_{12}$，解得$a_{12}=15$。答案：A11.已知等差數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$S_7=49$，$S_{13}=169$，則$S_{10}$的值為（）A.90B.100C.110D.120解析：由等差數(shù)列性質(zhì)，$S_n=An^2+Bn$，代入$S_7=49$，$S_{13}=169$，解得$A=1$，$B=0$，故$S_n=n^2$，$S_{10}=100$。答案：B12.某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則公差$d$的值為（）A.1B.2C.3D.4解析：設(shè)首項(xiàng)為$a_1$，公差為$d$。奇數(shù)項(xiàng)之和$S_奇=5a_1+20d=15$，偶數(shù)項(xiàng)之和$S_偶=5a_1+25d=30$。兩式相減得$5d=15$，解得$d=3$。答案：C二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.等差數(shù)列${a_n}$中，$a_1=2$，$a_n=20$，$S_n=110$，則項(xiàng)數(shù)$n=$________。解析：$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(2+20)}{2}=11n=110$，解得$n=10$。答案：1014.已知等差數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$a_5=8$，$S_5=20$，則$S_{10}=$________。解析：$S_5=5a_3=20$，得$a_3=4$。又$a_5-a_3=2d=4$，解得$d=2$。$a_1=a_3-2d=0$，$S_{10}=10\times0+\frac{10\times9}{2}\times2=90$。答案：9015.若數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2n$，則$a_5=$________。解析：由遞推公式得$a_2=1+2=3$，$a_3=3+4=7$，$a_4=7+6=13$，$a_5=13+8=21$。答案：2116.等差數(shù)列${a_n}$中，$a_1>0$，$S_3=S_{11}$，則當(dāng)$n=$________時(shí)，$S_n$取得最大值。解析：由$S_3=S_{11}$得$a_4+a_5+\cdots+a_{11}=0$，即$4(a_7+a_8)=0$，故$a_7>0$，$a_8<0$，$S_n$在$n=7$時(shí)最大。答案：7三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.（10分）已知等差數(shù)列${a_n}$中，$a_1=3$，公差$d=2$，前$n$項(xiàng)和為$S_n$。（1）求數(shù)列${a_n}$的通項(xiàng)公式；（2）若$S_n=155$，求$n$的值。解析：（1）$a_n=a_1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1$。（2）$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(3+2n+1)}{2}=n(n+2)=155$。即$n^2+2n-155=0$，解得$n=11$（負(fù)值舍去）。18.（12分）已知等差數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，且$a_2=5$，$S_5=35$。（1）求數(shù)列${a_n}$的通項(xiàng)公式；（2）若$b_n=2^{a_n}$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項(xiàng)和$T_n$。解析：（1）設(shè)公差為$d$，則$\begin{cases}a_1+d=5\5a_1+10d=35\end{cases}$，解得$a_1=3$，$d=2$，故$a_n=2n+1$。（2）$b_n=2^{2n+1}=2\times4^n$，則$T_n=2(4+4^2+\cdots+4^n)=2\times\frac{4(4^n-1)}{4-1}=\frac{8(4^n-1)}{3}$。19.（12分）已知等差數(shù)列${a_n}$中，$a_3=7$，$a_5+a_7=26$。（1）求數(shù)列${a_n}$的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)$b_n=\frac{1}{a_na_{n+1}}$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項(xiàng)和$T_n$。解析：（1）設(shè)公差為$d$，則$\begin{cases}a_1+2d=7\2a_1+10d=26\end{cases}$，解得$a_1=3$，$d=2$，故$a_n=2n+1$。（2）$b_n=\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\right)$，$T_n=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\right)\right]=\frac{n}{3(2n+3)}$。20.（12分）已知等差數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，且$S_4=24$，$S_7=63$。（1）求數(shù)列${a_n}$的通項(xiàng)公式及前$n$項(xiàng)和$S_n$；（2）若$b_n=|a_n|$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項(xiàng)和$T_n$。解析：（1）設(shè)公差為$d$，則$\begin{cases}4a_1+6d=24\7a_1+21d=63\end{cases}$，解得$a_1=3$，$d=2$，故$a_n=2n+1$，$S_n=n(n+2)$。（2）$a_n=2n+1>0$恒成立，故$b_n=a_n$，$T_n=S_n=n(n+2)$。21.（12分）某公司為擴(kuò)大生產(chǎn)，計(jì)劃從2025年起每年投入固定資金用于設(shè)備升級(jí)，若2025年投入100萬(wàn)元，以后每年比上一年多投入10萬(wàn)元，設(shè)第$n$年（2025年為第1年）的投入資金為$a_n$萬(wàn)元。（1）求數(shù)列${a_n}$的通項(xiàng)公式；（2）預(yù)計(jì)該公司從2025年到2030年（共6年）的總投入資金為多少萬(wàn)元？解析：（1）${a_n}$是首項(xiàng)$a_1=100$，公差$d=10$的等差數(shù)列，故$a_n=100+10(n-1)=10n+90$。（2）2025年到2030年共6年，總投入$S_6=6\times100+\frac{6\times5}{2}\times10=600+150=750$萬(wàn)元。22.（12分）已知等差數(shù)列${a_n}$中，$a_1=1$，前$n$項(xiàng)和為$S_n$，且$S_n$，$S_{n+1}$，$S_{n+2}$成等差數(shù)列。（1）求數(shù)列${a_n}$的公差$d$；（2）若$b_n=\frac{S_n}{n+c}$（$c$為常數(shù)），且${b_n}$為等差數(shù)列，求$c$的值。解析：（1）由題意$2S_{n+1}=S_n+S_{n+2}$，即$2(S_n+a_{n+1})=S_n+(S_n+a_{n+1}+a_{n+2})$，化簡(jiǎn)得$a_{n+2}=a_{n+1}$，故$d=0$。（2）由（1）知$a_n=1$，$S_n=n$，則$b_n=\frac{n}{n+c}$。若${b_n}$為等差數(shù)列，則$2b