2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽班級(jí)初選試卷一、填空題（本大題共8小題，每小題8分，滿分64分）已知函數(shù)$f(x)=\log_{a}(9x)$，$\log_{a}(27x)$，$\log_{a}(3x)$（其中$a>0$且$a\neq1$）成等差數(shù)列，則正數(shù)$x$的值為_(kāi)_____．設(shè)集合$A={1,2,3,\cdots,100}$，$B={a^2+2\mida\inA}$，則$A\cupB$的元素個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．點(diǎn)$P$在橢圓$\Gamma:\frac{x^2}{2025}+\frac{y^2}{914}=1$上，$F_1,F_2$為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，線段$PF_1$交橢圓于點(diǎn)$Q$．若$\triangleF_2PQ$的周長(zhǎng)為8，則線段$F_1Q$的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．函數(shù)$f(x)$的定義域?yàn)?\mathbb{R}$，$g(x)=(x-1)f(x)$為奇函數(shù)，$h(x)=f(x)+x$為偶函數(shù)，則$f(x)$的最大值為_(kāi)_____．若正整數(shù)$k$滿足$\frac{\sin20^\circ+i\cos25^\circ}{\cos20^\circ+i\sin25^\circ}=k$（其中$i$為虛數(shù)單位），則$k$的最小值為_(kāi)_____．在任意四棱柱的12條棱中隨機(jī)選取兩條不同的棱，記事件“兩條棱所在直線平行”的概率為$P$，則$P$的所有可能值構(gòu)成的集合為_(kāi)_____．平面內(nèi)三個(gè)單位向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol,\boldsymbol{c}$滿足$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=[\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}]+[\boldsymbol\cdot\boldsymbol{c}]$（其中$[x]$表示不超過(guò)實(shí)數(shù)$x$的最大整數(shù)），則$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol+\boldsymbol{c}|$的取值范圍是______．將數(shù)字1,2,3,...,9排列為$a,b,c,d,e,f,g,h,i$，使得三位數(shù)$\overline{abc},\overline{def},\overline{ghi}$之和等于2025，則不同的排列方法數(shù)為_(kāi)_____．二、解答題（本大題共3小題，滿分56分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）9.（本題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系$xOy$中，點(diǎn)集$\Gamma={(x,y)\midy^2=2|x|+2}$．若$\Gamma$中的三個(gè)不同點(diǎn)$M,P,Q$滿足：$M$為$PQ$的中點(diǎn)，且$\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=-2$，求點(diǎn)$M$的坐標(biāo)．10.（本題滿分20分）正四面體$ABCD$各棱長(zhǎng)均為2，$P,Q$分別是棱$AB,AC$上的動(dòng)點(diǎn)（允許位于棱的端點(diǎn)），且$AP+AQ=2$，$M$為棱$AD$的中點(diǎn)．在$\triangleMPQ$中，$MH$為邊$PQ$上的高，求$MH$長(zhǎng)度的最小值．11.（本題滿分20分）設(shè)$a$為實(shí)數(shù)，$m,n$為正整數(shù)，且$\sinma\cdot\sinna\neq0$．證明：$$\frac{1}{\sinma}+\frac{1}{\sinna}=\frac{2\cos\left(\frac{m-n}{2}a\right)}{\sinma\cdot\sinna}+\frac{\sin(m+n)a}{\sinma\cdot\sinna}$$12.（附加題，本題滿分20分，不計(jì)入總分，供學(xué)有余力的同學(xué)選做）設(shè)$n$為正整數(shù)，集合$S={1,2,\cdots,n}$，$A,B$是$S$的兩個(gè)非空子集，且對(duì)任意$a\inA$，$b\inB$，均有$|a-b|\geq2$．求$|A|+|B|$的最大值．說(shuō)明：本試卷共12題，滿分140分，考試時(shí)間120分鐘；填空題直接填寫(xiě)最終結(jié)果