2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽獎(jiǎng)學(xué)金評(píng)定試卷一、選擇題（共8題，每題5分，共40分）已知復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位），則(|z|^2+\text{Re}(z))的值為（）A.(\frac{7}{2})B.(4)C.(\frac{9}{2})D.(5)設(shè)集合(A={x\midx^2-4x+3<0})，集合(B={x\mid\log_2(x-1)\leq1})，則(A\cap(\complement_{\mathbb{R}}B))等于（）A.((1,2))B.((2,3))C.([2,3))D.((1,3))已知函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0)，(|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的部分圖像如圖所示，且(f(0)=\frac{1}{2})，則(\omega+\varphi)的值為（）A.(\frac{\pi}{3})B.(\frac{\pi}{6})C.(\frac{2\pi}{3})D.(\frac{5\pi}{6})在三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB=AC=2)，(\angleBAC=120^\circ)，(PA=3)，則該三棱錐外接球的表面積為（）A.(16\pi)B.(20\pi)C.(24\pi)D.(28\pi)已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，則(a_7+a_8+a_9)的值為（）A.(128)B.(256)C.(512)D.(1024)已知拋物線(C:y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，過點(diǎn)(F)的直線(l)與拋物線交于(A,B)兩點(diǎn)，若(|AF|=3|BF|)，則直線(l)的斜率為（）A.(\pm\sqrt{3})B.(\pm2\sqrt{2})C.(\pm2)D.(\pm\frac{\sqrt{3}}{3})已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+ax+b)在(x=-1)處取得極值，且其圖像在點(diǎn)((2,f(2)))處的切線與直線(x+3y-1=0)垂直，則(a+b)的值為（）A.(-1)B.(0)C.(1)D.(2)若存在正整數(shù)(n)，使得((1+\sqrt{3})^n=x_n+y_n\sqrt{3})，其中(x_n,y_n)為整數(shù)，則(x_{2025})除以(4)的余數(shù)為（）A.(0)B.(1)C.(2)D.(3)二、填空題（共6題，每題5分，共30分）若(\tan\alpha=2)，則(\frac{\sin^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha-2\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}=)__________。已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec=(m,-1))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec))，則(m=)__________。某學(xué)校從5名男生和4名女生中選出3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，要求至少有1名女生，則不同的選法共有__________種。已知雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0)，(b>0)）的離心率為(\sqrt{3})，且過點(diǎn)((2,\sqrt{6}))，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________。在數(shù)列({a_n})中，(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+3^n)，則數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式為(a_n=)__________。已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\leq0,\\ln(x+1),&x>0,\end{cases})若關(guān)于(x)的方程(f(x)=kx+1)有且僅有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)(k)的取值范圍是__________。三、解答題（共6題，共80分）（12分）在(\triangleABC)中，內(nèi)角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，已知(\cosA=\frac{3}{5})，(\cosB=\frac{5}{13})。（1）求(\sinC)的值；（2）若(c=14)，求(\triangleABC)的面積。（13分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，點(diǎn)(D)為(BC)的中點(diǎn)，點(diǎn)(E)為(A_1C_1)的中點(diǎn)。（1）求證：(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)；（2）求二面角(A_1-BD-C_1)的余弦值。（13分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的左、右焦點(diǎn)分別為(F_1,F_2)，離心率為(\frac{\sqrt{2}}{2})，且過點(diǎn)((1,\frac{\sqrt{2}}{2}))。（1）求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)(F_2)的直線(l)與橢圓(C)交于(A,B)兩點(diǎn)，若(\triangleAF_1B)的面積為(\frac{4\sqrt{3}}{5})，求直線(l)的方程。（14分）已知函數(shù)(f(x)=\lnx-ax+1)（(a\in\mathbb{R})）。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若函數(shù)(f(x))有兩個(gè)零點(diǎn)(x_1,x_2)（(x_1<x_2)），求證：(x_1+x_2>\frac{2}{a})。（14分）已知數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，且滿足(a_1=1)，(S_{n+1}=2S_n+n+1)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)(b_n=\frac{a_n+1}{a_na_{n+1}})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項(xiàng)和(T_n)；（3）若不等式(T_n<\lambda)對(duì)任意(n\in\mathbb{N}^*)恒成立，求實(shí)數(shù)(\lambda)的最小值。（14分）已知函數(shù)(f(x)=x^2-2mx+m^2-1)，(g(x)=|f(x)|)。（1）若(m=0)，求函數(shù)(g(x))在區(qū)間([-1,2])上的最大值；（2）若關(guān)于(x)的方程(g(x)=kx+1)在區(qū)間([0,2])上有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)(k)的取值范圍；（3）設(shè)(h(x)=g(x)+x)，若對(duì)任意(x_1,x_2\in[0,2])（(x_1\neqx_2)），都有(\frac{h(x_1)-h(x_2)}{x_1-x_2}>0)，求實(shí)數(shù)(m)的取值范圍。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（僅供閱卷參考）一、選擇題C2.B3.A4.D5.C6.A7.B8.D二、填空題(\frac{4}{5})10.(7)11.(80)12.(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1)13.(3^n-2^n)14.((-1,0))三、解答題（1）(\sinC=\frac{63}{65})；（2）(S=84)。（2）二面角的余弦值為(\frac{\sqrt{3}}{3})。（1）橢圓方程為(\frac{x^2}{2}+y^2=1)；（2）直線(l)的方程為(y=\pm\sqrt{3}(x-1))。（2）證明需構(gòu)造函數(shù)(F(x)=f(x)-f\left(\frac{2}{a}-x\right))，通過單調(diào)性分析得證。（1）(a_n=2^n-1