2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競賽邏輯推理試卷一、選擇題（共6題，每題5分，共30分）設(shè)集合(A={x\midx^2-5x+6=0})，(B={x\midx^2-ax+a-1=0})，若(A\cupB=A)，則實(shí)數(shù)(a)的取值范圍是（）A.({2})B.({3})C.({2,3})D.({2,3,4})已知函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0)，(|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的最小正周期為(\pi)，且圖像關(guān)于直線(x=\frac{\pi}{3})對稱，則(\varphi)的值為（）A.(-\frac{\pi}{6})B.(\frac{\pi}{6})C.(-\frac{\pi}{3})D.(\frac{\pi}{3})在三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB\perpBC)，(PA=AB=BC=2)，則三棱錐外接球的表面積為（）A.(8\pi)B.(12\pi)C.(16\pi)D.(20\pi)已知正整數(shù)(m,n)滿足(m+n=2025)，則(\gcd(m,n))的最大值為（）A.45B.81C.135D.225從5名男生和4名女生中選出3人擔(dān)任數(shù)學(xué)競賽小組的組長、副組長和記錄員，要求至少有1名女生且組長為男生，則不同的選法共有（）A.540種B.630種C.720種D.810種已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{2a_n+3}{a_n+2})，則(\lim_{n\to\infty}a_n)的值為（）A.(\sqrt{3})B.2C.3D.不存在二、填空題（共6題，每題5分，共30分）若復(fù)數(shù)(z)滿足(|z-2i|=1)，則(|z+1|)的最小值為________。已知橢圓(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點(diǎn)((2,1))，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________。不等式(|x+1|+|x-2|\leq5)的解集為________。在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，若(a=3)，(b=4)，(\cosC=\frac{1}{8})，則(\triangleABC)的內(nèi)切圓半徑為________。滿足(x^2+y^2\leq2025)的整數(shù)點(diǎn)((x,y))的個數(shù)為________。已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+ax+b)在(x=1)處取得極值，且其圖像與直線(y=-3x)相切，則(a+b=)________。三、解答題（共4題，每題20分，共80分）13.（本題滿分20分）已知函數(shù)(f(x)=\lnx-ax^2+(2-a)x)（(a\in\mathbb{R})）。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若函數(shù)(f(x))有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)(a)的取值范圍。14.（本題滿分20分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(C:y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，過點(diǎn)(F)的直線(l)與拋物線交于(A,B)兩點(diǎn)，點(diǎn)(D)在拋物線的準(zhǔn)線上，且(BD\parallelx)軸。（1）求證：直線(AD)過原點(diǎn)(O)；（2）若(\triangleABD)的面積為(16\sqrt{2})，求直線(l)的方程。15.（本題滿分20分）已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+3^n)（(n\in\mathbb{N}^*)）。（1）求數(shù)列({a_n})的通項公式；（2）設(shè)(b_n=\frac{a_n}{3^n})，數(shù)列({b_n})的前(n)項和為(S_n)，證明：(S_n<\frac{3}{2})。16.（本題滿分20分）（1）證明：對于任意正整數(shù)(n\geq2)，都有(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}>\frac{13}{24})；（2）設(shè)(n)為正整數(shù)，且(n\geq2)，集合(A={1,2,\cdots,n})，(B={a_1,a_2,\cdots,a_k})是(A)的子集，若對任意(i\neqj)，都有(a_i\nmida_j)，求(k)的最大值。四、附加題（共2題，每題30分，共60分）17.（本題滿分30分）在銳角(\triangleABC)中，(AB=c)，(BC=a)，(CA=b)，(O)為外心，(H)為垂心。（1）證明：(OH^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2))（其中(R)為外接圓半徑）；（2）若(a=2)，(b=3)，求(OH)的取值范圍。18.（本題滿分30分）設(shè)(p)是奇素數(shù)，(a,b)是整數(shù)，且(a^2+b^2\equiv0\pmod{p})。證明：（1）