2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽拓?fù)涑醪皆嚲硪?、選擇題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）下列關(guān)于拓?fù)淇臻g的說(shuō)法中，正確的是（）A.任意多個(gè)開集的交集仍為開集B.有限個(gè)閉集的并集仍為閉集C.拓?fù)淇臻g中必須包含無(wú)限多個(gè)元素D.若集合X上的拓?fù)洇??τ?，則τ?比τ?更細(xì)設(shè)f:X→Y是拓?fù)淇臻g之間的映射，則f連續(xù)的充要條件是（）A.Y中閉集的原像在X中是閉集B.X中開集的像在Y中是開集C.對(duì)于X中的任意收斂序列{x?}，{f(x?)}在Y中收斂D.f是單射且滿射下列空間中，與閉區(qū)間[0,1]不同胚的是（）A.單位圓周S1B.正方形邊界C.實(shí)數(shù)軸上的開區(qū)間(0,1)D.球面去掉一個(gè)點(diǎn)關(guān)于拓?fù)洳蛔兞浚韵旅}錯(cuò)誤的是（）A.連通性是拓?fù)洳蛔兞緽.緊致性在連續(xù)映射下保持不變C.歐拉示性數(shù)χ=V-E+F僅適用于凸多面體D.基本群是區(qū)分不同倫等價(jià)空間的重要工具在歐氏平面?2中，下列集合不是緊致的是（）A.單位閉圓盤{(x,y)|x2+y2≤1}B.整數(shù)集?C.有限點(diǎn)集{1,2,3,…,100}D.閉區(qū)間[0,1]在x軸上的投影二、填空題（本大題共5小題，每小題8分，共40分）設(shè)X={a,b,c}，則X上的平庸拓?fù)洌ㄆ椒餐負(fù)洌┌拈_集為__________；離散拓?fù)浒拈_集個(gè)數(shù)為__________。若拓?fù)淇臻gX可表示為兩個(gè)非空不交開集的并集，則X稱為__________；若X中任意兩點(diǎn)都存在不交的鄰域，則X滿足__________分離公理（填寫T?/T?/T?）。球面S2與環(huán)面T2的歐拉示性數(shù)分別為__________和__________；這一差異表明它們__________（同胚/不同胚）。哥尼斯堡七橋問(wèn)題中，歐拉將陸地抽象為__________，橋梁抽象為__________，最終得出該圖__________（能/不能）一筆畫成的結(jié)論，其依據(jù)是奇點(diǎn)個(gè)數(shù)為__________。Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理指出：若f:D?→D?是連續(xù)映射（其中D?為n維閉單位球），則存在x∈D?使得__________。當(dāng)n=1時(shí)，該定理的幾何意義是__________。三、解答題（本大題共4小題，共80分）（15分）設(shè)X為拓?fù)淇臻g，A?X，證明：（1）A的閉包$\overline{A}$是包含A的最小閉集；（2）若A是閉集，則$\overline{A}=A$；若A是開集，則其補(bǔ)集$X\setminusA$是閉集。（20分）考慮實(shí)數(shù)集?上的兩個(gè)拓?fù)洌簶?biāo)準(zhǔn)拓?fù)洇?：由所有開區(qū)間(a,b)生成；下限拓?fù)洇?：由所有半開區(qū)間[a,b)生成。（1）證明τ?比τ?更細(xì)（即τ??τ?）；（2）在τ?中，判斷單點(diǎn)集{x}是否為閉集，并說(shuō)明理由；（3）證明函數(shù)f:(?,τ?)→(?,τ?)，f(x)=x是連續(xù)映射，但逆映射不連續(xù)。（25分）曲面分類與拓?fù)洳蛔兞浚?）簡(jiǎn)述可定向閉曲面的分類定理，指出其標(biāo)準(zhǔn)型的構(gòu)成；（2）計(jì)算下列曲面的歐拉示性數(shù)：①正方體表面；②克萊因瓶；③射影平面；（3）證明：若兩個(gè)閉曲面的歐拉示性數(shù)和可定向性相同，則它們同胚。（20分）實(shí)際應(yīng)用題（1）用拓?fù)鋵W(xué)原理解釋“不能把輪胎的內(nèi)胎翻轉(zhuǎn)后再裝回外胎”的現(xiàn)象；（2）某展覽館有6個(gè)展廳，布局如圖所示（相鄰展廳有門相通），參觀者能否從入口進(jìn)入，不重復(fù)經(jīng)過(guò)任何門，最終從出口離開？用圖論和拓?fù)鋵W(xué)知識(shí)說(shuō)明理由。（注：展廳布局可抽象為頂點(diǎn)數(shù)V=6，邊數(shù)E=8的連通圖，入口和出口分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)頂點(diǎn)）參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（簡(jiǎn)要提示）一、選擇題B2.A3.C4.C5.B二、填空題{?,X}；8不連通空間；T?（Hausdorff）2；0；不同胚頂點(diǎn)；邊；不能；4f(x)=x；閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有不動(dòng)點(diǎn)三、解答題（1）利用閉包定義和開集性質(zhì)證明；（2）直接由閉集與閉包的關(guān)系推導(dǎo)。（1）證明每個(gè)開區(qū)間可表示為半開區(qū)間的并；（2）單點(diǎn)集的補(bǔ)集在τ?中是開集；（3）利用開集原像的連續(xù)性定義。（1）可定向閉曲面分類為球面、n個(gè)環(huán)面連通和；（2）①2，②0，③1；（3）結(jié)合分類定理和拓?fù)洳蛔兞康亩x。（1）輪胎（環(huán)面）與翻轉(zhuǎn)后的內(nèi)胎具有不同的定向性；（2）計(jì)算奇點(diǎn)個(gè)數(shù)，若為0或2則可一筆畫，否則不能。命題說(shuō)明：本試卷嚴(yán)格遵循高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽對(duì)拓?fù)涑醪降囊?，覆蓋拓?fù)淇臻g、連續(xù)映射、同胚、歐拉示性數(shù)等核心概念，題型兼顧基礎(chǔ)理論與應(yīng)用，難度梯度從概念辨析