2025年下學期高中數(shù)學俱樂部活動試卷一、填空題（本大題共8小題，每小題8分，滿分64分）若(\log_{3}(9x))，(\log_{9}(27x))，(\log_{27}(3x))成等差數(shù)列，則正數(shù)(x)的值為______。設集合(A={1,2,3,\ldots,100})，(B={a^2+2a\mida\inA})，則(A\cupB)的元素個數(shù)為______。設點(P)在橢圓(\Gamma:\frac{x^2}{2025}+\frac{y^2}{914}=1)上，(F_1,F_2)為(\Gamma)的兩個焦點，線段(PF_1)交橢圓(\Gamma)于點(Q)。若(\triangleF_2PQ)的周長為8，則線段(F_2Q)的長度為______。設函數(shù)(f(x))的定義域為(\mathbb{R})，(g(x)=(x-1)f(x))，(h(x)=f(x)+x)。若(g(x))為奇函數(shù)，(h(x))為偶函數(shù)，則(f(2025)=)______。已知正四棱錐(P-ABCD)的底面邊長為2，側棱長為(\sqrt{5})，則該棱錐外接球的表面積為______。設復數(shù)(z_1,z_2)滿足(|z_1|=|z_2|=1)，且(z_1+z_2=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)，則(|z_1-z_2|=)______。已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{a_n}{2a_n+1})，則(\sum_{k=1}^{2025}a_ka_{k+1}=)______。從1到2025的正整數(shù)中，能被3或5整除但不能被7整除的數(shù)的個數(shù)為______。二、解答題（本大題共6小題，滿分136分）9.（本題滿分20分）已知函數(shù)(f(x)=\sin^2x+\sinx\cosx+\cos^2x)，求：（1）(f(x))的最小正周期；（2）(f(x))在區(qū)間([0,\frac{\pi}{2}])上的最大值與最小值。10.（本題滿分22分）如圖，在三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AA_1\perp)底面(ABC)，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)為(BC)的中點。（1）求證：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求二面角(C-AC_1-D)的余弦值。11.（本題滿分24分）已知拋物線(C:y^2=4x)的焦點為(F)，過點(F)的直線(l)與拋物線交于(A,B)兩點，點(M)在拋物線的準線上，且(MA\perpMB)。（1）求直線(l)的斜率；（2）求(\triangleMAB)面積的最小值。12.（本題滿分25分）設(m,n,k)都是正整數(shù)，(m\geq2)，且(n\geqk\geq2)，實數(shù)(x_1\geqx_2\geq\ldots\geqx_n\geq0)，滿足以下兩個條件：（1）(x_1^m+x_2^m+\ldots+x_n^m\geq1)；（2）(x_1+x_2+\ldots+x_n\leqk)。證明：(x_1+x_2+\ldots+x_k\geq1)。13.（本題滿分25分）求具有下述性質的所有正整數(shù)(n)：存在(n)的一個倍數(shù)(N)，其在十進制表示下不含數(shù)碼0，但含有1,2,…,9中每一個數(shù)碼，并且對任意(i\in{1,2,\ldots,9})，可以刪去(N)的十進制表示中的一個數(shù)碼(i)，使所得的數(shù)仍是(n)的倍數(shù)。14.（本題滿分20分）甲乙兩人玩如下的游戲：猜一個滿足(\tau(N)\leq2^{10000}+100)的正整數(shù)(N)，其中(\tau(N))是(N)的正約數(shù)個數(shù)。規(guī)則如下：先由甲確定一個正整數(shù)(k)，并告知乙；然后乙想一個滿足要求的(N)，并且：（1）告訴甲(\tau(N))的值；（2）給出(N)的(k)個不同的正約數(shù)（若(\tau(N)\leqk)，則乙只需給出(N)的所有正約數(shù)；若(\tau(N)>k)，則乙可以選擇性地給出(N)的(k)個正約數(shù)）。求最小的(k)，使得甲一定能猜出(N)。三、附加題（本大題共2小題，每小題20分，滿分40分，不計入總分，供學有余力的同學選做）15.如圖，在(\triangleABC)中，(D)為邊(BC)的中點，延長(AD)交(\triangleABC)的外接圓于點(P)，過點(B,P)作一個圓與邊(AC)相切于點(E)，過點(C,P)作一個圓與邊(AB)相切于點(F)，證明：(AD,BE,CF)三線共點。16.設(a_1,a_2,\ldots,a_n)是正實數(shù)，且(a_1+a_2+\ldots+a_n=1)，求證：[\sum_{i=1}^n\frac{a_i^2}{1-a_i}\geq