2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)與拓?fù)鋵W(xué)初步試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）已知集合(A={x\midx^2-3x+2=0})，(B={x\mid\ln(x-1)\leq0})，則(A\capB=)（）A.({1})B.({2})C.({1,2})D.(\varnothing)函數(shù)(f(x)=\frac{\sqrt{4-x^2}}{\ln(x+1)})的定義域是（）A.((-1,2])B.((-1,0)\cup(0,2])C.([-2,0)\cup(0,2])D.((-1,2))在空間直角坐標(biāo)系中，平面(2x-y+3z=6)與平面(x+2y-z=3)的位置關(guān)系是（）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.重合已知向量(\vec{a}=(1,2,-1))，(\vec=(m,1,2))，若(\vec{a}\perp\vec)，則(m=)（）A.-4B.-2C.2D.4拓?fù)鋵W(xué)中，下列圖形與“甜甜圈”（圓環(huán)面）同胚的是（）A.球體B.茶杯C.克萊因瓶D.正方體函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)在區(qū)間([-1,3])上的最大值是（）A.2B.0C.-2D.6已知函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0)，(|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的部分圖像如圖所示，則(\omega)和(\varphi)的值分別為（）A.(\omega=2)，(\varphi=\frac{\pi}{3})B.(\omega=2)，(\varphi=\frac{\pi}{6})C.(\omega=1)，(\varphi=\frac{\pi}{3})D.(\omega=1)，(\varphi=\frac{\pi}{6})在拓?fù)淇臻g中，下列說(shuō)法正確的是（）A.開(kāi)集的補(bǔ)集一定是閉集B.有限集一定是緊致集C.連通空間的子集一定連通D.同胚映射不保持點(diǎn)的鄰域結(jié)構(gòu)曲線(xiàn)(y=x^2)與直線(xiàn)(y=x+2)所圍成的封閉圖形的面積是（）A.(\frac{9}{2})B.(\frac{7}{2})C.(\frac{5}{2})D.(\frac{3}{2})已知函數(shù)(f(x))在(\mathbb{R})上可導(dǎo)，且(f'(x)=x^2-2x)，則(f(x))的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.((-\infty,0))B.((0,2))C.((2,+\infty))D.((-\infty,0)\cup(2,+\infty))二、填空題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）計(jì)算定積分：(\int_{0}^{\pi}\sinx,dx=)__________。已知函數(shù)(f(x)=\lnx+ax)在(x=1)處的切線(xiàn)方程為(y=2x+b)，則(a+b=)__________。拓?fù)鋵W(xué)中，“歐拉示性數(shù)”是描述圖形拓?fù)湫再|(zhì)的重要指標(biāo)。對(duì)于一個(gè)連通的平面圖，其頂點(diǎn)數(shù)(V)、邊數(shù)(E)、面數(shù)(F)滿(mǎn)足歐拉公式：(V-E+F=)__________。已知函數(shù)(f(x)=\frac{1}{x}+\lnx)，則(f'(1)=)__________。在空間幾何體中，棱長(zhǎng)為2的正四面體的體積是__________。三、解答題（本大題共6小題，共70分）16.（10分）已知函數(shù)(f(x)=x^2-2ax+a^2-1)，其中(a)為常數(shù)。（1）若函數(shù)(f(x))在區(qū)間([0,2])上的最小值為-2，求(a)的值；（2）解不等式(f(x)>0)。17.（12分）在三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB=AC=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(PA=3)。（1）求三棱錐(P-ABC)的體積；（2）求異面直線(xiàn)(PB)與(AC)所成角的余弦值。18.（12分）已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax-1)（(a\in\mathbb{R})）。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若(f(x)\geq0)對(duì)任意(x\in\mathbb{R})恒成立，求(a)的值。19.（12分）拓?fù)鋵W(xué)初步應(yīng)用：（1）解釋“同胚”的定義，并舉例說(shuō)明日常生活中兩個(gè)同胚的物體；（2）為什么說(shuō)“咖啡杯和甜甜圈同胚”？從拓?fù)渥儞Q的角度分析其合理性。20.（12分）已知曲線(xiàn)(C:y=x^3-3x^2+2x)。（1）求曲線(xiàn)(C)在點(diǎn)((1,0))處的切線(xiàn)方程；（2）求曲線(xiàn)(C)與(x)軸所圍成的封閉圖形的面積。21.（12分）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)(A(1,0,0))，(B(0,1,0))，(C(0,0,1))，(D(1,1,1))。（1）證明：四點(diǎn)(A,B,C,D)共面；（2）求平面(ABC)的一個(gè)法向量，并計(jì)算點(diǎn)(D)到平面(ABC)的距離。四、附加題（本大題共2小題，每小題10分，共20分，不計(jì)入總分，供學(xué)有余力的學(xué)生選做）拓?fù)鋵W(xué)中，“莫比烏斯帶”是一種單側(cè)曲面。請(qǐng)簡(jiǎn)述其構(gòu)造方法，并說(shuō)明它與普通圓柱面的拓?fù)洳町悺Ｒ阎瘮?shù)(f(x)=\frac{\lnx}{x})，求其在區(qū)間([1,e^2])上的最大值和最小值，并證明：對(duì)任意(x>0)，(\lnx\leq\frac{x-1}{\sqrt{x}})。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（部分）（注：完整答案及解析可參考教師用卷，此處僅列舉部分小題示例）一、選擇題B2.B3.C4.A5.B6.A7.B8.B9.A10.B二、填空題212.013.214.015.(\frac{2\sqrt{2}}{3})三、解答題（示例）16.（10分）解：（1）(f(x)=(x-a)^2-1)，對(duì)稱(chēng)軸為(x=a)。當(dāng)(a\leq0)時(shí)，(f(x))在([0,2])上單調(diào)遞增，(f_{\min}=f(0)=a^2-1=-2)，無(wú)解；當(dāng)(0<a<2)時(shí)，(f_{\min}=f(a)=-1=-2)，無(wú)解；當(dāng)(a\geq2)時(shí)，(f(x))在([0,2])上單調(diào)遞減，(f_{\min}=f(2)=(2-a)^2-1=-2)，解得(a=3)或(a=1)（舍）。綜上，(a=3)。（2）(f(x)=(x-a)^2-1>0)，即((x-a)^2>1)，解得(x<a-1)或(x>a+1)。不等式的解集為((-\infty,a-1)\cup(a+1,+\infty))。19.（12分）（1）同胚定義：若兩個(gè)拓?fù)淇臻g存在雙向連續(xù)的一一映射（即雙方同胚映射），則稱(chēng)它們同胚。例如：籃球和足球同胚，因?yàn)榭赏ㄟ^(guò)拉伸、擠壓等連續(xù)變換將一個(gè)變?yōu)榱硪粋€(gè)，不撕裂也不粘連。（2）咖啡杯和甜甜圈同胚的原因：從拓?fù)鋵W(xué)角度，兩者都有一個(gè)“洞”，且可通過(guò)連續(xù)變形（如將咖啡杯的杯底逐漸擴(kuò)大，杯