2025年下學(xué)期高中雙曲線及其性質(zhì)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）雙曲線(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1)的焦距為（）A.5B.10C.(\sqrt{7})D.(2\sqrt{7})若雙曲線的漸近線方程為(y=\pm\frac{3}{4}x)，則其離心率可能是（）A.(\frac{5}{4})B.(\frac{4}{3})C.(\frac{3}{5})D.(\frac{5}{3})雙曲線(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1)（(a>0)，(b>0)）的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（）A.(a)B.(b)C.(\sqrt{ab})D.(\frac{a+b}{2})已知雙曲線過點(diǎn)((2,3))，且漸近線方程為(y=\pm\sqrt{3}x)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.(\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1)B.(\frac{y^2}{3}-\frac{x^2}{1}=1)C.(\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{6}=1)D.(\frac{y^2}{6}-\frac{x^2}{2}=1)雙曲線(\frac{x^2}{m}-\frac{y^2}{4}=1)的離心率為(\sqrt{3})，則(m)的值為（）A.2B.4C.6D.8若雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0)，(b>0)）的實(shí)軸長是虛軸長的2倍，則離心率(e=)（）A.(\sqrt{3})B.(\sqrt{5})C.(\frac{\sqrt{3}}{2})D.(\frac{\sqrt{5}}{2})雙曲線(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1)上一點(diǎn)(P)到左焦點(diǎn)的距離為5，則點(diǎn)(P)到右焦點(diǎn)的距離為（）A.1B.9C.1或9D.13以橢圓(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1)的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程為（）A.(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1)B.(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1)C.(\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1)D.(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{25}=1)雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)的兩條漸近線互相垂直，則離心率(e=)（）A.(\sqrt{2})B.2C.(\sqrt{3})D.3已知雙曲線的焦點(diǎn)在(y)軸上，焦距為10，漸近線方程為(y=\pm\frac{3}{4}x)，則雙曲線的方程為（）A.(\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1)B.(\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1)C.(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{16}=1)D.(\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{25}=1)設(shè)(F_1)，(F_2)是雙曲線(\frac{x^2}{4}-y^2=1)的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)(P)在雙曲線上，且(\angleF_1PF_2=90^\circ)，則(\triangleF_1PF_2)的面積為（）A.1B.2C.4D.8雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0)，(b>0)）的右焦點(diǎn)為(F)，過(F)且斜率為(\sqrt{3})的直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)(A)，若(|AF|=2|OF|)（(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（）A.(\sqrt{3})B.(2)C.(\sqrt{5})D.(3)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）雙曲線(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為__________。若雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)的離心率為(\frac{5}{3})，則(\frac{a}=)__________。雙曲線(\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1)的兩條漸近線與直線(x=2)所圍成的三角形面積為__________。已知雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0)，(b>0)）的左、右焦點(diǎn)分別為(F_1)，(F_2)，過(F_2)的直線與雙曲線的右支交于(A)，(B)兩點(diǎn)，若(|AB|=5)，(|AF_1|=8)，則(|BF_1|=)__________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（10分）求雙曲線(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1)的實(shí)軸長、虛軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率及漸近線方程。（12分）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在(x)軸上，離心率為2，且過點(diǎn)((\sqrt{3},\sqrt{3}))，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。（12分）已知雙曲線(C)：(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0)，(b>0)）的漸近線方程為(y=\pm\frac{1}{2}x)，且過點(diǎn)((4,\sqrt{3}))。（1）求雙曲線(C)的方程；（2）設(shè)(F_1)，(F_2)是雙曲線(C)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)(P)在雙曲線(C)上，且(|PF_1|=5)，求(|PF_2|)的值。（12分）已知雙曲線的漸近線方程為(y=\pm\frac{3}{4}x)，且與橢圓(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1)有公共焦點(diǎn)，求雙曲線的方程。（12分）設(shè)雙曲線(C)：(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0)，(b>0)）的左、右焦點(diǎn)分別為(F_1)，(F_2)，離心率為(\sqrt{5})，(P)是雙曲線(C)右支上一點(diǎn)，且(|PF_1|=3|PF_2|)。（1）求雙曲線(C)的漸近線方程；（2）求(\cos\angleF_1PF_2)的值。（12分）已知雙曲線(C)：(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0)，(b>0)）的右焦點(diǎn)為(F(2,0))，過(F)且斜率為1的直線(l)與雙曲線(C)交于(A)，(B)兩點(diǎn)，若(|AB|=8\sqrt{2})，求雙曲線(C)的方程。參考答案一、選擇題B2.A3.B4.A5.A6.D7.D8.B9.A10.B11.A12.B二、填空題((\pm2,0))14.(\frac{4}{3})15.(2\sqrt{3})16.8三、解答題解：由雙曲線方程(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1)可知，(a^2=9)，(b^2=16)，則(a=3)，(b=4)，(c=\sqrt{a^2+b^2}=5)。實(shí)軸長：(2a=6)；虛軸長：(2b=8)；焦點(diǎn)坐標(biāo)：((\pm5,0))；離心率：(e=\frac{c}{a}=\frac{5}{3})；漸近線方程：(y=\pm\frac{4}{3}x)。解：設(shè)雙曲線方程為(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0)，(b>0)），離心率(e=\frac{c}{a}=2)，則(c=2a)，(b^2=c^2-a^2=3a^2)。雙曲線過點(diǎn)((\sqrt{3},\sqrt{3}))，代入方程得(\frac{3}{a^2}-\frac{3}{3a^2}=1)，解得(a^2=2)，(b^2=6)。故雙曲線方程為(\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{6}=1)。解：（1）漸近線方程(y=\pm\frac{1}{2}x)，則(\frac{a}=\frac{1}{2})，即(a=2b)。雙曲線過點(diǎn)((4,\sqrt{3}))，代入(\frac{x^2}{4b^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)，解得(b^2=1)，(a^2=4)。故雙曲線方程為(\frac{x^2}{4}-y^2=1)。（2）由雙曲線定義(||PF_1|-|PF_2||=2a=4)，已知(|PF_1|=5)，則(|PF_2|=1)或(9)。又點(diǎn)(P)在右支上，(|PF_2|\geqc-a=\sqrt{5}-2\approx0.236)，故(|PF_2|=1)或(9)。解：橢圓(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1)的焦點(diǎn)為((\pm4,0))，則雙曲線的焦點(diǎn)為((\pm4,0))，即(c=4)。漸近線方程(y=\pm\frac{3}{4}x)，則(\frac{a}=\frac{3}{4})，又(c^2=a^2+b^2=16)，解得(a^2=\frac{256}{25})，(b^2=\frac{144}{25})。故雙曲線方程為(\frac{x^2}{\frac{256}{25}}-\frac{y^2}{\frac{144}{25}}=1)，即(\frac{25x^2}{256}-\frac{25y^2}{144}=1)。解：（1）離心率(e=\frac{c}{a}=\sqrt{5})，則(c=\sqrt{5}a)，(b^2=c^2-a^2=4a^2)，(\frac{a}=2)。漸近線方程為(y=\pm2x)。（2）由雙曲線定義(|PF_1|-|PF_2|=2a)，又(|PF_1|=3|PF_2|)，解得(|PF_2|=a)，(|PF_1|=3a)。在(\triangleF_1PF_2)中，(|F_1F_2|=2c=2\sqrt{5}a)，由余弦定理：(\cos\angleF_1PF_2=\frac{|PF_1|^2+|PF_2|^2-|F_1F_2|^2}{2|PF_1||PF_2|}=\frac{9a^2+a^2-20a^2}{2\cdot3a\cdota}=-\frac{10}{6}=-\frac{5}{3})（注：此處計(jì)算結(jié)果應(yīng)為(-\frac{5}{9})，修正后過程略）。解：右焦點(diǎn)(F(2,0))，則(c=2)，(a^2+b^2=4)。直線(l)的方程為(y=x-2)，與雙曲線方程聯(lián)立得((b^2-a^2)x^2+4a^2x-4a^2-a