2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)期末考試：抽樣調(diào)查方法與樣本估計(jì)誤差控制實(shí)例試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共10分。請將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號內(nèi)。）1.在抽樣調(diào)查中，下列哪項(xiàng)不屬于抽樣誤差的來源？(A)抽樣框的不完整(B)樣本量不足(C)調(diào)查員的偏見(D)總體方差大2.某市欲調(diào)查全市居民的平均月收入，將全市所有家庭按戶籍號順序排列，然后隨機(jī)抽取100戶進(jìn)行調(diào)查。這種抽樣方法屬于：(A)簡單隨機(jī)抽樣(B)系統(tǒng)抽樣(C)分層抽樣(D)整群抽樣3.在分層抽樣中，若要使得總體均值的無偏估計(jì)的方差最小，理想的分層方式是：(A)層內(nèi)方差盡可能大，層間方差盡可能小(B)層內(nèi)方差盡可能小，層間方差盡可能大(C)層內(nèi)方差和層間方差均盡可能大(D)層內(nèi)方差和層間方差均盡可能小4.對于一個給定的總體和固定的抽樣方法，減小抽樣平均誤差的有效途徑是：(A)擴(kuò)大樣本量(B)縮小總體方差(C)提高置信水平(D)采用分層抽樣代替整群抽樣5.在進(jìn)行整群抽樣時，為了降低抽樣誤差，通常需要：(A)增加群數(shù)(B)減少群數(shù)(C)增大群內(nèi)單位數(shù)(D)減少群內(nèi)單位數(shù)二、簡答題（每小題5分，共20分。）1.簡述影響抽樣誤差大小的因素有哪些？2.簡述無回答誤差的主要類型及其可能帶來的影響。3.簡述分層抽樣的主要優(yōu)點(diǎn)。4.簡述整群抽樣的主要缺點(diǎn)。三、計(jì)算題（每小題10分，共30分。）1.某工廠生產(chǎn)某種零件，為估計(jì)其平均重量，隨機(jī)抽取200個零件進(jìn)行稱重，測得樣本平均重量為50克，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為1.5克。試計(jì)算樣本平均重量的抽樣平均誤差（假設(shè)總體近似正態(tài)分布）。2.某地區(qū)有20個村，每個村有100戶家庭?，F(xiàn)欲采用整群抽樣方法調(diào)查該地區(qū)家庭年收入情況，隨機(jī)抽取了4個村，對抽中的每個村的100戶家庭全部進(jìn)行調(diào)查。調(diào)查結(jié)果顯示，這4個村的平均年收入的樣本方差為s_w2=102萬元2。試估計(jì)該地區(qū)家庭年收入的抽樣平均誤差（假設(shè)村間方差為村內(nèi)方差的2倍）。3.某大學(xué)有學(xué)生10000人，按性別分為男、女兩部分，其中男生7000人，女生3000人?，F(xiàn)欲進(jìn)行一項(xiàng)抽樣調(diào)查，要求抽樣比例與總體比例一致，且要求樣本均值估計(jì)的方差最小。若計(jì)劃抽取樣本量n=400人，應(yīng)如何分配男生和女生的人數(shù)？并計(jì)算此時樣本均值估計(jì)量的方差。四、論述題（15分。）某研究者欲調(diào)查城市居民的出行方式，他計(jì)劃采用抽樣調(diào)查的方法。請結(jié)合抽樣調(diào)查的理論知識，分析該研究在抽樣設(shè)計(jì)時應(yīng)考慮的主要問題，并提出一個可能的抽樣方案框架，說明選擇該方案的理由以及如何控制可能產(chǎn)生的抽樣誤差和非抽樣誤差。試卷答案一、選擇題（每小題2分，共10分。）1.C*解析思路：抽樣誤差是指抽樣結(jié)果與總體真值之間的差異，主要由隨機(jī)因素引起。抽樣框的不完整、樣本量不足、總體方差大都會導(dǎo)致抽樣誤差增大。調(diào)查員的偏見屬于調(diào)查過程中可能引入的非抽樣誤差。2.B*解析思路：系統(tǒng)抽樣是將總體單位按一定順序排列，按固定的間隔抽取樣本單位。題中描述的“按戶籍號順序排列，然后隨機(jī)抽取100戶”符合系統(tǒng)抽樣的定義。3.B*解析思路：分層抽樣的原理是將總體劃分為互不重疊的層，在各層內(nèi)進(jìn)行隨機(jī)抽樣，然后合并樣本進(jìn)行推斷。為了使估計(jì)量的方差最小，理想情況是層內(nèi)方差盡可能?。ǚ讲钤趯觾?nèi)凝聚），層間方差盡可能大（方差在層間分散），這樣可以將總方差主要集中在層間，抽樣估計(jì)的精度最高。4.A*解析思路：抽樣平均誤差的大小與樣本量的平方根成正比（在其他條件不變的情況下）。增加樣本量是減小抽樣誤差最直接、最有效的方法。總體方差、置信水平、抽樣方法的選擇都會影響抽樣誤差，但題目問的是“有效途徑”，增加樣本量是最主要和可控的途徑。5.B*解析思路：整群抽樣是將總體劃分為群，隨機(jī)抽取群，然后調(diào)查被抽中群內(nèi)的所有單位。整群抽樣的主要缺點(diǎn)是樣本單位在空間上或時間上較為集中，導(dǎo)致樣本分布不均勻，可能增加抽樣誤差。為了減小抽樣誤差，通常需要增加抽中的群數(shù)（即增加群規(guī)?；驕p少群數(shù)），使得樣本分布更接近總體分布。二、簡答題（每小題5分，共20分。）1.簡述影響抽樣誤差大小的因素有哪些？*解析思路：回答時應(yīng)從影響抽樣誤差的系統(tǒng)性因素和非系統(tǒng)性因素兩方面考慮。系統(tǒng)性因素主要是樣本的代表性問題，如抽樣框偏差、抽樣方法本身的局限性等。非系統(tǒng)性因素主要是隨機(jī)因素，主要包括：抽樣方法（不同方法的方差公式不同）、樣本量的大?。颖玖吭酱螅`差越?。?、總體的變異程度（總體方差越大，誤差越大）。2.簡述無回答誤差的主要類型及其可能帶來的影響。*解析思路：首先列出主要類型，如無回答（完全無回答）、部分無回答。然后分別說明其含義。接著分析可能帶來的影響，主要是導(dǎo)致樣本代表性偏差，使得抽樣估計(jì)結(jié)果可能偏向于應(yīng)答者群體，從而影響調(diào)查結(jié)果的準(zhǔn)確性。3.簡述分層抽樣的主要優(yōu)點(diǎn)。*解析思路：分層抽樣的優(yōu)點(diǎn)應(yīng)圍繞其“分層”這一核心操作展開。主要包括：①可獲得各層子總體的詳細(xì)信息；②可對各層進(jìn)行獨(dú)立分析；③可保證樣本在層內(nèi)的代表性，提高估計(jì)精度（在相同樣本量下）；④可結(jié)合行政區(qū)域等現(xiàn)有信息進(jìn)行分層，方便抽樣實(shí)施。4.簡述整群抽樣的主要缺點(diǎn)。*解析思路：整群抽樣的缺點(diǎn)主要也是由其抽樣方式“群”決定的。主要包括：①樣本單位分布集中，可能增加抽樣誤差（群內(nèi)單位同質(zhì)性較高，群間異質(zhì)性較低時）；②抽樣效率通常低于同等樣本量的簡單隨機(jī)抽樣；③在樣本量確定時，每個群需要包含較多單位才能保證足夠的精度；④對群的劃分質(zhì)量要求高，若劃分不當(dāng)會影響結(jié)果。三、計(jì)算題（每小題10分，共30分。）1.某工廠生產(chǎn)某種零件，為估計(jì)其平均重量，隨機(jī)抽取200個零件進(jìn)行稱重，測得樣本平均重量為50克，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為1.5克。試計(jì)算樣本平均重量的抽樣平均誤差（假設(shè)總體近似正態(tài)分布）。*解析思路：計(jì)算樣本均值抽樣平均誤差。由于總體方差未知，用樣本方差s代替。使用重復(fù)抽樣公式：σ_?=s/√n。代入s=1.5克，n=200計(jì)算。*答案：σ_?=1.5/√200≈0.1061克。2.某地區(qū)有20個村，每個村有100戶家庭?，F(xiàn)欲采用整群抽樣方法調(diào)查該地區(qū)家庭年收入情況，隨機(jī)抽取了4個村，對抽中的每個村的100戶家庭全部進(jìn)行調(diào)查。調(diào)查結(jié)果顯示，這4個村的平均年收入的樣本方差為s_w2=102萬元2。試估計(jì)該地區(qū)家庭年收入的抽樣平均誤差（假設(shè)村間方差為村內(nèi)方差的2倍）。*解析思路：整群抽樣誤差計(jì)算。公式為σ_?c=√(R/(r(r-1))*σ_b2，其中R為總體群數(shù)，r為樣本群數(shù)，σ_b2為群間方差。題目給出s_w2=1002萬元2，假設(shè)它主要反映了群間方差（或群間方差的估計(jì)值），即σ_b2≈1002。R=20，r=4。代入公式計(jì)算。*答案：σ_?c=√(20/(4*3))*1002≈√(20/12)*100≈1.414*100≈141.42萬元。3.某大學(xué)有學(xué)生10000人，按性別分為男、女兩部分，其中男生7000人，女生3000人?，F(xiàn)欲進(jìn)行一項(xiàng)抽樣調(diào)查，要求抽樣比例與總體比例一致，且要求樣本均值估計(jì)的方差最小。若計(jì)劃抽取樣本量n=400人，應(yīng)如何分配男生和女生的人數(shù)？并計(jì)算此時樣本均值估計(jì)量的方差。*解析思路：比例抽樣。首先計(jì)算總體比例，男生比例p_1=7000/10000=0.7，女生比例p_2=3000/10000=0.3。按比例分配樣本量，男生樣本量n_1=0.7*400=280人，女生樣本量n_2=0.3*400=120人。然后計(jì)算比例抽樣下均值估計(jì)量的方差，公式為Var(?x?_ps)=(1-f_12*σ_12+(1-f_22*σ_22)/n，其中f_i=n_i/N_i。需要知道或假設(shè)男女生年收入的樣本方差s_12和s_22。題目未給出，若假設(shè)s_12=s_22=s2，則Var(?x?_ps)=(1-280/7000)2*s2+(1-120/3000)2*s2/400=(1-0.04)2*s2/25+(1-0.04)2*s2/10/400=(0.96)2*s2*(1/25+1/10*1/400)=0.9216*s2*(16/400+4/400)=0.9216*s2*20/400=0.9216*s2*1/20=0.04608*s2。若題目未給方差s2，則只能寫出分配方案，并表達(dá)方差形式為0.04608*s2。*答案：男生分配280人，女生分配120人。方差為0.04608*s2（其中s2為假設(shè)的男生或女生年收入方差）。四、論述題（15分。）某研究者欲調(diào)查城市居民的出行方式，他計(jì)劃采用抽樣調(diào)查的方法。請結(jié)合抽樣調(diào)查的理論知識，分析該研究在抽樣設(shè)計(jì)時應(yīng)考慮的主要問題，并提出一個可能的抽樣方案框架，說明選擇該方案的理由以及如何控制可能產(chǎn)生的抽樣誤差和非抽樣誤差。*解析思路：此題考察綜合應(yīng)用能力。*主要問題分析：需考慮：①總體界定（城市居民，如何定義）；②抽樣框的獲?。ㄈ绾握业剿谐鞘芯用衩麊危虎鄢闃臃椒ㄟx擇（考慮成本、效率和精度）；④樣本量確定；⑤抽樣誤差控制（減少抽樣誤差的方法）；⑥非抽樣誤差控制（減少無回答、測量誤差等）。*抽樣方案框架：可以提出一個多階段抽樣方案。例如：第一階段，抽取若干個具有代表性的城市區(qū)縣；第二階段，在抽中的區(qū)縣內(nèi)抽取若干個街道或社區(qū)；第三階段，在抽中的街道/社區(qū)內(nèi)，按地圖抽樣或抽樣框（如電話簿、戶籍）抽取若干個居民戶；第四階段，在抽中戶內(nèi)，根據(jù)家庭成員抽樣規(guī)則（如Kish表）或簡單隨機(jī)抽樣抽取一名成年居民作為調(diào)查對象。最終調(diào)查該居民的出行方式。*選擇理由：城市居民總體龐大、分布廣泛，使用簡單隨機(jī)抽樣或整群抽樣（若按行政區(qū)域）難以保證代表性或成本過高。多階段抽樣可以分層、分區(qū)域，逐步縮小范圍，有效控制成本，并有助于獲得更具代表性的樣本，同時便于實(shí)施。*誤差控制：*抽樣誤差：通過合理設(shè)計(jì)抽樣方案（如保證各階段抽樣比例、使用有效抽樣方法如PPS抽樣）、增大樣本量、選擇更有效的抽樣方法（如考慮出行時間等輔助變量進(jìn)行PPS抽樣）來控制。*非抽樣誤差：*抽樣框誤差：盡量獲取最完整的最新居民名單（如戶籍、電話簿、社區(qū)登記），并進(jìn)行