大學統(tǒng)計學期末考試：2025年統(tǒng)計與決策理論解析試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述參數(shù)估計的基本思想。在點估計和區(qū)間估計中，分別列舉一個你熟悉的估計量的名稱，并說明其所屬的估計量類型（如無偏估計、有效估計等）及其條件。二、設總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，σ2已知。從該總體中抽取一個容量為n的簡單隨機樣本X?,X?,...,Xn。寫出檢驗假設H?:μ=μ?對立假設H?:μ≠μ?的顯著性水平為α的拒絕域（用樣本均值X?表示）。三、在方差分析中，解釋什么是“誤差平方和”？什么是“處理平方和”？它們各自的自由度是多少？簡述F檢驗的基本思想。四、設某產(chǎn)品的使用壽命X（單位：小時）服從指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為f(x;θ)=θ^{-1}e^{-x/θ},x>0,θ>0。其中θ為未知參數(shù)。1.寫出θ的矩估計量。2.寫出θ的最大似然估計量。五、已知某種疾病的發(fā)病率為p?，F(xiàn)采用某種檢測方法對隨機抽取的n=100人進行檢測，其中有k=5人檢測結果為陽性。假設檢測方法正確，檢測結果為陽性的概率為p，檢測結果為陰性的概率為1-p。1.寫出樣本中檢測呈陽性人數(shù)k的分布列。2.若利用k=5作為樣本信息，檢驗原假設H?:p=0.1對立假設H?:p>0.1（顯著性水平α=0.05），寫出檢驗的拒絕域，并說明檢驗依據(jù)。六、某公司考慮推出一種新產(chǎn)品。市場研究顯示，如果產(chǎn)品定價高，銷售量Y?（單位：萬件）服從均值為10，標準差為2的正態(tài)分布；如果產(chǎn)品定價中等，銷售量Y?服從均值為15，標準差為3的正態(tài)分布；如果產(chǎn)品定價低，銷售量Y?服從均值為20，標準差為4的正態(tài)分布。各價格水平下的利潤函數(shù)分別為：π?(Y?)=50Y?-1000，π?(Y?)=40Y?-1200，π?(Y?)=30Y?-1500。假設公司無法預知市場需求屬于哪種情況，且三種情況發(fā)生的概率相等。請根據(jù)期望利潤最大的決策準則，確定公司的最優(yōu)定價策略。七、假設一個決策問題有三個可能的狀態(tài)θ?,θ?,θ?，和三個可能的行動a?,a?,a?。對應的損益矩陣如下（單位：萬元）：||θ?|θ?|θ?||:-------|:---|:---|:---||a?|10|-5|20||a?|0|15|-10||a?|25|5|5|1.如果決策者是風險規(guī)避者，且其效用函數(shù)為U(W)=√W，當前財富為50萬元。請計算在狀態(tài)θ?、θ?、θ?發(fā)生的先驗概率均為1/3時，采用行動a?,a?,a?的期望效用。2.假設通過進一步觀察獲得信息I，該信息可以確定狀態(tài)是θ?還是θ?或θ?。已知在狀態(tài)θ?發(fā)生時，觀察到信息I的概率為0.6；在狀態(tài)θ?發(fā)生時，觀察到信息I的概率為0.3；在狀態(tài)θ?發(fā)生時，觀察到信息I的概率為0.1。請計算信息I的期望價值（EVPI）。（提示：可能需要計算后驗概率）八、已知隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)為：f(x,y)={k*x*(1-y),0<x<1,0<y<10,其他}1.求常數(shù)k的值。2.求X和Y的邊際概率密度函數(shù)f_X(x)和f_Y(y)。3.X和Y是否相互獨立？請說明理由。4.求條件概率密度函數(shù)f_X|Y(x|y)和f_Y|X(y|x)（例如，對固定的y>0，求f_X|Y(x|y)）。試卷答案一、參數(shù)估計是指利用樣本的信息構建統(tǒng)計量來推斷總體的未知參數(shù)。其基本思想是用樣本的數(shù)字特征去估計總體的數(shù)字特征。點估計：例如，樣本均值X?是總體均值μ的無偏估計量。區(qū)間估計：例如，總體均值μ的(1-α)置信區(qū)間是(X?-t_(α/2,n-1)*(σ/√n),X?+t_(α/2,n-1)*(σ/√n))，其中X?是樣本均值，σ是總體標準差，n是樣本容量，t_(α/2,n-1)是t分布的(1-α/2)分位點。此區(qū)間估計量具有置信度為(1-α)的性質。二、拒絕域為：|X?-μ?|≥z_(α/2)*(σ/√n)。解析思路：檢驗H?:μ=μ?對H?:μ≠μ?，采用雙側檢驗。在H?為真時，樣本均值X?服從N(μ?,σ2/n)。根據(jù)正態(tài)分布的分位數(shù)定義，拒絕域為P(樣本值落入拒絕域|H?為真)≤α。將樣本均值標準化，得到拒絕域為P(|Z|≥z_(α/2))=α，其中Z~N(0,1)。即P(X?-μ?≥z_(α/2)*(σ/√n)或X?-μ?≤-z_(α/2)*(σ/√n))=α。等價于P(|X?-μ?|≥z_(α/2)*(σ/√n))=α。所以拒絕域為|X?-μ?|≥z_(α/2)*(σ/√n)。三、誤差平方和SSE是衡量樣本數(shù)據(jù)對樣本均值的偏離程度的指標，即SSE=Σ(xi-X?)2，其中i=1,2,...,n，X?是樣本均值。處理平方和SSA是衡量不同處理組（或因子水平）均值差異的指標，即SSA=Σ(n_i*(X?_i-X?)2)，其中X?_i是第i個處理組的樣本均值，n_i是第i個處理組的樣本容量，X?是所有樣本的總體均值。SSE的自由度是n-1，SSA的自由度是k-1（k為處理組數(shù)）。F檢驗的基本思想是比較組內變異（由誤差引起）和組間變異（由處理引起）的相對大小。計算F統(tǒng)計量F=MS_A/MS_E，其中MS_A=SSA/(k-1)是處理均方，MS_E=SSE/(n-k)是誤差均方。若F統(tǒng)計量顯著大于1（其分布取決于F分布），則認為不同處理組的均值存在顯著差異，從而拒絕原假設。四、1.矩估計量：θ?_M=2*(樣本均值X?)。解析思路：矩估計法是用樣本矩來估計總體矩。對于指數(shù)分布，其一階矩（期望）E(X)=θ。樣本均值X?是E(X)的無偏估計量。因此，令E(X)=θ，即θ=X?，得到θ的矩估計量為θ?_M=X?。由于E(X)=θ，E(X?)=θ，所以E(θ?_M)=E(2*X?)=2*θ。要使其為θ的無偏估計，系數(shù)應為1/2。故θ?_M=2*X?。2.最大似然估計量：θ?_MLE=X_(min)。解析思路：寫出似然函數(shù)L(θ)=Πf(x_i;θ)=θ^{-n}*exp(-Σx_i/θ)，其中x_i是樣本觀測值。取對數(shù)得到對數(shù)似然函數(shù)lnL(θ)=-nlnθ-Σx_i/θ。對θ求導數(shù)，得d(lnL)/dθ=-n/θ+Σx_i/θ2。令導數(shù)等于0，解得θ?_MLE=Σx_i/n。對于指數(shù)分布，最小觀測值X_(min)是順序統(tǒng)計量，其概率密度函數(shù)為n*θ^{-n}*exp(-X_(min)/θ)。似然函數(shù)為L(θ)=n*θ^{-n}*exp(-X_(min)/θ)。對數(shù)似然函數(shù)為lnL(θ)=ln(n)-nlnθ-X_(min)/θ。求導得d(lnL)/dθ=-n/θ+X_(min)/θ2。令導數(shù)為0，得θ?_MLE=X_(min)。五、1.樣本中檢測呈陽性人數(shù)k的分布列為二項分布B(n,p)，即P(K=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中k=0,1,...,n。解析思路：每次檢測可視為一次伯努利試驗，成功（陽性）概率為p，失?。幮裕└怕蕿?-p。n次獨立重復試驗中成功次數(shù)k服從二項分布B(n,p)。2.拒絕域：k≥7。檢驗依據(jù)：利用大樣本近似，檢驗統(tǒng)計量Z=(k-np?)/sqrt(np?(1-p?))近似服從N(0,1)。拒絕域為P(Z≥z_(α))=α。查標準正態(tài)分布表得z_(0.05)=1.645。即(k-10*0.1)/sqrt(100*0.1*0.9)≥1.645。解得k≥10*0.1+1.645*sqrt(9)=1+4.935=5.935。因為k必須是整數(shù)，所以拒絕域為k≥6。然而，題目中樣本量n=100，k=5，p?=0.1，np?=10，np?(1-p?)=9，樣本量足夠大，可以直接計算檢驗統(tǒng)計量Z=(5-10)/sqrt(9)=-5/3≈-1.67。比較P(Z≥-1.67)=1-P(Z<-1.67)=1-0.9525=0.0475<0.05。因此，拒絕原假設H?。（注：此處按大樣本近似處理，若按二項分布精確檢驗，α水平下拒絕域為k≥7。）六、最優(yōu)定價策略為中等定價（a?）。解析思路：計算各價格水平下的期望利潤：E[π?(Y?)]=50*E[Y?]-1000=50*10-1000=0萬元。E[π?(Y?)]=40*E[Y?]-1200=40*15-1200=0萬元。E[π?(Y?)]=30*E[Y?]-1500=30*20-1500=0萬元。由于三種情況下的期望利潤均為0，需要比較期望收益（E[利潤]=-成本=-固定成本）。固定成本分別為1000,1200,1500。期望收益分別為-1000,-1200,-1500。顯然，中等定價（a?）的期望收益最高（-1200>-1000,-1500）。因此，最優(yōu)定價策略是中等定價。七、1.期望效用：E[U(a?)]=(1/3)*U(10)+(1/3)*U(-5)+(1/3)*U(20)=(1/3)*√10+(1/3)*√(-5)+(1/3)*√20。E[U(a?)]=(1/3)*U(0)+(1/3)*U(15)+(1/3)*U(-10)=(1/3)*√50+(1/3)*√15+(1/3)*√(-10)。E[U(a?)]=(1/3)*U(25)+(1/3)*U(5)+(1/3)*U(5)=(1/3)*√25+(1/3)*√5+(1/3)*√5。（注：U(-5)和U(-10)為負值，若計算結果為復數(shù)，則需重新審視題目假設或信息。此處按實數(shù)計算，結果分別為(√10+√20+√(-5))/3,(√50+√15+√(-10))/3,(√25+2√5)/3。）2.EVPI：首先計算先驗期望損失（EOL）：EOL(a?)=(1/3)*Max[10-10,15-10,20-10]+(1/3)*Max[0-10,15-10,-10-10]+(1/3)*Max[25-10,5-10,5-10]=(1/3)*5+(1/3)*15+(1/3)*15=35/3。EOL(a?)=(1/3)*Max[10-0,15-0,20-0]+(1/3)*Max[0-0,15-0,-10-0]+(1/3)*Max[25-0,5-0,5-0]=(1/3)*20+(1/3)*15+(1/3)*25=60/3=20。EOL(a?)=(1/3)*Max[10-25,15-25,20-25]+(1/3)*Max[0-25,15-25,-10-25]+(1/3)*Max[25-25,5-25,5-25]=(1/3)*15+(1/3)*35+(1/3)*15=65/3。最優(yōu)先驗決策為a?，先驗期望損失EOL(π)=20。計算后驗期望損失（PEL）：后驗概率P(θ?|I)=P(I|θ?)P(θ?)/P(I)=0.6*(1/3)/[0.6*(1/3)+0.3*(1/3)+0.1*(1/3)]=0.6/1=0.6。P(θ?|I)=0.3/1=0.3。P(θ?|I)=0.1/1=0.1。PEL(a?|I)=0.6*5+0.3*15