高級中學名校試卷PAGEPAGE1北京市豐臺區(qū)2024-2025學年高二上學期期末數(shù)學試題第一部分選擇題（共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知向量，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，，則.故選：A.2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由直線，可得斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，其中，可得，所以.故選：C.3.與直線關(guān)于x軸對稱的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)對稱直線上的點為，則其關(guān)于軸的對稱點在直線上，所以，即.故選：B.4.已知圓與圓外切，則（）A. B. C.7 D.13【答案】C【解析】由，可得圓的圓心，半徑為，由，可得，所以圓心為，半徑為，因為兩圓外切，所，所以，則，解得．故選：C.5.已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】向量在向量上的投影向量為.故選：A.6.已知圓及點，在圓上任取一點，連接，將點折疊到點A，記與折痕的交點為（如圖）.當點在圓上運動時，點的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】連接，圓的圓心坐標為，半徑為4．因為將點折疊到點A，記與折痕的交點為，所以，所以，所以點的軌跡是以為焦點的橢圓，且，所以，所以，所以點的軌跡方程為．故選：A．7.在空間直角坐標系中，，，，D是平面內(nèi)一點，若，則的最小值為（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】，，又因為D在平面內(nèi)，所以，即，所以，當且僅當時取等號.所以.故選：C.8.設(shè)橢圓與雙曲線的離心率分別為，，若雙曲線漸近線的斜率均小于，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得雙曲線的漸近線的斜率的絕對值為，則，所以，，所以，且，則，所以A正確．故選：A．9.在圖形設(shè)計和創(chuàng)作中，常常需要用不同的形狀和線條進行組合，以創(chuàng)造出獨特的視覺效果.某校數(shù)學興趣小組設(shè)計了一個如圖所示的“螺旋線”：點，在直線l上，是邊長為1的等邊三角形，是以點為圓心，為半徑的圓弧，是以點為圓心，為半徑的圓弧，是以點為圓心，為半徑的圓弧，是以點為圓心，為半徑的圓弧，，依次類推（其中點，，，，共線，點，，，，共線，點，，，，共線）.由上述圓弧組成的曲線H與直線l恰有9個交點時，曲線H長度的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知，第個劣弧的半徑為，圓心角為，第一次以，，為圓心圓弧時，與直線l恰好有2個交點（不包括起點），同理第二次以，，為圓心圓弧時，與直線l恰好有2個交點，以此類推，每一輪以次以，，為圓心圓弧時，與直線l恰好有2個交點，上述圓弧組成的曲線H與直線l恰有9個交點時，要使曲線H長度的最小，則剛好轉(zhuǎn)四輪，所以曲線H長度的最小值為.故選：C.10.如圖，在棱長為2的正方體中，P為棱的中點，Q為底面上一動點，則下列說法正確的是（）A.存在點Q，使得BQ平面B.在棱上存在點Q，使得平面C.在線段上存在點，使得直線與所成的角為D.存在點，使得三棱錐的體積為2【答案】D【解析】以為坐標原點，所在直線為坐標軸建立如圖所示空間直角坐標系，則，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為，若平面，所以，則，解得，此時點不在底面內(nèi)，故不存在點Q，使得BQ平面，故A錯誤；假設(shè)在棱上存在點，使得平面，則，所以，又，所以，解得，此時點不在棱上，所以在棱上不存在點Q，使得平面，故B錯誤；假設(shè)在線段上存在點，使得直線與所成的角為，又，所以，又，所以，所以，整理得，，無解，所以在線段上不存在點，使得直線與所成的角為，故C錯誤；，所以點到平面的距離為，所以，又，由余弦定理可得，所以，所以，所以，所以存在點，使得三棱錐的體積為2，故D正確.故選：D.第二部分非選擇題（共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，若，則_______.【答案】【解析】根據(jù)題意，若，則，又，，所以，解得，所以.12.直線：被圓：截得的弦AB的長為______.【答案】【解析】由圓：，可得圓心，半徑，于是圓心到直線的距離，從而得，所以弦的長為.13.在棱長為2的正四面體中，M，N分別是的中點，則______.【答案】【解析】因為四面體是棱長為2的正四面體，所以，，所以，兩邊平方可得，所以.14.已知點，直線，動圓P過點F，且與直線l相切，則圓心P的軌跡C的方程為_______；若直線及分別與曲線C交于異于原點的M，N兩點.當直線MN過點F時，______.【答案】【解析】因為動圓P過點F，且與直線l相切，所以點P到點F的距離等于點P到直線l的距離，所以點P的軌跡是以點為焦點，直線為準線的拋物線，所以圓心P的軌跡C的方程為；因為直線與關(guān)于軸對稱，拋物線關(guān)于軸對稱，所以M，N兩點關(guān)于軸對稱，又直線MN過點F，所以M，N兩點的縱坐標為1，所以，解得，所以M，N兩點的坐標為或，將與代入直線方程，可得，解得，故答案為：；.15.已知方程所表示的曲線為C.給出以下四個結(jié)論：①曲線C與y軸有兩個不同交點；②曲線C關(guān)于原點對稱；③x軸及直線為曲線C的兩條漸近線；④若曲線C與圓有公共點，則r的最小值為.其中，所有正確結(jié)論的序號是________.【答案】①②③【解析】對于①，令，得，即，所以曲線C與y軸有兩個不同交點，故①正確；對于②，在曲線方程中，用代替，代替，得，即，所以曲線關(guān)于原點對稱，故②正確；對于③，因為方程，所以，所以，當時，，故為曲線C的一條漸近線；又時，沒有意義，故是曲線C的另一條漸近線，即x軸為曲線C的另一條漸近線，故x軸及直線為曲線C的兩條漸近線，故③正確；對于④，聯(lián)立及，消去x并整理得，因為，當且僅當，即時等號成立，若曲線C與圓有公共點，則，所以，所以r的最小值為，故④錯誤．綜上，正確結(jié)論的序號是①②③．三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，且.（1）求的通項公式；（2）求的前n項和的最小值，以及取得最小值時n的值.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，因為，，所以，所以，解得，所以.（2）因為是等差數(shù)列，所以，由（1）可知，，所以當時，有最小值.17.已知圓C經(jīng)過點，且圓心C是直線與軸的交點.（1）求圓C的方程；（2）若直線l與圓C交于A，B兩點，且四邊形為菱形，求直線l的方程.解：（1）因為圓心C是直線與軸的交點，所以圓心C的坐標為，又因為圓C經(jīng)過，所以圓C的半徑為，所以圓C的方程為.（2）因為四邊形CAMB為菱形，所以AB垂直平分CM，因為，所以又因為CM的中點坐標為所以直線AB的方程為，即.18.已知拋物線的焦點為F，過點F的直線l與C交于A，B兩點（其中點A在第一象限），點A到拋物線C的準線的距離為.（1）求直線l斜率；（2）若，求的值.解：（1）設(shè)點A的坐標，因為點A到拋物線準線的距離是，所以，所以，代入拋物線方程得：所以點，又因為點，所以直線l的斜率.（2）因為拋物線C的焦點F，所以直線l的方程為：由得：，可知恒成立，設(shè)點B的坐標，則，，所以.19.如圖，四棱錐中，底面ABCD，，平面，.（1）證明：；（2）再從條件①、條件②中選擇一個作為已知，求平面與平面夾角的余弦值．條件①：點B到平面PAC的距離為1；條件②：直線PC與平面PAB所成角的大小為30°.（1）證明：因為底面ABCD，平面ABCD，所以，因為，，平面PAB，所以平面，因為PB?平面，所以，因為平面，平面ABCD，平面ABCD∩平面PBC=BC，所以，所以.（2）解：由（1）可知，PA，AB，AD兩兩垂直，以A為原點，AD，AB，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示坐標系.若選條件①：方法1：過點B作BMAC，交AC于點M，因為PA底面ABCD，BM?平面ABC，所以PABM，因為AC∩PA=A，所以BM平面PAC，又點B到平面PAC的距離為1，所以BM=1，在Rt△ABC中，AC=2，所以.因此，，，又，，所以，.設(shè)是平面PBC的法向量，則，，即，取，則，，所以是平面PBC的一個法向量.因為BM平面PAC，所以是平面PAC的一個法向量.設(shè)平面ACP與平面BCP的夾角為，則，所以平面ACP與平面BCP夾角的余弦值為.方法2：，，設(shè)，則可求得平面PAC的法向量為，則，得.以下同方法1若選條件②：方法1：由（1）知BC平面PAB，因為直線PC與平面PAB所成角的大小為30°，所以即為PC與平面PAB所成角，即=30°.在Rt△PAC中，AC=PA=2，所以，在Rt△PBC中，，=30°，所以，方法2：由條件①方法2得到，是平面的PAB的一個法向量，所以，得.以下同條件①.綜上，可得平面與平面的夾角的余弦值為.20.已知橢圓過點，長軸長為4.（1）求橢圓E的方程及離心率；（2）若直線l：與橢圓E交于A，B兩點，過點B作斜率為0的直線與橢圓的另一個交點為D.求證：直線AD過定點.解：（1）因為橢圓E過點，所以，又因為長軸長為4，所以，所以，所以.橢圓E的方程為：，離心率.（2）由得：，由得：或，設(shè)點A的坐標，點B的坐標，則點D的坐標，，由已知得直線AD有斜率，直線AD的方程為：，令得：，所以直線AD過定點.21.已知無窮數(shù)列各項均為正數(shù)，且.（1）請判斷如下兩個結(jié)論是否正確：①；②；（2）當時，證明：；（3）記數(shù)列的前項和為，若，證明：.解：（1）由于，則，兩式相加得，即，所以；由于，所以，則，所以，所以①，②均正確；（2）因為，均有，所以當時，有，所以，所以，當時，有，所以，所以，所以，即，所以，整理得.（3）由（2）得，當時，有，所以，均有，即，所以所以，即，又因為，所以.北京市豐臺區(qū)2024-2025學年高二上學期期末數(shù)學試題第一部分選擇題（共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知向量，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，，則.故選：A.2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由直線，可得斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，其中，可得，所以.故選：C.3.與直線關(guān)于x軸對稱的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)對稱直線上的點為，則其關(guān)于軸的對稱點在直線上，所以，即.故選：B.4.已知圓與圓外切，則（）A. B. C.7 D.13【答案】C【解析】由，可得圓的圓心，半徑為，由，可得，所以圓心為，半徑為，因為兩圓外切，所，所以，則，解得．故選：C.5.已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】向量在向量上的投影向量為.故選：A.6.已知圓及點，在圓上任取一點，連接，將點折疊到點A，記與折痕的交點為（如圖）.當點在圓上運動時，點的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】連接，圓的圓心坐標為，半徑為4．因為將點折疊到點A，記與折痕的交點為，所以，所以，所以點的軌跡是以為焦點的橢圓，且，所以，所以，所以點的軌跡方程為．故選：A．7.在空間直角坐標系中，，，，D是平面內(nèi)一點，若，則的最小值為（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】，，又因為D在平面內(nèi)，所以，即，所以，當且僅當時取等號.所以.故選：C.8.設(shè)橢圓與雙曲線的離心率分別為，，若雙曲線漸近線的斜率均小于，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得雙曲線的漸近線的斜率的絕對值為，則，所以，，所以，且，則，所以A正確．故選：A．9.在圖形設(shè)計和創(chuàng)作中，常常需要用不同的形狀和線條進行組合，以創(chuàng)造出獨特的視覺效果.某校數(shù)學興趣小組設(shè)計了一個如圖所示的“螺旋線”：點，在直線l上，是邊長為1的等邊三角形，是以點為圓心，為半徑的圓弧，是以點為圓心，為半徑的圓弧，是以點為圓心，為半徑的圓弧，是以點為圓心，為半徑的圓弧，，依次類推（其中點，，，，共線，點，，，，共線，點，，，，共線）.由上述圓弧組成的曲線H與直線l恰有9個交點時，曲線H長度的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知，第個劣弧的半徑為，圓心角為，第一次以，，為圓心圓弧時，與直線l恰好有2個交點（不包括起點），同理第二次以，，為圓心圓弧時，與直線l恰好有2個交點，以此類推，每一輪以次以，，為圓心圓弧時，與直線l恰好有2個交點，上述圓弧組成的曲線H與直線l恰有9個交點時，要使曲線H長度的最小，則剛好轉(zhuǎn)四輪，所以曲線H長度的最小值為.故選：C.10.如圖，在棱長為2的正方體中，P為棱的中點，Q為底面上一動點，則下列說法正確的是（）A.存在點Q，使得BQ平面B.在棱上存在點Q，使得平面C.在線段上存在點，使得直線與所成的角為D.存在點，使得三棱錐的體積為2【答案】D【解析】以為坐標原點，所在直線為坐標軸建立如圖所示空間直角坐標系，則，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為，若平面，所以，則，解得，此時點不在底面內(nèi)，故不存在點Q，使得BQ平面，故A錯誤；假設(shè)在棱上存在點，使得平面，則，所以，又，所以，解得，此時點不在棱上，所以在棱上不存在點Q，使得平面，故B錯誤；假設(shè)在線段上存在點，使得直線與所成的角為，又，所以，又，所以，所以，整理得，，無解，所以在線段上不存在點，使得直線與所成的角為，故C錯誤；，所以點到平面的距離為，所以，又，由余弦定理可得，所以，所以，所以，所以存在點，使得三棱錐的體積為2，故D正確.故選：D.第二部分非選擇題（共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，若，則_______.【答案】【解析】根據(jù)題意，若，則，又，，所以，解得，所以.12.直線：被圓：截得的弦AB的長為______.【答案】【解析】由圓：，可得圓心，半徑，于是圓心到直線的距離，從而得，所以弦的長為.13.在棱長為2的正四面體中，M，N分別是的中點，則______.【答案】【解析】因為四面體是棱長為2的正四面體，所以，，所以，兩邊平方可得，所以.14.已知點，直線，動圓P過點F，且與直線l相切，則圓心P的軌跡C的方程為_______；若直線及分別與曲線C交于異于原點的M，N兩點.當直線MN過點F時，______.【答案】【解析】因為動圓P過點F，且與直線l相切，所以點P到點F的距離等于點P到直線l的距離，所以點P的軌跡是以點為焦點，直線為準線的拋物線，所以圓心P的軌跡C的方程為；因為直線與關(guān)于軸對稱，拋物線關(guān)于軸對稱，所以M，N兩點關(guān)于軸對稱，又直線MN過點F，所以M，N兩點的縱坐標為1，所以，解得，所以M，N兩點的坐標為或，將與代入直線方程，可得，解得，故答案為：；.15.已知方程所表示的曲線為C.給出以下四個結(jié)論：①曲線C與y軸有兩個不同交點；②曲線C關(guān)于原點對稱；③x軸及直線為曲線C的兩條漸近線；④若曲線C與圓有公共點，則r的最小值為.其中，所有正確結(jié)論的序號是________.【答案】①②③【解析】對于①，令，得，即，所以曲線C與y軸有兩個不同交點，故①正確；對于②，在曲線方程中，用代替，代替，得，即，所以曲線關(guān)于原點對稱，故②正確；對于③，因為方程，所以，所以，當時，，故為曲線C的一條漸近線；又時，沒有意義，故是曲線C的另一條漸近線，即x軸為曲線C的另一條漸近線，故x軸及直線為曲線C的兩條漸近線，故③正確；對于④，聯(lián)立及，消去x并整理得，因為，當且僅當，即時等號成立，若曲線C與圓有公共點，則，所以，所以r的最小值為，故④錯誤．綜上，正確結(jié)論的序號是①②③．三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，且.（1）求的通項公式；（2）求的前n項和的最小值，以及取得最小值時n的值.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，因為，，所以，所以，解得，所以.（2）因為是等差數(shù)列，所以，由（1）可知，，所以當時，有最小值.17.已知圓C經(jīng)過點，且圓心C是直線與軸的交點.（1）求圓C的方程；（2）若直線l與圓C交于A，B兩點，且四邊形為菱形，求直線l的方程.解：（1）因為圓心C是直線與軸的交點，所以圓心C的坐標為，又因為圓C經(jīng)過，所以圓C的半徑為，所以圓C的方程為.（2）因為四邊形CAMB為菱形，所以AB垂直平分CM，因為，所以又因為CM的中點坐標為所以直線AB的方程為，即.18.已知拋物線的焦點為F，過點F的直線l與C交于A，B兩點（其中點A在第一象限），點A到拋物線C的準線的距離為.（1）求直線l斜率；（2）若，求的值.解：（1）設(shè)點A的坐標，因為點A到拋物線準線的距離是，所以，所以，代入拋物線方程得：所以點，又因為點，所以直線l的斜率.（2）因為拋物線C的焦點F，所以直線l的方程為：由得：，可知恒成立，設(shè)點B的坐標，則，，所以.19.如圖，四棱錐中，底面ABCD，，平面，.（1）證明：；（2）再從條件①、條件②中選擇一個作為已知，求平面與平面夾角的余弦值．條件①：點B到平面PAC的距離為1；條件②：直線PC與平面PAB所成角的大小為30°.（1）證明：因為底面ABCD，平面ABCD，所以，因為，，平面PAB，所以平面，因為PB?平面，所以，因為平面，平面ABCD，平面ABCD∩平面PBC=BC，所以，所以.（2）解：由（1）可知，PA，AB，AD兩兩垂直，以A為原點，AD，AB，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖