高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省部分達標(biāo)學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是題目要求的.1.直線在軸上的截距為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，代入直線的方程得，則，故直線在軸上的截距為.故選：B．2.已知數(shù)列滿足，其前項和為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，將其每4項為一組，先求每組之和，再求總和即可，因為，所以，又，所以.故選：C.3.已知直線過點，，若傾斜角的取值范圍是，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題設(shè)有即，故選：B.4.已知等差數(shù)列的前項和為，則（）A.880 B.440 C.110 D.220【答案】B【解析】因為，所以，故，故選：B.5.已知圓的圓心為C，O為坐標(biāo)原點，則以O(shè)C為直徑的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題知圓的圓心為，O為坐標(biāo)原點，則以O(shè)C為直徑的圓的圓心為2,-1，半徑，所以所求圓的方程為.故選：C.6.已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意可得，圓圓心坐標(biāo)為，圓和圓的半徑均為1，設(shè)圓心關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D.7.記等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為為等比數(shù)列的前項和，所以成等比數(shù)列，由，得，則，所以，所以，所以故選：B.8.已知圓，直線，為圓上一動點．為直線上一動點，定點，則的最小值為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)關(guān)于的對稱點為，則解得，即，所以，故的最小值為．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知等比數(shù)列的首項為1，公比不為1，若，，成等差數(shù)列，則（）A.的公比為 B.的公比為C.的前10項和為 D.，，成等差數(shù)列【答案】BCD【解析】設(shè)的公比為q，因為，所以，因為，，成等差數(shù)列，所以，因為，所以，因為，所以，故A錯誤；B正確；的前10項和為，故C正確；因為，所以，，也成等差數(shù)列，故D正確.故選：BCD.10.已知直線與，過定點，則下列說法正確是（）A.“”是“”的必要不充分條件B.“”的充要條件是“”C.點的坐標(biāo)為D.點到直線的距離的最大值為1【答案】BCD【解析】因為直線，所以，解得或，經(jīng)檢驗都成立，所以“”是“”的充分不必要條件，故A錯誤.因為直線，所以，解得，所以“”的充要條件是“”，故B正確.因為，即，所以過定點，故C正確.因為過定點，所以點到直線距離的最大值，是到定點的距離，即為，故D正確.故選：BCD.11.在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點，，且，記的頂點的軌跡為，則下列說法正確的是（）A.軌跡的方程為B.面積的最大值為3C.邊上的高的最大值為D.若為直角三角形，則直線被軌跡截得的弦長的最大值為【答案】BD【解析】因為，所以由正弦定理得．設(shè)，則，整理得，因為頂點不能與，重合，所以頂點軌跡方程為，且，故A錯誤．當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時，，所以B正確．當(dāng)與圓相切時，到的距離最大，如圖1，作于點，因為，所以，所以邊上的高的最大值為，故C錯誤．如圖2，當(dāng)時，，此時直線被圓截得的弦長為；當(dāng)時，由得，不妨設(shè)，顯然當(dāng)在處時，直線被圓截得的弦長更長，此時直線的方程為，圓心到直線的距離，所以弦長為．故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.對于等差數(shù)列和等比數(shù)列，我國古代很早就有研究成果，北宋數(shù)學(xué)家沈括首創(chuàng)的“隙積術(shù)”就是關(guān)于高階等差級數(shù)求和的問題.現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有2個貨物，第二層比第一層多3個，第三層比第二層多4個，以此類推，記第層貨物的個數(shù)為，則______.【答案】【解析】因為，，，…，，所以，所以.13.若點在圓的外部，則正實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】由題意可得，解得，故正實數(shù)的取值范圍是.14.若等差數(shù)列滿足，，則當(dāng)______時，的前項和最小.【答案】18【解析】由，所以，又，所以，所以當(dāng)時，的前項和最小.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知點，.（1）求直線MN的一般式方程；（2）求以線段MN為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）求（2）中的圓在點處的切線方程.解：（1）直線MN的斜率為，則直線MN的方程為，即.（3）由題意可知圓心C為線段MN的中點，即，半徑，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（3）直線CP的斜率為，則所求切線的斜率為，故所求的切線方程為，即.16.已知數(shù)列滿足，，.記.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列.（2）求的通項公式.（1）證明：因為，所以，所以，所以.因為，所以是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，所以.（2）解：由（1）知，所以，，，…，，累加可得.因為，所以,因為符合上式，所以.17.已知圓（為常數(shù)）．（1）當(dāng)時，求直線被圓截得的弦長．（2）證明：圓經(jīng)過兩個定點．（3）設(shè)圓經(jīng)過的兩個定點為，，若，且，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（1）解：當(dāng)時，圓，此時，圓的圓心為，半徑．則圓心到直線的距離，所以直線被圓截得的弦長為；（2）證明：由，得，令，因為為常數(shù)所以得，由解得或，所以圓經(jīng)過兩個定點，且這兩個定點的坐標(biāo)為；（3）解：（方法一）設(shè)的中點為，不妨設(shè)，則點的坐標(biāo)為．因為，所以，所以，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（方法二）不妨設(shè)，因為，所以，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．18.在遞增的等差數(shù)列中，，.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.解：（1）設(shè)的公差為，因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，由解得，所以，所以.（2）由（1）可得，則①，②，①-②得則.19.已知圓，點在圓C上，點D，G在x軸上，且關(guān)于y軸對稱.（1）圓C在點Q處的切線的斜率為，直線QD，QG的斜率分別為，，證明：為定值.（2）過點Q作軸，垂足為E，，點D滿足.①直線AD與圓C的另一個交點為F，且F為線段AD的中點，，求r；②證明：直線QG與圓C相切.（1）解：設(shè)，.，.記坐標(biāo)原點為O，直線OQ的斜率為，..綜上，為定值，定值為.（2）①解：在中，AD為斜邊，OF為斜邊上的中線，所以.又因為，所以，.因為，所以，解得.②證明：因為點在圓C上，所以.直線AE的斜率為，直線AD的斜率為，直線AD的方程為.令，得，則，.直線QG的方程為，即，原點O到直線QG的距離，所以直線QG與圓C相切.福建省部分達標(biāo)學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是題目要求的.1.直線在軸上的截距為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，代入直線的方程得，則，故直線在軸上的截距為.故選：B．2.已知數(shù)列滿足，其前項和為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，將其每4項為一組，先求每組之和，再求總和即可，因為，所以，又，所以.故選：C.3.已知直線過點，，若傾斜角的取值范圍是，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題設(shè)有即，故選：B.4.已知等差數(shù)列的前項和為，則（）A.880 B.440 C.110 D.220【答案】B【解析】因為，所以，故，故選：B.5.已知圓的圓心為C，O為坐標(biāo)原點，則以O(shè)C為直徑的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題知圓的圓心為，O為坐標(biāo)原點，則以O(shè)C為直徑的圓的圓心為2,-1，半徑，所以所求圓的方程為.故選：C.6.已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意可得，圓圓心坐標(biāo)為，圓和圓的半徑均為1，設(shè)圓心關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D.7.記等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為為等比數(shù)列的前項和，所以成等比數(shù)列，由，得，則，所以，所以，所以故選：B.8.已知圓，直線，為圓上一動點．為直線上一動點，定點，則的最小值為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)關(guān)于的對稱點為，則解得，即，所以，故的最小值為．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知等比數(shù)列的首項為1，公比不為1，若，，成等差數(shù)列，則（）A.的公比為 B.的公比為C.的前10項和為 D.，，成等差數(shù)列【答案】BCD【解析】設(shè)的公比為q，因為，所以，因為，，成等差數(shù)列，所以，因為，所以，因為，所以，故A錯誤；B正確；的前10項和為，故C正確；因為，所以，，也成等差數(shù)列，故D正確.故選：BCD.10.已知直線與，過定點，則下列說法正確是（）A.“”是“”的必要不充分條件B.“”的充要條件是“”C.點的坐標(biāo)為D.點到直線的距離的最大值為1【答案】BCD【解析】因為直線，所以，解得或，經(jīng)檢驗都成立，所以“”是“”的充分不必要條件，故A錯誤.因為直線，所以，解得，所以“”的充要條件是“”，故B正確.因為，即，所以過定點，故C正確.因為過定點，所以點到直線距離的最大值，是到定點的距離，即為，故D正確.故選：BCD.11.在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點，，且，記的頂點的軌跡為，則下列說法正確的是（）A.軌跡的方程為B.面積的最大值為3C.邊上的高的最大值為D.若為直角三角形，則直線被軌跡截得的弦長的最大值為【答案】BD【解析】因為，所以由正弦定理得．設(shè)，則，整理得，因為頂點不能與，重合，所以頂點軌跡方程為，且，故A錯誤．當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時，，所以B正確．當(dāng)與圓相切時，到的距離最大，如圖1，作于點，因為，所以，所以邊上的高的最大值為，故C錯誤．如圖2，當(dāng)時，，此時直線被圓截得的弦長為；當(dāng)時，由得，不妨設(shè)，顯然當(dāng)在處時，直線被圓截得的弦長更長，此時直線的方程為，圓心到直線的距離，所以弦長為．故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.對于等差數(shù)列和等比數(shù)列，我國古代很早就有研究成果，北宋數(shù)學(xué)家沈括首創(chuàng)的“隙積術(shù)”就是關(guān)于高階等差級數(shù)求和的問題.現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有2個貨物，第二層比第一層多3個，第三層比第二層多4個，以此類推，記第層貨物的個數(shù)為，則______.【答案】【解析】因為，，，…，，所以，所以.13.若點在圓的外部，則正實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】由題意可得，解得，故正實數(shù)的取值范圍是.14.若等差數(shù)列滿足，，則當(dāng)______時，的前項和最小.【答案】18【解析】由，所以，又，所以，所以當(dāng)時，的前項和最小.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知點，.（1）求直線MN的一般式方程；（2）求以線段MN為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）求（2）中的圓在點處的切線方程.解：（1）直線MN的斜率為，則直線MN的方程為，即.（3）由題意可知圓心C為線段MN的中點，即，半徑，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（3）直線CP的斜率為，則所求切線的斜率為，故所求的切線方程為，即.16.已知數(shù)列滿足，，.記.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列.（2）求的通項公式.（1）證明：因為，所以，所以，所以.因為，所以是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，所以.（2）解：由（1）知，所以，，，…，，累加可得.因為，所以,因為符合上式，所以.17.已知圓（為常數(shù)）．（1）當(dāng)時，求直線被圓截得的弦長．（2）證明：圓經(jīng)過兩個定點．（3）設(shè)圓經(jīng)過的兩個定點為，，若，且，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（1）解：當(dāng)時，圓，此時，圓的圓心為，半徑．則圓心到直線的距離，所以直線被圓截得的弦長為；（2）證明：由，得，令，因為為常數(shù)所以得，由解得或，所以圓經(jīng)過兩個定點，且這兩個定點的坐標(biāo)為；（3）解：（方法一）設(shè)的中點為，不妨設(shè)，則點的坐標(biāo)為．因為，所以，所以，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（方法二）不妨設(shè)，因為，所以，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．18.在遞增的等差數(shù)列中，，.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.解：（1）設(shè)的公差為，因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，由解得，所以，所以.（2）由（1）可得，則①，②，①-②得則.19.已知圓，點在圓C上，點D，G在x軸上，且