高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西南寧市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.若一條直線的斜率等于，則該直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)直線的傾斜角為，則，又，故.故選：C.2.已知是等比數(shù)列，若，則公比為（）A.2 B. C.4 D.【答案】D【解析】由題意，則.故選：D.3.若直線和直線垂直，則值是（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】由題意得，解得.故選：A.4.已知雙曲線，設(shè)是雙曲線上的一點(diǎn)，分別是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，若，則（）A.5 B.7 C.9 D.11【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)槭请p曲線上的一點(diǎn)，所以，即，解得（舍去），或.故選：B.5.在等差數(shù)列中，為其前項的和，若，則為（）A.42 B.48 C.60 D.72【答案】A【解析】為等差數(shù)列，所以也為等差數(shù)列，因?yàn)椋?，所?故選：.6.在平行六面體中，，，則的長為（）A.10 B.12 C. D.【答案】C【解析】如下圖，，所以，所以.故選：C.7.直線與曲線有兩個不同交點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】記曲線，由題意，，∴曲線表示以0,1為圓心，半徑為的圓的上半部分，記直線，即，∴直線過定點(diǎn).如圖所示：，當(dāng)直線與曲線相切時，.由圖可知，當(dāng)直線與曲線有兩個相異的交點(diǎn)時，.故選：B.8.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，，設(shè)，則,由，得，解得，又在雙曲線上，所以，即，整理得，即，由解得.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有錯選的得0分.9.下列命題中，正確的是（）A.如果且，那么直線不經(jīng)過第三象限.B.若直線與平行，則與的距離為.C.圓C：關(guān)于直線對稱的圓方程為.D.點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為6.【答案】ABC【解析】對于A，當(dāng)時，直線等價于，由于且，所以直線的斜率，軸截距，即該直線經(jīng)過第一、第二、第四象限，故A正確；對于B，由直線與平行，則，此時可化簡直線與，再由平行線間距離公式得：，故B正確；對于C，由圓C：可得，圓心，設(shè)圓心關(guān)于直線的對稱圓心為，則，解得，則對稱圓的方程為，故C正確；對于D，由于可以看成動點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，即可求圓心到原點(diǎn)的距離為，而圓的半徑為，所以圓上的動點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離是，即的最大值是，故D錯誤；故選：ABC．10.橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，過的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，其中是橢圓的上頂點(diǎn)，是面積為的正三角形，則下列說法正確的是（）A.的周長為8 B.橢圓的離心率為C.的長為 D.的面積為【答案】AD【解析】如圖，由題意：為面積是的正三角形，故且，故；的周長為，故A正確；橢圓的離心率，故B錯誤；設(shè)，則，由知；由余弦定理：，所以，故C錯誤；，故D正確，故選：AD.11.如圖，點(diǎn)P是棱長為2的正方體的表面上的一個動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)點(diǎn)P在平面上運(yùn)動時，四棱錐的體積不變B.當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動時，與所成角的取值范圍為C.使直線AP與平面ABCD所成角為的動點(diǎn)P的軌跡長度為D.若F是的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在底面ABCD上運(yùn)動，且滿足平面時，PF長度的最小值為【答案】ABC【解析】選項A：底面正方形的面積不變，點(diǎn)到平面的距離為正方體棱長，所以四棱錐的體積不變，正確；選項B：以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，設(shè)，則，設(shè)直線與所成角為，則，因?yàn)椋瑒t，當(dāng)時，可得，所以；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，可知，且，所以；所以異面直線與所成角的取值范圍是，正確；對于C：因?yàn)橹本€與平面所成的角為，若點(diǎn)在平面和平面內(nèi)，因?yàn)樽畲螅怀闪?；在平面?nèi)，點(diǎn)的軌跡是；在平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡是；在平面時，作平面，如圖所示，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，以2為半徑的四分之一圓，所以點(diǎn)的軌跡的長度為，綜上，點(diǎn)的軌跡的總長度為，所以C正確；對于D，由，設(shè)，則設(shè)平面的一個法向量為，則，取，可得，所以，因?yàn)槠矫?，所以，可得，所以，?dāng)時，等號成立，錯誤.故選：ABC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)______．【答案】2【解析】由題意得拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義可知，，解得．13.已知數(shù)列的前項和公式為，則的通項公式__________.【答案】【解析】當(dāng)時，；當(dāng)時，，符合.所以.14.阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知動點(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q，P的距離之比，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知動點(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，且，若點(diǎn)，則的最小值為_______.【答案】【解析】設(shè)，，所以，又，所以.因?yàn)榍?，所以，整理可得，又動點(diǎn)M的軌跡是，所以，解得，所以，又，所以，因?yàn)?，所以的最小值為，?dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時取等.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動，線段的中點(diǎn)為.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若點(diǎn)的軌跡為曲線，已知直線的方程為，請判斷直線與曲線的位置關(guān)系，并說明理由.解：（1）令為線段的中點(diǎn)，又，則，又在圓上運(yùn)動，故，所以，故點(diǎn)的軌跡方程為.（2）由（1）知圓心，且半徑，所以圓心到的距離，所以直線與曲線相離.16.已知等差數(shù)列的前項和為，若且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，令，求數(shù)列的前項和.解：（1）由題意知：，即：，化簡得.所以數(shù)列的通項公式.（2）因?yàn)樗曰喌茫?17.如圖，在四棱錐中，底面滿足，底面，且.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：由底面，底面，則，又，且均在面內(nèi)，則平面；（2）解：由題設(shè)，構(gòu)建如下圖示空間直角坐標(biāo)系，則，故，若為面的一個法向量，則，令，則，而是面的一個法向量，所以平面與平面的夾角的余弦值為.18.已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，且過點(diǎn)．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)，直線與雙曲線交于另一點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為．（i）求證：為定值；（ii）求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．（1）解：設(shè)雙曲線方程為，因?yàn)殡p曲線的右焦點(diǎn)為，且過點(diǎn)，所以其中，解得雙曲線的方程為．（2）證明：（i）設(shè)直線的方程為，由得，因?yàn)橹本€與雙曲線的左、右支分別交于點(diǎn)，所以得，，即．（ii）設(shè)直線的方程為，由得，，由，結(jié)合（i）可知，，由，得，即，或，當(dāng)時，直線過點(diǎn)1,0，不符合題意，舍去，當(dāng)時，直線的方程為，過定點(diǎn)．19.設(shè)為橢圓的左，右焦點(diǎn)，已知點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)為橢圓上的動點(diǎn)，且面積的最大值為2.（1）求橢圓的方程；（2）過作斜率為1的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求的面積.（3）黃金分割的比例被認(rèn)為是最能引起美感的比例，在藝術(shù)和設(shè)計中廣泛應(yīng)用.若橢圓上一動點(diǎn)到其焦點(diǎn)距離的最小值與最大值之比為黃金分割比的平方，即，則稱此橢圓為“完美橢圓”.現(xiàn)有一簇橢圓均是“完美橢圓”，其中便是（1）中的橢圓.另一方面，若在橢圓上任取一點(diǎn)，以為切點(diǎn)作橢圓的切線與直線且交于點(diǎn)，以為直徑作圓，設(shè)此圓恒過橢圓的右頂點(diǎn)，求證：.解：（1）由點(diǎn)在橢圓上，則，由面積的最大值為2，則，故，所以，故.（2）由（1）知，則，聯(lián)立，所以，則，顯然，所以，，則，由到的距離，所以面積.（3）令且，若橢圓上為切點(diǎn)的切線為，則，令，則切線為，聯(lián)立橢圓，可得，所以，則，即，則，由題意有，則，故，所以又，則，代入上式整理得，所以為所求切線方程，將代入，得，所以，故中點(diǎn)為，且，以為直徑的圓為，當(dāng)，有，所以，則，所以，以為直徑圓恒過，即，同理對于任意，都有，如下圖，對于，即，則，即，又橢圓均是“完美橢圓”，即，所以，可得，同理可得且，即是首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以，而為正整數(shù)，故，得證.廣西南寧市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.若一條直線的斜率等于，則該直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)直線的傾斜角為，則，又，故.故選：C.2.已知是等比數(shù)列，若，則公比為（）A.2 B. C.4 D.【答案】D【解析】由題意，則.故選：D.3.若直線和直線垂直，則值是（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】由題意得，解得.故選：A.4.已知雙曲線，設(shè)是雙曲線上的一點(diǎn)，分別是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，若，則（）A.5 B.7 C.9 D.11【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)槭请p曲線上的一點(diǎn)，所以，即，解得（舍去），或.故選：B.5.在等差數(shù)列中，為其前項的和，若，則為（）A.42 B.48 C.60 D.72【答案】A【解析】為等差數(shù)列，所以也為等差數(shù)列，因?yàn)?，所以，所?故選：.6.在平行六面體中，，，則的長為（）A.10 B.12 C. D.【答案】C【解析】如下圖，，所以，所以.故選：C.7.直線與曲線有兩個不同交點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】記曲線，由題意，，∴曲線表示以0,1為圓心，半徑為的圓的上半部分，記直線，即，∴直線過定點(diǎn).如圖所示：，當(dāng)直線與曲線相切時，.由圖可知，當(dāng)直線與曲線有兩個相異的交點(diǎn)時，.故選：B.8.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，，設(shè)，則,由，得，解得，又在雙曲線上，所以，即，整理得，即，由解得.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有錯選的得0分.9.下列命題中，正確的是（）A.如果且，那么直線不經(jīng)過第三象限.B.若直線與平行，則與的距離為.C.圓C：關(guān)于直線對稱的圓方程為.D.點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為6.【答案】ABC【解析】對于A，當(dāng)時，直線等價于，由于且，所以直線的斜率，軸截距，即該直線經(jīng)過第一、第二、第四象限，故A正確；對于B，由直線與平行，則，此時可化簡直線與，再由平行線間距離公式得：，故B正確；對于C，由圓C：可得，圓心，設(shè)圓心關(guān)于直線的對稱圓心為，則，解得，則對稱圓的方程為，故C正確；對于D，由于可以看成動點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，即可求圓心到原點(diǎn)的距離為，而圓的半徑為，所以圓上的動點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離是，即的最大值是，故D錯誤；故選：ABC．10.橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，過的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，其中是橢圓的上頂點(diǎn)，是面積為的正三角形，則下列說法正確的是（）A.的周長為8 B.橢圓的離心率為C.的長為 D.的面積為【答案】AD【解析】如圖，由題意：為面積是的正三角形，故且，故；的周長為，故A正確；橢圓的離心率，故B錯誤；設(shè)，則，由知；由余弦定理：，所以，故C錯誤；，故D正確，故選：AD.11.如圖，點(diǎn)P是棱長為2的正方體的表面上的一個動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)點(diǎn)P在平面上運(yùn)動時，四棱錐的體積不變B.當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動時，與所成角的取值范圍為C.使直線AP與平面ABCD所成角為的動點(diǎn)P的軌跡長度為D.若F是的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在底面ABCD上運(yùn)動，且滿足平面時，PF長度的最小值為【答案】ABC【解析】選項A：底面正方形的面積不變，點(diǎn)到平面的距離為正方體棱長，所以四棱錐的體積不變，正確；選項B：以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，設(shè)，則，設(shè)直線與所成角為，則，因?yàn)?，則，當(dāng)時，可得，所以；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，可知，且，所以；所以異面直線與所成角的取值范圍是，正確；對于C：因?yàn)橹本€與平面所成的角為，若點(diǎn)在平面和平面內(nèi)，因?yàn)樽畲?，不成立；在平面?nèi)，點(diǎn)的軌跡是；在平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡是；在平面時，作平面，如圖所示，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，以2為半徑的四分之一圓，所以點(diǎn)的軌跡的長度為，綜上，點(diǎn)的軌跡的總長度為，所以C正確；對于D，由，設(shè)，則設(shè)平面的一個法向量為，則，取，可得，所以，因?yàn)槠矫妫?，可得，所以，?dāng)時，等號成立，錯誤.故選：ABC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)______．【答案】2【解析】由題意得拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義可知，，解得．13.已知數(shù)列的前項和公式為，則的通項公式__________.【答案】【解析】當(dāng)時，；當(dāng)時，，符合.所以.14.阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知動點(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q，P的距離之比，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知動點(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，且，若點(diǎn)，則的最小值為_______.【答案】【解析】設(shè)，，所以，又，所以.因?yàn)榍?，所以，整理可得，又動點(diǎn)M的軌跡是，所以，解得，所以，又，所以，因?yàn)?，所以的最小值為，?dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時取等.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動，線段的中點(diǎn)為.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若點(diǎn)的軌跡為曲線，已知直線的方程為，請判斷直線與曲線的位置關(guān)系，并說明理由.解：（1）令為線段的中點(diǎn)，又，則，又在圓上運(yùn)動，故，所以，故點(diǎn)的軌跡方程為.（2）由（1）知圓心，且半徑，所以圓心到的距離，所以直線與曲線相離.16.已知等差數(shù)列的前項和為，若且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，令，求數(shù)列的前項和.解：（1）由題意知：，即：，化簡得.所以數(shù)列的通項公式.（2）因?yàn)樗曰喌茫?17.如圖，在四棱錐中，底面滿足，底面，且.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：由底面，底面，則，又，且均在面內(nèi)，則平面；（2）解：由題設(shè)，構(gòu)建如下圖示空間直角坐標(biāo)系，則，故，若為面的一個法向量，則，令，則，而是面的一個法向量，所以平面與平面的夾角的余弦值為.18.已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，且過點(diǎn)．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)，直線與雙曲線交于另一點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為．（i）求證：為定值；（