高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1貴州省六盤水市水城區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月期末統(tǒng)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共0分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.過點和點的直線的斜率為（）A.7 B. C. D.3【答案】B【解析】由題意，直線的斜率.故選：B.2.英文單詞mango所有字母組成的集合記為，英文單詞banana所有字母組成的集合記為，則的元素個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.6【答案】B【解析】因為，所以.故選：B.3.復(fù)數(shù)的模為（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】.所以復(fù)數(shù)的模為.故選：D.4.將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為函數(shù)的圖象向右平移個單位后，得到的圖象，所以.故選：A.5.青銅大圓鼎（圖1），厚立方耳、深鼓腹、圜底，三柱足略有蹄意，收藏于甘肅省博物館．它的主體部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（圖2），忽略鼎壁厚度．已知半球的半徑為米，圓柱的高近似于半球的半徑，則此鼎的容積約為（）A.立方米 B.立方米 C.立方米 D.立方米【答案】B【解析】由題意可知，圓柱的底面半徑和高均為米，且半球的半徑為米，因此，此鼎的容積為立方米.故選：B.6.設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，過原點且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點，則四邊形的面積的最大值為（）A.20 B.24 C.18 D.28【答案】B【解析】由已知可得，，，所以，根據(jù)橢圓的對稱性可得，點關(guān)于原點對稱，設(shè)Ax0,y且，當(dāng)最大時，面積最大，則此時為短軸頂點，.故選：B.7.已知向量，若四點共面，則向量在上的投影向量的模為（）A.12 B. C. D.【答案】D【解析】因為四點共面，所以共面，則存在唯一實數(shù)對，使得，即，所以，解得，所以，向量在上的投影向量的模即為向量在上的投影長度，所以向量在上的投影向量的模為.故選：D.8.已知雙曲線的左、右焦點分別為，位于第一象限的為該雙曲線的一條漸近線上一點，直線為該雙曲線的左支上一點，若的周長的最小值為，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題，漸近線的方程為，則點到漸近線的距離，則由題，由雙曲線的定義，所以，所以的周長為，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立，又的周長的最小值為，所以，所以，所以該雙曲線的離心率.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知點在圓的外部，則的值可能為（）A.0 B.4 C.2 D.【答案】ABD【解析】化為，所以圓心半徑，在圓的外部，所以，解得或，綜上所述，的取值范圍是.因為，故選：ABD.10.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體的棱長為3，且，則（）A.B.C.異面直線與所成角的余弦值為D.點到直線的距離為【答案】ACD【解析】因為O0,0,0，，，，，，則，則，故選項A正確；因為，所以，故選項B錯誤；因為，，，所以，故選項C正確；因為，所以，，點到直線的距離為，故選項D正確故選：ACD.11.已知定義在上的函數(shù)不是奇函數(shù)，且，則（）A.B.C.的解析式可以是D.的解析式可以是【答案】BCD【解析】對于A，因為函數(shù)不是奇函數(shù)，且，所以無法判斷是否成立，故A錯誤；對于B，因為函數(shù)不是奇函數(shù)，所以，故B正確；對于C，假設(shè)，則，即，解得，所以，又，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，所以的解析式可以是，故C正確；對于D，假設(shè)，因為，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，又因為，則，所以的解析式可以是，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若直線與直線平行，則________．【答案】【解析】因為直線與直線平行，所以，解得，經(jīng)檢驗，符合題意，所以.13.隨機(jī)敲擊電腦鍵盤上的1，2，3這三個數(shù)字鍵兩次（每次只敲擊其中一個數(shù)字鍵），得到的兩個數(shù)字恰好都是奇數(shù)的概率為________．【答案】【解析】由題意，所有的結(jié)果有共種，符合題意的有共種，所有所求概率為.14.如圖，正八面體的每條棱長均為與交于點為正八面體內(nèi)部或表面上的動點.若，則的最小值為______.【答案】【解析】連接CE，由正八面體性質(zhì)得兩兩互相垂直，故以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由正八面體的各棱長均為，根據(jù)正八面體的對稱性，可得，則，又，所以，，設(shè)點，則，因為，所以，即，又，所以，故當(dāng)，，即時，取到最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.當(dāng)為何值時，方程表示下列曲線：（1）圓；（2）橢圓；（3）雙曲線．解：（1）因為方程表示圓，所以，解得；（2）因為方程表示橢圓所以，解得且，所以的范圍為；（3）因為方程表示雙曲線，所以，解得或.16.已知直線，圓．（1）若，求直線被圓所截得的弦長；（2）已知直線過定點，過點作圓的切線，求點的坐標(biāo)及該切線方程．解：（1）圓的圓心，半徑，，圓心到直線的距離，所以直線被圓所截得的弦長為；（2）直線變形得，令，則，所以直線過定點，當(dāng)直線斜率不存在時，方程為，此時，圓心到直線的距離等于半徑，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)方程為，即，則圓心到切線的距離為，解得，所以直線方程為，即，綜上所述所求直線方程為或.17.如圖，在四邊形中，，且．（1）求的長；（2）求的長；（3）求．解：（1）因為所以，，即；（2），且，，，；（3）18.如圖，在三棱柱中，平面．（1）證明：．（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：平面，平面，，又，，平面，平面，又平面，；（2）解：由（1）知平面，平面，，以原點，以，，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，，設(shè)平面的法向量為，則，，設(shè)平面與平面夾角為，則.19.已知橢圓的長軸長為，且經(jīng)過點．橢圓的對稱中心為原點，焦點在軸上，且的離心率與的離心率相等，的短軸長與的長軸長相等．（1）求橢圓與的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）若為上的點，過點作的切線，設(shè)切點分別為，試問直線與的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．（3）若（異于的左、右頂點）為橢圓上的點，直線與交于點，直線與交于點，求的值．解：（1）對橢圓：因為橢圓長軸長為，所以，又橢圓過點，所以，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，且離心率.對橢圓：（）.由，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）如圖：因為點在橢圓上，所以，又因為，，所以過點向橢圓做的切線一定存在斜率，且不為0.設(shè)切線方程為：，即，代入橢圓的方程：，得：，整理得：.由整理得：，化成.設(shè)直線，斜率分別為，，則.所以直線，的斜率之積為定值.（3）因為點是橢圓上異于左、右頂點、的點，所以直線、的斜率存在且不為0，分別設(shè)為、.則直線：，由得：.設(shè)，則.同理可得：.所以.由得：.設(shè)，，則，.所以，所以.同理，所以.貴州省六盤水市水城區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月期末統(tǒng)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共0分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.過點和點的直線的斜率為（）A.7 B. C. D.3【答案】B【解析】由題意，直線的斜率.故選：B.2.英文單詞mango所有字母組成的集合記為，英文單詞banana所有字母組成的集合記為，則的元素個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.6【答案】B【解析】因為，所以.故選：B.3.復(fù)數(shù)的模為（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】.所以復(fù)數(shù)的模為.故選：D.4.將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為函數(shù)的圖象向右平移個單位后，得到的圖象，所以.故選：A.5.青銅大圓鼎（圖1），厚立方耳、深鼓腹、圜底，三柱足略有蹄意，收藏于甘肅省博物館．它的主體部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（圖2），忽略鼎壁厚度．已知半球的半徑為米，圓柱的高近似于半球的半徑，則此鼎的容積約為（）A.立方米 B.立方米 C.立方米 D.立方米【答案】B【解析】由題意可知，圓柱的底面半徑和高均為米，且半球的半徑為米，因此，此鼎的容積為立方米.故選：B.6.設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，過原點且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點，則四邊形的面積的最大值為（）A.20 B.24 C.18 D.28【答案】B【解析】由已知可得，，，所以，根據(jù)橢圓的對稱性可得，點關(guān)于原點對稱，設(shè)Ax0,y且，當(dāng)最大時，面積最大，則此時為短軸頂點，.故選：B.7.已知向量，若四點共面，則向量在上的投影向量的模為（）A.12 B. C. D.【答案】D【解析】因為四點共面，所以共面，則存在唯一實數(shù)對，使得，即，所以，解得，所以，向量在上的投影向量的模即為向量在上的投影長度，所以向量在上的投影向量的模為.故選：D.8.已知雙曲線的左、右焦點分別為，位于第一象限的為該雙曲線的一條漸近線上一點，直線為該雙曲線的左支上一點，若的周長的最小值為，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題，漸近線的方程為，則點到漸近線的距離，則由題，由雙曲線的定義，所以，所以的周長為，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立，又的周長的最小值為，所以，所以，所以該雙曲線的離心率.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知點在圓的外部，則的值可能為（）A.0 B.4 C.2 D.【答案】ABD【解析】化為，所以圓心半徑，在圓的外部，所以，解得或，綜上所述，的取值范圍是.因為，故選：ABD.10.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體的棱長為3，且，則（）A.B.C.異面直線與所成角的余弦值為D.點到直線的距離為【答案】ACD【解析】因為O0,0,0，，，，，，則，則，故選項A正確；因為，所以，故選項B錯誤；因為，，，所以，故選項C正確；因為，所以，，點到直線的距離為，故選項D正確故選：ACD.11.已知定義在上的函數(shù)不是奇函數(shù)，且，則（）A.B.C.的解析式可以是D.的解析式可以是【答案】BCD【解析】對于A，因為函數(shù)不是奇函數(shù)，且，所以無法判斷是否成立，故A錯誤；對于B，因為函數(shù)不是奇函數(shù)，所以，故B正確；對于C，假設(shè)，則，即，解得，所以，又，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，所以的解析式可以是，故C正確；對于D，假設(shè)，因為，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，又因為，則，所以的解析式可以是，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若直線與直線平行，則________．【答案】【解析】因為直線與直線平行，所以，解得，經(jīng)檢驗，符合題意，所以.13.隨機(jī)敲擊電腦鍵盤上的1，2，3這三個數(shù)字鍵兩次（每次只敲擊其中一個數(shù)字鍵），得到的兩個數(shù)字恰好都是奇數(shù)的概率為________．【答案】【解析】由題意，所有的結(jié)果有共種，符合題意的有共種，所有所求概率為.14.如圖，正八面體的每條棱長均為與交于點為正八面體內(nèi)部或表面上的動點.若，則的最小值為______.【答案】【解析】連接CE，由正八面體性質(zhì)得兩兩互相垂直，故以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由正八面體的各棱長均為，根據(jù)正八面體的對稱性，可得，則，又，所以，，設(shè)點，則，因為，所以，即，又，所以，故當(dāng)，，即時，取到最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.當(dāng)為何值時，方程表示下列曲線：（1）圓；（2）橢圓；（3）雙曲線．解：（1）因為方程表示圓，所以，解得；（2）因為方程表示橢圓所以，解得且，所以的范圍為；（3）因為方程表示雙曲線，所以，解得或.16.已知直線，圓．（1）若，求直線被圓所截得的弦長；（2）已知直線過定點，過點作圓的切線，求點的坐標(biāo)及該切線方程．解：（1）圓的圓心，半徑，，圓心到直線的距離，所以直線被圓所截得的弦長為；（2）直線變形得，令，則，所以直線過定點，當(dāng)直線斜率不存在時，方程為，此時，圓心到直線的距離等于半徑，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)方程為，即，則圓心到切線的距離為，解得，所以直線方程為，即，綜上所述所求直線方程為或.17.如圖，在四邊形中，，且．（1）求的長；（2）求的長；（3）求．解：（1）因為所以，，即；（2），且，，，；（3）18.如圖，在三棱柱中，平面．（1）證明：．（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：平面，平面，，又，，平面，平面，又平面，；（2）解：由（1）知平面，平面，，以原點，以，，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，，設(shè)平面的法向量為，則，，設(shè)平面與平面夾角為，則.19.已知橢圓的長軸長為，且經(jīng)過點．橢圓的對稱中心為原點，焦點在軸上，且的離心率與的離心率相等，的短軸長與的長軸長相等．（1）求橢圓與的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）若為上的點，過點作的切線，設(shè)切點分別為，試問直線與的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．（3）若（異于的