高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省郴州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.已知拋物線，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是.故選：A.2.已知傾斜角為的直線的方向向量為，則的值為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的斜率，又直線的方向向量為，所以.故選：C.3.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A.10 B.6 C.4 D.【答案】D【解析】數(shù)列的前項(xiàng)和，所以.故選：D.4.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，則，所以.故選：A.5.在正項(xiàng)等比數(shù)列中，若為方程的兩個(gè)實(shí)根，則（）A.10 B.11 C.12 D.22【答案】B【解析】由為方程的兩個(gè)實(shí)根，得，在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，所以.故選：B.6.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，，而，則，在中，由余弦定理得，所以.故選：C.7.在平行六面體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在平行六面體中，，，而，，則，，，，因此，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.8.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓與雙曲線的一條漸近線的兩個(gè)交點(diǎn)為．若，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由對(duì)稱性，不妨令漸近線為，右焦點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離，由，得，所以該雙曲線的離心率.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知公差為的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，則下列說法正確的為（）A. B.為等差數(shù)列C.當(dāng)取得最小值時(shí)， D.為遞減數(shù)列【答案】BC【解析】在等差數(shù)列中，，則，，公差，對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則，，為等差數(shù)列，B正確；對(duì)于D，由，得為遞增數(shù)列，D錯(cuò)誤；對(duì)于C，數(shù)列前6項(xiàng)都為負(fù)，從第7項(xiàng)起都為正，因此當(dāng)取得最小值時(shí)，，C正確.故選：BC.10.已知直線與圓，則下列說法正確的是（）A.直線恒過定點(diǎn)B.當(dāng)直線與圓相切時(shí)，切線方程是C.當(dāng)時(shí)，圓上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于D.圓上的一點(diǎn)到直線的最大距離是【答案】ACD【解析】對(duì)于A，直線恒過定點(diǎn)，A正確；對(duì)于B，圓的圓心，半徑，點(diǎn)到直線的距離為2，即直線過點(diǎn)與圓相切，因此直線可以是，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，直線，點(diǎn)到此直線距離為，因此圓上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，C正確；對(duì)于D，點(diǎn)到直線距離的最大值為，因此圓上的一點(diǎn)到直線的最大距離是，D正確.故選：ACD.11.在棱長為2的正方體中，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．則下列說法正確的是（）A.若點(diǎn)是的中點(diǎn)，則過、、三點(diǎn)的正方體的截面的周長是B.三棱錐的體積是定值C.直線與平面所成的線面角的正弦值是D.異面直線與所成的角的最大值是【答案】ABD【解析】對(duì)于A：連接、，取的中點(diǎn)，連接、，則且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以四點(diǎn)共面，則截面周長為，故A正確；對(duì)于B：，即三棱錐的體積是定值，故B正確；對(duì)于C、D：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，所以，又平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成的線面角為，則，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，，設(shè)異面直線與所成的角為，則，所以當(dāng)時(shí)，，又，所以，即異面直線與所成的角的最大值是，故D正確.故選：ABD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知圓，圓，則兩圓的公共弦所在直線的方程為______．【答案】【解析】設(shè)兩圓交點(diǎn)為Ax1,則兩點(diǎn)坐標(biāo)是方程組的解，兩式相減得，即，所以兩點(diǎn)坐標(biāo)均滿足此方程，所以即為兩圓的公共弦所在直線的方程，故答案為：.13.已知拋物線，過拋物線焦點(diǎn)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則______．【答案】【解析】直線過點(diǎn)，又拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，解得，所以拋物線，設(shè)，，由，消去可得，顯然，所以，則.14.任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈．這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．如取正整數(shù)，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出，共需經(jīng)過8個(gè)步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）．現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足：（為正整數(shù)），，若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則______．【答案】4725或4746【解析】由，得，或，若，則數(shù)列是周期數(shù)列，其周期為3，因此；若，則數(shù)列去掉前3項(xiàng)后是周期數(shù)列，其周期為3，因此.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.已知圓經(jīng)過三點(diǎn)．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過點(diǎn)且被圓截得的弦長為2的直線的方程．解：（1）設(shè)圓的一般方程為，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得：，解得所以圓的一般方程為：，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為：，此時(shí)直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，則被圓截得的弦長為2，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，即：由（1）圓心，圓心C到直線的距離為，由得：，解之得所以直線的方程為：，即：綜上所述，直線的方程為：或.16.已知函數(shù)（為常數(shù)）在處的切線與直線垂直．（1）求的值；（2）已知點(diǎn)是函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的最小值．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，則，由曲線在處的切線與直線垂直，得，所以的值是2.（2）由（1）知，，平移直線與函數(shù)的圖象相切，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率，解得，切點(diǎn)為，所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為.17.如圖，四棱錐中，平面，，，，，點(diǎn)為線段上靠近的三等分點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）求平面和平面夾角的余弦值．（1）證明：在四棱錐中，，由余弦定理，得，則，而，則，，由平面平面，得，又平面，因此平面，又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，顯然平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，設(shè)平面和平面夾角為，，所以平面和平面夾角的余弦值.18.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為．求證：．解：（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，解得或，因，所以，由得，兩式相減得，整理得，因?yàn)椋?，所以?shù)列是首項(xiàng)為6，公差為4的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）可知，，所以，所以因?yàn)?，所以，所以，?19.已知雙曲線為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，漸近線方程為，點(diǎn)為雙曲線在第一象限上的一點(diǎn)，且的面積為．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）、為雙曲線的左右頂點(diǎn)，直線上一點(diǎn)，以為圓心，半徑為的圓與直線交于兩點(diǎn)，直線、與雙曲線分別交于另一點(diǎn)、．①證明：為定值；②探究：直線是否恒過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．（1）解：雙曲線的漸近線為，設(shè)，由漸近線方程為，所以，則，由，在中由余弦定理可得，又點(diǎn)為雙曲線在第一象限上的一點(diǎn)，所以，即，所以，又的面積為，即，所以，又，解得，，所以雙曲線方程為；（2）①證明：由（1）可得A-2,0、，設(shè)，則，所以，，所以，，所以，即為定值；②解：直線恒過定點(diǎn)，理由如下：設(shè)，，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由，可得，顯然且，則，，所以，又，，所以，即，所以，即直線的方程為，所以直線恒過點(diǎn).湖南省郴州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.已知拋物線，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是.故選：A.2.已知傾斜角為的直線的方向向量為，則的值為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的斜率，又直線的方向向量為，所以.故選：C.3.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A.10 B.6 C.4 D.【答案】D【解析】數(shù)列的前項(xiàng)和，所以.故選：D.4.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?，則，所以.故選：A.5.在正項(xiàng)等比數(shù)列中，若為方程的兩個(gè)實(shí)根，則（）A.10 B.11 C.12 D.22【答案】B【解析】由為方程的兩個(gè)實(shí)根，得，在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，所以.故選：B.6.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，，而，則，在中，由余弦定理得，所以.故選：C.7.在平行六面體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在平行六面體中，，，而，，則，，，，因此，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.8.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓與雙曲線的一條漸近線的兩個(gè)交點(diǎn)為．若，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由對(duì)稱性，不妨令漸近線為，右焦點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離，由，得，所以該雙曲線的離心率.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知公差為的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，則下列說法正確的為（）A. B.為等差數(shù)列C.當(dāng)取得最小值時(shí)， D.為遞減數(shù)列【答案】BC【解析】在等差數(shù)列中，，則，，公差，對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則，，為等差數(shù)列，B正確；對(duì)于D，由，得為遞增數(shù)列，D錯(cuò)誤；對(duì)于C，數(shù)列前6項(xiàng)都為負(fù)，從第7項(xiàng)起都為正，因此當(dāng)取得最小值時(shí)，，C正確.故選：BC.10.已知直線與圓，則下列說法正確的是（）A.直線恒過定點(diǎn)B.當(dāng)直線與圓相切時(shí)，切線方程是C.當(dāng)時(shí)，圓上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于D.圓上的一點(diǎn)到直線的最大距離是【答案】ACD【解析】對(duì)于A，直線恒過定點(diǎn)，A正確；對(duì)于B，圓的圓心，半徑，點(diǎn)到直線的距離為2，即直線過點(diǎn)與圓相切，因此直線可以是，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，直線，點(diǎn)到此直線距離為，因此圓上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，C正確；對(duì)于D，點(diǎn)到直線距離的最大值為，因此圓上的一點(diǎn)到直線的最大距離是，D正確.故選：ACD.11.在棱長為2的正方體中，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．則下列說法正確的是（）A.若點(diǎn)是的中點(diǎn)，則過、、三點(diǎn)的正方體的截面的周長是B.三棱錐的體積是定值C.直線與平面所成的線面角的正弦值是D.異面直線與所成的角的最大值是【答案】ABD【解析】對(duì)于A：連接、，取的中點(diǎn)，連接、，則且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以四點(diǎn)共面，則截面周長為，故A正確；對(duì)于B：，即三棱錐的體積是定值，故B正確；對(duì)于C、D：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，所以，又平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成的線面角為，則，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，，設(shè)異面直線與所成的角為，則，所以當(dāng)時(shí)，，又，所以，即異面直線與所成的角的最大值是，故D正確.故選：ABD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知圓，圓，則兩圓的公共弦所在直線的方程為______．【答案】【解析】設(shè)兩圓交點(diǎn)為Ax1,則兩點(diǎn)坐標(biāo)是方程組的解，兩式相減得，即，所以兩點(diǎn)坐標(biāo)均滿足此方程，所以即為兩圓的公共弦所在直線的方程，故答案為：.13.已知拋物線，過拋物線焦點(diǎn)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則______．【答案】【解析】直線過點(diǎn)，又拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，解得，所以拋物線，設(shè)，，由，消去可得，顯然，所以，則.14.任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈．這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．如取正整數(shù)，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出，共需經(jīng)過8個(gè)步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）．現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足：（為正整數(shù)），，若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則______．【答案】4725或4746【解析】由，得，或，若，則數(shù)列是周期數(shù)列，其周期為3，因此；若，則數(shù)列去掉前3項(xiàng)后是周期數(shù)列，其周期為3，因此.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.已知圓經(jīng)過三點(diǎn)．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過點(diǎn)且被圓截得的弦長為2的直線的方程．解：（1）設(shè)圓的一般方程為，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得：，解得所以圓的一般方程為：，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為：，此時(shí)直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，則被圓截得的弦長為2，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，即：由（1）圓心，圓心C到直線的距離為，由得：，解之得所以直線的方程為：，即：綜上所述，直線的方程為：或.16.已知函數(shù)（為常數(shù)）在處的切線與直線垂直．（1）求的值；（2）已知點(diǎn)是函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的最小值．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，則，由曲線在處的切線與直線垂直，得，所以的值是2.（2）由（1）知，，平移直線與函數(shù)的圖象相切，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率，解得，切點(diǎn)為，所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為.17.如圖，四棱錐中，平面，，，，，點(diǎn)為線段上靠近的三等分點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）求平面和平面夾角的余弦值．（1）證明：在四棱錐中，，由余弦定理