高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1吉林省八校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，故傾斜角滿足為，故.故選：D.2.如圖所示，在平行六面體中，為與的交點(diǎn).若，則下列向量中與相等的向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得：=.故選：A.3.如圖，在正方體中，M，N分別為的中點(diǎn)，異面直線MN與所成角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】連結(jié)，，因?yàn)樵谡襟w中，M，N分別為的中點(diǎn)，所以，因此，異面直線與所成角即為直線與所成角，即，顯然為.故選：B.4.九連環(huán)是我國(guó)從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，以解開為勝.據(jù)明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環(huán)互相貫為一，得其關(guān)捩，解之為二，又合而為一“.在某種玩法中，用表示解下個(gè)圓環(huán)所需的移動(dòng)最少次數(shù)，若.且，則解下6個(gè)環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)為（）A.13 B.16 C.31 D.64【答案】C【解析】，，，，，，，所以解下6個(gè)環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)為.故選：C.5.已知雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)重合，則以橢圓的短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)，且與雙曲線具有相同漸近線的雙曲線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意且，則，則雙曲線的方程為.以橢圓的短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的雙曲線可設(shè)為，若與雙曲線具有相同漸近線，則，即.故所求雙曲線的方程為，即.故選：B.6.平行直線與之間的距離為，則，的可能值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】將直線化為，顯然，依題意可得，即，只有滿足題意.故選：A.7.如圖，在直三棱柱中，為腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形，且，側(cè)面為正方形，為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，則，設(shè)平面的法向量，則即令，則，所以為平面的一個(gè)法向量，所以與到平面的距離，即①，又，所以②，所以由①②得，又由可得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以最小值為．故選：A．8.已知點(diǎn)在以為左、右焦點(diǎn)的橢圓內(nèi)，延長(zhǎng)與橢圓交于點(diǎn)，滿足，若，則該橢圓離心率取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如下圖所示：由題意可知，，設(shè)，則，由橢圓定義可得，在Rt中，由勾股定理可得，即，即，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，則，又因?yàn)椋?，令，是一條開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，若方程在內(nèi)有實(shí)根，則，得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，且，則，即，所以，因此.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知橢圓上一點(diǎn)，、分別為左、右焦點(diǎn)，，的面積為，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.若，則B.若，則滿足題意的點(diǎn)有四個(gè)C.橢圓內(nèi)接矩形周長(zhǎng)的最大值為D.若為鈍角三角形，則【答案】AC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，在橢圓中，，，則，由橢圓的定義可得，，且、，設(shè)，，且，，在中，由余弦定理可得，所以，，所以，，所以，，因?yàn)?，則，所以，，解得，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)，則，且，解得，此時(shí)點(diǎn)為橢圓短軸的頂點(diǎn)，故滿足條件的點(diǎn)只有兩個(gè)，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)橢圓內(nèi)接矩形的一個(gè)頂點(diǎn)為，則橢圓內(nèi)接矩形周長(zhǎng)為，其中為銳角，且，由得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)橢圓的內(nèi)接矩形周長(zhǎng)取最大值為，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，若為鈍角，，，則，解得，所以，，此時(shí)，；若為鈍角，且，，則，可得，又因?yàn)?，所以，，則，可得，此時(shí)，；當(dāng)為鈍角時(shí)，同理可知.因此，的取值范圍是，D錯(cuò).故選：AC.10.如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6，且它們彼此的夾角都是，則下列說法中正確的是（）A. B.C.向量與的夾角是 D.與AC所成角的余弦值為【答案】AB【解析】因?yàn)橐皂旤c(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6，且它們彼此的夾角都是，所以，，則，所以A正確；，則，故，所以B正確；顯然為等邊三角形，則.因?yàn)?，且向量與的夾角是，所以與的夾角也是，所以C不正確；因?yàn)?，所以，所以，所以D不正確.故選：AB.11.在數(shù)列中，，則以下結(jié)論正確的為（）A.數(shù)列為等差數(shù)列B.C.當(dāng)取最大值時(shí)，的值為51D.當(dāng)數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值時(shí)，的值為49或51【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由，得，兩式聯(lián)立得，即，數(shù)列為等差數(shù)列，A正確；對(duì)于B，令，得，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由等差數(shù)列的性質(zhì)知，即，又，公差，則，數(shù)列的前51項(xiàng)為正，從第52項(xiàng)開始為負(fù)，當(dāng)取最大值時(shí)，n的值為51，C正確；對(duì)于D，由數(shù)列的前51項(xiàng)為正，從第52項(xiàng)開始為負(fù)，又，得，則數(shù)列前49項(xiàng)和最大，又，即數(shù)列前51項(xiàng)和最大，當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)或51時(shí)，的前n項(xiàng)和取得最大值，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.圓和圓的公切線條數(shù)為__________.【答案】4【解析】∵圓，圓，∴，∴圓心距，而兩圓半徑之和，∴兩個(gè)圓相離，則這兩個(gè)圓的公切線有4條.13.已知，直線，且，則的最小值為__________.【答案】8【解析】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為8.14.如圖1所示，古箏有多根弦，每根弦下有一個(gè)雁柱，雁柱用于調(diào)整音高和音質(zhì).圖2是根據(jù)圖1繪制的古箏弦及其雁柱的簡(jiǎn)易平面圖.在圖2中，每根弦都垂直于x軸，相鄰兩根弦間的距離為1，雁柱所在曲線的方程為，第n根弦（，從左數(shù)首根弦在y軸上，稱為第0根弦）分別與雁柱曲線和直線l：交于點(diǎn)和，則______.（參考數(shù)據(jù)：取.）【答案】914【解析】由題意可知：，則，可得，兩式相減可得：，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知的直角頂點(diǎn)為A在y軸上，直角邊AB所在直線的方程為，點(diǎn)，滿足．（1）求AC邊所在直線的方程；（2）求外接圓的方程；（3）求BC邊所在直線的方程；（4）若動(dòng)圓P過點(diǎn)，且與的外接圓外切，求動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程．解：（1）由AB邊所在直線的方程為且直角的直角頂點(diǎn)為A在y軸上，可得，直線AC的斜率為，AC邊所在直線的方程為；（2）點(diǎn)A的坐標(biāo)為，且，則為斜邊上的中點(diǎn)，即為外接圓的圓心，則，從而外接圓的方程為；（3）外接圓的方程為與直角邊AB所在直線相交，即，消去可得，即，解得或，將代入直線方程可得，BC邊所在直線即為BM，方程為．（4）動(dòng)圓P過點(diǎn)N，是該圓的半徑，又動(dòng)圓P與圓M外切，則，即，故點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線的左支，實(shí)半軸長(zhǎng)，半焦距，∴虛半軸長(zhǎng)，從而動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程為．16.已知為拋物線的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過焦點(diǎn)作一條直線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)在的準(zhǔn)線上，且直線MF的斜率為的面積為1.（1）求拋物線的方程；（2）試問在上是否存在定點(diǎn)，使得直線NA與NB的斜率之和等于直線NF斜率的平方？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在的準(zhǔn)線上，且直線MF的斜率為，所以易知點(diǎn)縱坐標(biāo)為，則所以，解得，即拋物線的方程為.（2）假設(shè)存在定點(diǎn)，使得直線NA與NB的斜率之和等于直線NF斜率的平方；由題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)因?yàn)?，即，可得，整理得①，?lián)立直線與拋物線，可得，則.代入①式可得，即，即，解得或，即存在定點(diǎn)或，使得直線NA與NB斜率之和等于直線NF斜率的平方.17.在三棱錐，底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面平面，且．（1）若，求證：平面平面；（2）若底面，垂足為O，，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：取AC的中點(diǎn)H，則，連接HP、HB，由，得，又平面PAC平面ABC=AC，平面PAC，所以平面ABC，由平面ABC，得，，以H為原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸，方向?yàn)閥軸，方向?yàn)閦軸，建立空間坐標(biāo)系，由題意可得，則，有，設(shè)平面PAB和平面PBC的一個(gè)法向量分別為，則，令，得，所以，有，即，故平面平面．（2）解：由（1）知，若，則，，，，有，，，，設(shè)平面、平面一個(gè)法向量分別為，則，令，得，所以，，設(shè)平面與平面夾角為，得，所以平面與平面夾角的余弦值為．18.已知等差數(shù)列滿足，等比數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求證：，其中.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由,得，解得：，，設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得，由，，解得，.（2）由題意及（1）得，，又∵，∴，設(shè)，當(dāng)為奇數(shù)，時(shí)，，在中，，，，在中，由，得，解得：，，，當(dāng)為偶數(shù)，時(shí)，，同理可得，，綜上，.19.已知橢圓，左頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，左右焦點(diǎn)分別為為橢圓上一點(diǎn)，最大值為的面積為.（1）求橢圓方程；（2）已知直線過與橢圓交與M，N兩點(diǎn)（在上方），且，若，求直線斜率的值范圍.解：（1）由題意在橢圓中，最大值為的面積為.，解得：，橢圓方程為：.（2）由題意及（1）得在橢圓中，，直線過與橢圓交與M，N兩點(diǎn)（在上方），且，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，顯然不成立，當(dāng)直線斜率存在時(shí)設(shè)為，由，得，聯(lián)立消去得；則，且，可知，代入中得：，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不成立，則，，在上方，.吉林省八校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，故傾斜角滿足為，故.故選：D.2.如圖所示，在平行六面體中，為與的交點(diǎn).若，則下列向量中與相等的向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得：=.故選：A.3.如圖，在正方體中，M，N分別為的中點(diǎn)，異面直線MN與所成角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】連結(jié)，，因?yàn)樵谡襟w中，M，N分別為的中點(diǎn)，所以，因此，異面直線與所成角即為直線與所成角，即，顯然為.故選：B.4.九連環(huán)是我國(guó)從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，以解開為勝.據(jù)明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環(huán)互相貫為一，得其關(guān)捩，解之為二，又合而為一“.在某種玩法中，用表示解下個(gè)圓環(huán)所需的移動(dòng)最少次數(shù)，若.且，則解下6個(gè)環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)為（）A.13 B.16 C.31 D.64【答案】C【解析】，，，，，，，所以解下6個(gè)環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)為.故選：C.5.已知雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)重合，則以橢圓的短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)，且與雙曲線具有相同漸近線的雙曲線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意且，則，則雙曲線的方程為.以橢圓的短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的雙曲線可設(shè)為，若與雙曲線具有相同漸近線，則，即.故所求雙曲線的方程為，即.故選：B.6.平行直線與之間的距離為，則，的可能值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】將直線化為，顯然，依題意可得，即，只有滿足題意.故選：A.7.如圖，在直三棱柱中，為腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形，且，側(cè)面為正方形，為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，則，設(shè)平面的法向量，則即令，則，所以為平面的一個(gè)法向量，所以與到平面的距離，即①，又，所以②，所以由①②得，又由可得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以最小值為．故選：A．8.已知點(diǎn)在以為左、右焦點(diǎn)的橢圓內(nèi)，延長(zhǎng)與橢圓交于點(diǎn)，滿足，若，則該橢圓離心率取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如下圖所示：由題意可知，，設(shè)，則，由橢圓定義可得，在Rt中，由勾股定理可得，即，即，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，則，又因?yàn)?，所以，令，是一條開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，若方程在內(nèi)有實(shí)根，則，得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，且，則，即，所以，因此.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知橢圓上一點(diǎn)，、分別為左、右焦點(diǎn)，，的面積為，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.若，則B.若，則滿足題意的點(diǎn)有四個(gè)C.橢圓內(nèi)接矩形周長(zhǎng)的最大值為D.若為鈍角三角形，則【答案】AC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，在橢圓中，，，則，由橢圓的定義可得，，且、，設(shè)，，且，，在中，由余弦定理可得，所以，，所以，，所以，，因?yàn)?，則，所以，，解得，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)，則，且，解得，此時(shí)點(diǎn)為橢圓短軸的頂點(diǎn)，故滿足條件的點(diǎn)只有兩個(gè)，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)橢圓內(nèi)接矩形的一個(gè)頂點(diǎn)為，則橢圓內(nèi)接矩形周長(zhǎng)為，其中為銳角，且，由得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)橢圓的內(nèi)接矩形周長(zhǎng)取最大值為，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，若為鈍角，，，則，解得，所以，，此時(shí)，；若為鈍角，且，，則，可得，又因?yàn)?，所以，，則，可得，此時(shí)，；當(dāng)為鈍角時(shí)，同理可知.因此，的取值范圍是，D錯(cuò).故選：AC.10.如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6，且它們彼此的夾角都是，則下列說法中正確的是（）A. B.C.向量與的夾角是 D.與AC所成角的余弦值為【答案】AB【解析】因?yàn)橐皂旤c(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6，且它們彼此的夾角都是，所以，，則，所以A正確；，則，故，所以B正確；顯然為等邊三角形，則.因?yàn)?，且向量與的夾角是，所以與的夾角也是，所以C不正確；因?yàn)?，所以，所以，所以D不正確.故選：AB.11.在數(shù)列中，，則以下結(jié)論正確的為（）A.數(shù)列為等差數(shù)列B.C.當(dāng)取最大值時(shí)，的值為51D.當(dāng)數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值時(shí)，的值為49或51【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由，得，兩式聯(lián)立得，即，數(shù)列為等差數(shù)列，A正確；對(duì)于B，令，得，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由等差數(shù)列的性質(zhì)知，即，又，公差，則，數(shù)列的前51項(xiàng)為正，從第52項(xiàng)開始為負(fù)，當(dāng)取最大值時(shí)，n的值為51，C正確；對(duì)于D，由數(shù)列的前51項(xiàng)為正，從第52項(xiàng)開始為負(fù)，又，得，則數(shù)列前49項(xiàng)和最大，又，即數(shù)列前51項(xiàng)和最大，當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)或51時(shí)，的前n項(xiàng)和取得最大值，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.圓和圓的公切線條數(shù)為__________.【答案】4【解析】∵圓，圓，∴，∴圓心距，而兩圓半徑之和，∴兩個(gè)圓相離，則這兩個(gè)圓的公切線有4條.13.已知，直線，且，則的最小值為__________.【答案】8【解析】因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為8.14.如圖1所示，古箏有多根弦，每根弦下有一個(gè)雁柱，雁柱用于調(diào)整音高和音質(zhì).圖2是根據(jù)圖1繪制的古箏弦及其雁柱的簡(jiǎn)易平面圖.在圖2中，每根弦都垂直于x軸，相鄰兩根弦間的距離為1，雁柱所在曲線的方程為，第n根弦（，從左數(shù)首根弦在y軸上，稱為第0根弦）分別與雁柱曲線和直線l：交于點(diǎn)和，則______.（參考數(shù)據(jù)：取.）【答案】914【解析】由題意可知：，則，可得，兩式相減可得：，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知的直角頂點(diǎn)為A在y軸上，直角邊AB所在直線的方程為，點(diǎn)，滿足．（1）求AC邊所在直線的方程；（2）求外接圓的方程；（3）求BC邊所在直線的方程；（4）若動(dòng)圓P過點(diǎn)，且與的外接圓外切，求動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程．解：（1）由AB邊所在直線的方程為且直角的直角頂點(diǎn)為A在y軸上，可得，直線AC的斜率為，AC邊所在直線的方程為；（2）點(diǎn)A的坐標(biāo)為，且，則為斜邊上的中點(diǎn)，即為外接圓的圓心，則，從而外接圓的方程為；（3）外接圓的方程為與直角邊AB所在直線相交，即，消去可得，即，解得或，將代入直線方程可得，BC邊所在直線即為BM，方程為．（4）動(dòng)圓P過點(diǎn)N，是該圓的半徑，又動(dòng)圓P與圓M外切，則，即，故點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線的左支，實(shí)半軸長(zhǎng)，半焦距，∴虛半軸長(zhǎng)，從而動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程為．16.已知為拋物線的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過焦點(diǎn)作一條直線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)在的準(zhǔn)線上，且直線MF的斜率為的面積為1.（1）求拋物線的方程；（2）試問在上是否存在定點(diǎn)，使得直線NA與NB的斜率之和等于直線NF斜率的平方？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在的準(zhǔn)線上，且直線MF的斜率為，所以易知點(diǎn)縱坐標(biāo)為，則所以，解得，即拋物線的方程為.（2）假設(shè)存在定點(diǎn)，使得直線NA與NB的斜率之和等于直