高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南京市六校聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末調(diào)研數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，故傾斜角滿足為，故.故選：D.2.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】B【解析】等差數(shù)列中，由，得公差，所以.故選：B.3.“”是“方程表示雙曲線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】∵方程為雙曲線，∴，∴或，∴“”是“方程為雙曲線”的充分不必要條件，故選：Ａ.4.曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，求導(dǎo)得，則，因此曲線在點處的切線為，即.故選：D.5.若拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過橢圓的左焦點，則的值為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】橢圓的半焦距，因此拋物線的準(zhǔn)線過點，則，所以.故選：C.6.記為等比數(shù)列的前項和，若，則（）A. B. C.1或 D.或【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，故，則由可得：，因，可將其化簡為：，即，解得（舍去）或.則.故選：B.7.已知函數(shù)在上有三個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，可得，令，則直線與函數(shù)的圖象有三個交點，，令，可得或，列表如下：增極大值減極小值增如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，即當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有三個交點，因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：A.8.已知，若在直線上存在點，使得，則取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)點，因，由可得：，化簡得，即，依題意，直線與圓有公共點，故圓心到直線的距離，即，化簡得，解得：.故選：D.二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.全部選對得6分，部分選對得部分分，不選或有錯選的得0分.9.設(shè)為實數(shù)，直線的方程為，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)變化時，恒過定點B.若，則在軸，軸上的截距之和為4C.若，則的斜率為1D.當(dāng)時，點關(guān)于直線的對稱點坐標(biāo)為【答案】AC【解析】對于A項，直線的方程為化為，由，解得，所以直線恒過定點，A正確；對于B項，時，，令，，令，，此時在軸，軸上的截距之和為，B錯誤；對于C項，由B項可知，故的斜率為1，C正確；對于D項，時，，設(shè)關(guān)于直線對稱點坐標(biāo)為，則，解得，即點關(guān)于直線的對稱點坐標(biāo)為，D錯誤.故選：AC.10.已知等差數(shù)列滿足，記為的前項和，則下列說法正確的是（）A.B.是遞增數(shù)列C.當(dāng)時，取得最小值D.使得的的最小值為13【答案】BC【解析】由，得，等差數(shù)列的公差，對于B，數(shù)列是遞增數(shù)列，B正確；對于AC，數(shù)列的前7項都為負(fù)，從第8項起為正，因此，當(dāng)時，取得最小值，A錯誤，C正確；對于D，，因此使得的的最小值不為13，D錯誤.故選：BC.11.已知為坐標(biāo)原點，拋物線為拋物線上的兩點，且，則下列說法正確的是（）A.直線過拋物線的焦點B.以為直徑的圓與軸相切C.當(dāng)時，D.若點，且，則【答案】ABD【解析】對于A，設(shè)直線方程為，與聯(lián)立得：，故，因為，所以，解得，即直線恒過點，故選項A正確；對于B，設(shè)點M是的中點，，的中點，點到軸的距離為，故以線段為直徑的圓與軸相切，故B正確；對于C，因為，且三點共線，則，所以，代入中，得到，即，所以，故C錯誤；對于D，因為點，且，所以，由對稱性不妨設(shè)點A在第一象限，所以，，所以，又，所以，所以，所以，，所以，所以，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.12.數(shù)列的通項公式為，則它的前6項和為__________.【答案】147【解析】因，則該數(shù)列的前6項和為：.13.在邊長為的長方形鐵片的四角切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起（如圖），做成一個無蓋的長方體箱子，則箱子容積的最大值為______.【答案】18【解析】設(shè)小正方形的邊長為，依題意，箱子容積，由，解得，所以的定義域為.則，所以在區(qū)間單調(diào)遞增；在區(qū)間單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取到最大值，且最大值為.14.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右焦點為，上頂點為.連接并延長交橢圓于點，過點作軸的垂線交橢圓于另一點.若，則橢圓離心率為__________.【答案】【解析】如下圖所示：易知點、，直線的方程為，聯(lián)立解得，即點，由橢圓的對稱性可知，點與點關(guān)于軸對稱，則，所以，，且直線的斜率為，由已知，則，則，所以，，即，等式兩邊同時除以可得，因為，解得，解得.四?解答題：本大題共5小題，共77分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.解：（1）當(dāng)時，，解得：，當(dāng)時，，得，因為，所以，因為，所以數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以.（2）因為，所以，所以數(shù)列的前項和.16.已知圓經(jīng)過兩點，且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）已知以為端點的弦的長度為，求該弦所在直線方程.解：（1）因為，所以的中垂線的斜率為，又的中點為，所以的中垂線方程為，即，由，解得，又半徑，所以圓的方程為.（或）（2）若弦所在直線斜率不存在，則弦長為8，不合題意，故所求弦的斜率存在.設(shè)弦所在直線方程為，即，設(shè)圓心到弦的距離為，由所以，即，解得或.所以弦所在的直線方程為或.17.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，求證：.（1）解：函數(shù)中，，求導(dǎo)得，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，時，時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）證明：由（1）知，當(dāng)時，，設(shè)，求導(dǎo)得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，因此，則，所以.18.已知為坐標(biāo)原點，雙曲線過點，漸近線方程為.（1）求雙曲線的方程；（2）直線過點，與雙曲線交于兩點.①若直線，求的面積；②在軸上是否存在定點，使得為定值？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：（1）因為點在雙曲線上，得又因為漸近線方程為，所以，解得，所以雙曲線的方程為.（2）①直線斜率為，故直線的方程為，代入雙曲線得，，所以，又點到的距離為，故的面積為.②設(shè)，，當(dāng)直線斜率不為0時，設(shè)，代入雙曲線得，，，所以，若為常數(shù)，則為常數(shù)，設(shè)為常數(shù)，則對任意的實數(shù)恒成立，，所以，所以，此時.當(dāng)直線斜率時為，對于所以，解得或（舍），所以在軸上存在定點，使得為定值.19.在數(shù)列中，按照下面方式構(gòu)成：，，，其中表示數(shù)列中最大的項.（1）若數(shù)列的前4項分別為，求數(shù)列的前4項；（2）若滿足，且.①求的值；②求的前項和.解：（1）因為數(shù)列的前4項分別為，則，所以的前4項分別為（2）因為，即，且，可知數(shù)列是以首項和公比均為的等比數(shù)列，則，所以.①當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，，可知數(shù)列為遞增數(shù)列，可知，所以；②當(dāng)時，；當(dāng)時，.（i）當(dāng)為奇數(shù)時，，令，作差得，所以；經(jīng)檢驗也滿足上式，所以；（ii）當(dāng)為偶數(shù)時，；綜上所述：.江蘇省南京市六校聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末調(diào)研數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，故傾斜角滿足為，故.故選：D.2.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】B【解析】等差數(shù)列中，由，得公差，所以.故選：B.3.“”是“方程表示雙曲線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】∵方程為雙曲線，∴，∴或，∴“”是“方程為雙曲線”的充分不必要條件，故選：Ａ.4.曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，求導(dǎo)得，則，因此曲線在點處的切線為，即.故選：D.5.若拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過橢圓的左焦點，則的值為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】橢圓的半焦距，因此拋物線的準(zhǔn)線過點，則，所以.故選：C.6.記為等比數(shù)列的前項和，若，則（）A. B. C.1或 D.或【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，故，則由可得：，因，可將其化簡為：，即，解得（舍去）或.則.故選：B.7.已知函數(shù)在上有三個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，可得，令，則直線與函數(shù)的圖象有三個交點，，令，可得或，列表如下：增極大值減極小值增如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，即當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有三個交點，因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：A.8.已知，若在直線上存在點，使得，則取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)點，因，由可得：，化簡得，即，依題意，直線與圓有公共點，故圓心到直線的距離，即，化簡得，解得：.故選：D.二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.全部選對得6分，部分選對得部分分，不選或有錯選的得0分.9.設(shè)為實數(shù)，直線的方程為，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)變化時，恒過定點B.若，則在軸，軸上的截距之和為4C.若，則的斜率為1D.當(dāng)時，點關(guān)于直線的對稱點坐標(biāo)為【答案】AC【解析】對于A項，直線的方程為化為，由，解得，所以直線恒過定點，A正確；對于B項，時，，令，，令，，此時在軸，軸上的截距之和為，B錯誤；對于C項，由B項可知，故的斜率為1，C正確；對于D項，時，，設(shè)關(guān)于直線對稱點坐標(biāo)為，則，解得，即點關(guān)于直線的對稱點坐標(biāo)為，D錯誤.故選：AC.10.已知等差數(shù)列滿足，記為的前項和，則下列說法正確的是（）A.B.是遞增數(shù)列C.當(dāng)時，取得最小值D.使得的的最小值為13【答案】BC【解析】由，得，等差數(shù)列的公差，對于B，數(shù)列是遞增數(shù)列，B正確；對于AC，數(shù)列的前7項都為負(fù)，從第8項起為正，因此，當(dāng)時，取得最小值，A錯誤，C正確；對于D，，因此使得的的最小值不為13，D錯誤.故選：BC.11.已知為坐標(biāo)原點，拋物線為拋物線上的兩點，且，則下列說法正確的是（）A.直線過拋物線的焦點B.以為直徑的圓與軸相切C.當(dāng)時，D.若點，且，則【答案】ABD【解析】對于A，設(shè)直線方程為，與聯(lián)立得：，故，因為，所以，解得，即直線恒過點，故選項A正確；對于B，設(shè)點M是的中點，，的中點，點到軸的距離為，故以線段為直徑的圓與軸相切，故B正確；對于C，因為，且三點共線，則，所以，代入中，得到，即，所以，故C錯誤；對于D，因為點，且，所以，由對稱性不妨設(shè)點A在第一象限，所以，，所以，又，所以，所以，所以，，所以，所以，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.12.數(shù)列的通項公式為，則它的前6項和為__________.【答案】147【解析】因，則該數(shù)列的前6項和為：.13.在邊長為的長方形鐵片的四角切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起（如圖），做成一個無蓋的長方體箱子，則箱子容積的最大值為______.【答案】18【解析】設(shè)小正方形的邊長為，依題意，箱子容積，由，解得，所以的定義域為.則，所以在區(qū)間單調(diào)遞增；在區(qū)間單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取到最大值，且最大值為.14.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右焦點為，上頂點為.連接并延長交橢圓于點，過點作軸的垂線交橢圓于另一點.若，則橢圓離心率為__________.【答案】【解析】如下圖所示：易知點、，直線的方程為，聯(lián)立解得，即點，由橢圓的對稱性可知，點與點關(guān)于軸對稱，則，所以，，且直線的斜率為，由已知，則，則，所以，，即，等式兩邊同時除以可得，因為，解得，解得.四?解答題：本大題共5小題，共77分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.解：（1）當(dāng)時，，解得：，當(dāng)時，，得，因為，所以，因為，所以數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以.（2）因為，所以，所以數(shù)列的前項和.16.已知圓經(jīng)過兩點，且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）已知以為端點的弦的長度為，求該弦所在直線方程.解：（1）因為，所以的中垂線的斜率為，又的中點為，所以的中垂線方程為，即，由，解得，又半徑，所以圓的方程為.（或）（2）若弦所在直線斜率不存在，則弦長為8，不合題意，故所求弦的斜率存在.設(shè)弦所在直線方程為，即，設(shè)圓心到弦的距離為，由所以，即，解得或.所以弦所在的直線方程為或.17.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，求證：.（1）解：函數(shù)中，，求導(dǎo)得，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，時