試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁云南民族大學(xué)附屬高級中學(xué)2026屆高三聯(lián)考卷（二）數(shù)學(xué)試卷試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，請將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則的真子集個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．已知復(fù)數(shù)，其中，若，則（

）A． B． C． D．3．記向量，設(shè)甲：向量與向量的夾角為銳角；乙：，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知橢圓的一個焦點為，過點且垂直于橢圓長軸的直線與的一個交點為，則（

）A． B． C． D．5．設(shè)為公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則該等比數(shù)列的公比為（

）A． B． C．2 D．36．在對某中學(xué)高三年級學(xué)生體重（單位：kg）的調(diào)查中，按男、女生人數(shù)比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取部分學(xué)生進(jìn)行測量．已知抽取的男生有人，其體重的平均數(shù)和方差分別為，抽取的女生有人，其體重的平均數(shù)和方差分別為，則估計該校高三年級學(xué)生體重的方差為（

）A． B． C． D．7．若函數(shù)與函數(shù)圖象的對稱中心完全一致，則（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知，，為三個兩兩垂直的平面．若平面，的交線為，則下列結(jié)論中一定不成立的有（

）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，則（

）A．在定義域上單調(diào)遞減 B．曲線關(guān)于點對稱C．當(dāng)時， D．11．某小組擬進(jìn)行敏感性問題調(diào)查.受訪者從有除顏色外完全相同的20個白球和30個紅球的箱子內(nèi)任取1個球，根據(jù)球上的標(biāo)識寫下回答的對應(yīng)序號并回答“”或“”后放回，白球上的標(biāo)識為“①Y，②N”，紅球上的標(biāo)識為“①N，②Y”.“Y”代表做過該敏感行為，“N”代表沒做過該敏感行為.事件為“受訪者寫下①”，事件為“受訪者回答Y”，則（

）A．若，調(diào)查100人，事件的發(fā)生次數(shù)的期望值接近50B．若，調(diào)查100人，事件的發(fā)生次數(shù)的期望值接近50C．任取1人，若，則的最大值為D．任取1人，若，則的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．設(shè)點在拋物線C：上，F(xiàn)為C的焦點，則．13．為了表揚三位樂于助人的同學(xué)，班主任購買了4個價錢相同的禮盒全部分給這3名同學(xué)，若購買的4個禮盒僅有2個相同，按一人2個禮盒，另兩人各1個禮盒進(jìn)行分配，共有種分法.（用數(shù)字作答）14．在長方體中，，，，M，N為棱上兩點，且，動點P，Q在長方體內(nèi)（含邊界），且點P到M的距離與到平面ABCD的距離之比、點Q到N的距離與到平面的距離之比均為，則四面體MNPQ棱長之和的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．記△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為，，，，且．(1)證明：；(2)當(dāng)時，求．16．已知數(shù)列滿足，．(1)若，，成等差數(shù)列，求k；(2)求．17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的兩條漸近線將圓分為四段弧長分別為的圓弧.(1)求與的方程；(2)過上一動點作的切線交于不同的兩點，證明：.18．如圖，在四棱錐中，，，，為的中點，，，點在線段上.

(1)證明：平面；(2)已知四點均在球的球面上.（i）證明：三點共線；（ii）若直線與平面所成角的正弦值為，求.19．已知函數(shù).(1)證明：曲線在點處的切線恒過定點，并求出該定點坐標(biāo)；(2)若存在使得，記的導(dǎo)函數(shù)為.（i）求的取值范圍；（ii）證明：.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．C【分析】首先解不等式解出集合，然后根據(jù)交集的定義求出，最后根據(jù)真子集個數(shù)的公式即可求解.【詳解】由題意可知，所以，故的真子集個數(shù)為個.故選：C2．B【分析】利用復(fù)數(shù)的模計算公式解得答案.【詳解】因為，所以，化簡得，解得.故選：B.3．A【分析】先根據(jù)向量夾角為銳角的條件求出甲成立時的取值范圍，再分析甲與乙之間的充分性和必要性關(guān)系.【詳解】,由向量與向量的夾角為銳角，故，且與不共線，所以，解得，又與不共線，則可得，解得.故向量與向量的夾角為銳角，可得且.故若且，則可得，即充分性成立；反之，若，則推不出且，即必要性不成立；故甲是乙的充分不必要條件,故選：.4．B【分析】把代入橢圓方程，即可得解.【詳解】不妨設(shè)為右焦點，則，聯(lián)立，解得，故．故選：B．5．A【分析】設(shè)數(shù)列的公差為，成等比數(shù)列，得，計算化簡即得答案.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，則，，成等比數(shù)列，得，化簡得：，又，則得，故該等比數(shù)列的公比為.故選：A6．C【分析】根據(jù)分層隨機(jī)抽樣樣本平均數(shù)公式和方差公式即可算出答案.【詳解】記總樣本的平均數(shù)為，則，所以總樣本的方差，所以估計該校高三年級學(xué)生體重的方差為．故選：C．7．D【分析】易得函數(shù)與的周期相等，從而可求出，再根據(jù)余弦函數(shù)和正切函數(shù)的對稱性分別求出兩個函數(shù)的對稱中心，進(jìn)而可得出答案.【詳解】因為函數(shù)的相鄰對稱中心的距離都是半個周期，且函數(shù)與函數(shù)圖象的對稱中心完全一致，所以函數(shù)與的周期相等，則函數(shù)的周期，即，所以，則，令，故，令，則，故，解得，因為，所以．故選：D．8．B【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為，或求解.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，得，或，①，，令函數(shù)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，于是，因此；②，，由①得，所以的取值范圍為.故選：B9．BCD【分析】根據(jù)空間線、面的位置關(guān)系，逐項進(jìn)行判斷即可.【詳解】由，且，根據(jù)若兩個相交平面都垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面，可得，故A成立，B一定不成立；等價于，即直線l在平面內(nèi)，但，故C一定不成立；等價于直線l與平面無交點，由可知D一定不成立．故選：BCD10．BC【分析】先求出函數(shù)定義域，再由特殊函數(shù)值大小比較判斷A；通過是否成立判斷B；由對數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性計算判斷C；根據(jù)解析式及對數(shù)運算性質(zhì)求函數(shù)值判斷D.【詳解】對于A，由，可得或，所以函數(shù)定義域為，而，錯誤；對于B，，所以曲線關(guān)于點對稱，正確；對于C，由在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，正確；對于D，，錯誤．故選：BC11．ABD【分析】根據(jù)給定條件，利用獨立事件、互斥事件、對立事件的概率公式，結(jié)合二項分布的期望公式及條件概率公式逐項求解判斷.【詳解】設(shè)受訪者共名，其中做過該敏感行為的人數(shù)為，則，由于調(diào)查過程均為理想狀態(tài)，則，，，對于A，當(dāng)，即時，，事件的發(fā)生次數(shù)近似服從二項分布，其期望為50，A正確；對于B，當(dāng)時，，事件的發(fā)生次數(shù)近似服從二項分布，其期望為50，B正確；，對于C，當(dāng)，即時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，無最大值，C錯誤；對于D，當(dāng)，即時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，無最大值，D正確.故選：ABD12．4【分析】確定拋物線的準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義即可求解出.【詳解】由題意知拋物線C：，則，準(zhǔn)線，又點在C上，則點A到焦點F的距離等于該點到準(zhǔn)線的距離，所以.故答案為：.13．21【分析】考慮2個相同禮盒是否分給同一人兩種情況，結(jié)合分步計數(shù)原理求解即可.【詳解】第一種情況，當(dāng)2個相同禮盒分給同一人時：第一步，分配2個相同禮盒，即將這2個相同禮盒分給三個同學(xué)中的一個，共種分配方法；第二步，分配剩下的2個不同禮盒，即將剩下的2個不同禮盒，分給剩下的2個同學(xué)，共有種，所以一共有種分法；第二種情況，當(dāng)2個相同禮盒不分給同一人時：記4個禮盒分別為，當(dāng)或在一起時，共有種分配方法；當(dāng)在一起時，即將分給三個人中任何一個，剩下的2個人，每人分一個，共有種分配方法；綜上，共有種分配方法.故答案為：14．【分析】根據(jù)題設(shè)及橢圓第二定義確定動點P，Q的軌跡，再結(jié)合橢圓第一定義求四面體MNPQ的棱長之和為，數(shù)形結(jié)合確定范圍，即可得.【詳解】由題意，點P到點M的距離與到平面ABCD的距離之比為，點Q到點N的距離與到平面的距離之比為，根據(jù)橢圓第二定義，得P，Q軌跡是以M，N為兩焦點、離心率為的橢圓沿MN旋轉(zhuǎn)形成的四分之一個旋轉(zhuǎn)橢球面，如圖所示．由橢圓第一定義可得，則四面體MNPQ的棱長之和為，由圖知的取值范圍是，則其四面體MNPQ棱長之和的取值范圍是.故答案為：15．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由結(jié)合正弦定理可得，再結(jié)合，從而可證明求解.（2）利用正弦定理進(jìn)行邊換角，再結(jié)合二倍角的正弦公式即可求解.【詳解】（1）證明：由及正弦定理得，．因為，，所以，即，因為，所以，因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以.（2）由題意，當(dāng)時，根據(jù)正弦定理得，即，即，因為，所以，因為，所以.16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，成等差數(shù)列得，求出即可；（2）由可得答案.【詳解】（1）已知數(shù)列滿足，．因為，，成等差數(shù)列，所以，所以，整理得，解得，或（負(fù)值舍去）.（2）因為，又，所以時，，時,也滿足上式，所以．17．(1)雙曲線：；圓：(2)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)圓的周長可得圓的半徑，進(jìn)而可得圓的方程，根據(jù)弧長可得圓心角，根據(jù)漸近線可得，即可得雙曲線方程；（2）分類討論切線斜率是否存在，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理證明，即可得結(jié)果.【詳解】（1）圓的圓心為，半徑為，由題意可知：圓的周長為，解得，所以圓的方程為；因為四段弧長分別為的圓弧對應(yīng)的圓心角分別為，又因為雙曲線的漸近線方程為，可知漸近線的斜率為，傾斜角，可得，即，，所以雙曲線的方程為.（2）設(shè)，則，若切線斜率不存在，設(shè)切線為，，可知，，且，即，可得，因為；若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，則，可得，聯(lián)立方程，消去可得，在的前提下可得，則；綜上所述：，所以.18．(1)證明見解析(2)（i）證明見解析；（ii）.【分析】（1）利用勾股定理求，并證明，根據(jù)線面垂直判定定理證明平面，由此可得，結(jié)合條件，根據(jù)線面垂直判定定理證明平面，（2）（i）法一：以為坐標(biāo)原點，，，的正方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)關(guān)系，列方程求點的坐標(biāo)，再證明，由此可證明結(jié)論，法二：不妨記為的中點，為的中點，證明，再證明點在過點且垂直于平面的直線上，由此證明點與點重合，由此可證結(jié)論；（ii）不妨設(shè)，求直線的方向向量和平面的法向量，結(jié)合向量夾角公式求直線與平面所成角的正弦值，由條件列方程求，由此可得結(jié)論.【詳解】（1）如圖，連接，因為，為的中點，所以，又，故，所以，又，，則，故，又，，平面，平面，所以平面，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，

（2）(i)法一：如圖，以為原點，，，分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)，由得，，解得，，所以點的坐標(biāo)為，則，故，又為，的公共點，故三點共線，

法二：不妨記為的中點，為的中點，連接，則，由（1）平面，所以平面，由，可知，易知直線上任一點到三點的距離相等，故，同理由，知過點且垂直于平面的直線上任一點到三點的距離相等，故，由，所以點即為點，于是三點共線，

（ii）如圖，連接，不妨設(shè)，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，可得，，所以為平面的一個法向量，設(shè)直線與平面所成的角為，，所以，由已知，所以，解得或（舍去），故.

19．(1)證明見詳解；定點為(2)（i）；（ii）證明見詳解【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，進(jìn)而分析定點；（2）（i）求導(dǎo)，分析討論分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性分析求解；（ii）構(gòu)建設(shè)，構(gòu)建，求導(dǎo)，分類討論分析的符號分析證明.【詳解】（1）由題意可知：函數(shù)的定義域為，且，則，，即切點坐標(biāo)為，切線斜率，所求切線方程為，即，令，解得，所以切線恒過定點.（2）構(gòu)建，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，所以.（i）構(gòu)建，則，①若，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，當(dāng)趨近于時，趨近于，可知在定義域內(nèi)存在唯一零點，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則至多存在兩個實數(shù)，使得，不合題意；②若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即，若，則，即，可知在定