浙江省余姚中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知向量2=(1,2),5=(X,-4),且￡〃九則實(shí)數(shù)X的值為()

A.-2B.2C.-8D.8

2.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=4-〃/-(〃?-2》為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)〃?=()

A.0B.2C.-2D.4

3.已知%,"是非零向量,貝廠￡=尸是“R-4工=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.在平行四邊形48CO中，點(diǎn)E是8C邊上的點(diǎn)，脛=4比，點(diǎn)產(chǎn)是線段OE的中點(diǎn)，若

AF=A,AB+yAD,則〃=()

A.-yB.1C.7D.—

484

5.如圖，AO'/B是一個(gè)平面圖形的直觀圖,其中NO'4A'=90",OB=4,則原圖形中最

6.在銳角丫力8。中，角4S。所對的邊分別為。也。.若6-26=加05。-2加058,則：=()

b

A.IB.yC.1D.2

7.在V/18C中，力=￡,BC=2,若滿足.上述條件的V48C恰有一解，則邊長/C的取值

6

范圍是()

試卷第1頁，共4頁

A.(0,2)B.(0,2]C.(0,2)U{4}D.(0,2]U{4}

8.已知三棱錐尸—ABC的外接球的球心為O,尸力_L平面ABC,ABtAC,AB=AC=4,PA=2,

則球心O到平面PBC的距離為()

A.\B.在C.—D.3

333

二、多選題

9.設(shè)。，B，7表示三個(gè)不同的平面,機(jī)表示直線，則下列選項(xiàng)中，使得。〃夕的是()

A.tn/!a,m/!pB._La,w±p

C.y"a,ylipD./la,yLp

向量%在向量而上的投影向量為;筋，則()

10.在V/18C中，JC=2x/5,tan/l=2,

.廠3廂

A.邊，C上的高為3五n13.sillC=---------

10

C.邊力8上的中線為如D.JC5C=-8

11.如圖，已知圓臺的軸截面為力4。。，其中4?=3CZ)=6g,4)=4,M為圓弧力8的中點(diǎn),

A.圓臺的體積為26/1

B.圓臺母線所在直線與平面48CO所成角的最大值為三

C.過任意兩條母線作圓臺的截面，截面面積的最大值為

D.過三點(diǎn)的平面與圓臺下底面的交線長為苧

三、填空題

12.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=3+4i,則z的虛部是.

13.已知在RtZ\48C中，/4C8=9(TMC=2,8C=4,P是斜邊48的中點(diǎn)，則

CPCB+CPCA=.

14.如圖，某山的高度4c'=300m,一架無人機(jī)在。處觀測到山頂。的仰角為15。，地面上

試卷第2頁，共4頁

4處的俯角為45。，若N6/fC=60。，則此無人機(jī)距離?地面的高度PQ為m.

四、解答題

15.已知i為虛數(shù)單位.

⑴若復(fù)數(shù)z滿足！=一?,求忖；

ZZ+1

⑵計(jì)算化ai粵

16.在V48c中，BC=3g,ABAC=

3

⑴若力。二20,求sinC:

⑵若D為邊BC上的點(diǎn)且AD平分NBAC,AD=6,求VABC的面積.

17.如圖，在直三棱柱48C-44G中，所有棱長均為4,。是48的中點(diǎn).

⑴求證：8G”平面4OJ

(2)求異面直線4。與8G所成角的正弦值.

18.如圖，正方形力?！?所在平面和等腰梯形44。。所在平面互相垂直，已知4。=4,

44=40=2,點(diǎn)P是線段AE上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)).

試卷第3頁，共4頁

E

(1)求證：平面力CP_L平直力8b；

(2)求二面角彳-BC-/的平面角的余弦值；

(3)當(dāng)直線力尸與平面8CE所成角的正弦值為雙生時(shí)，求BP.

14

19.在平面四邊形力5。。中，AB=BC=CD=BD=2,AB工BD,將△4CQ沿翻折至

△BPD,其中戶為動(dòng)點(diǎn).

(1)若力尸二力。，

(i)證明：N51平面8尸。；

(ii)求三棱錐P-48。的體積；

(2)求直線AP與平面48。所成角的正切值的最大值.

試卷第4頁，共4頁

《浙江省余姚中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號12345678910

答案ACACCDDBBCABC

題號11

答案ABD

1.A

【分析】由向量平行的坐標(biāo)公式代入計(jì)算,即可得到結(jié)果.

12

【詳解】由￡〃書可得一=]，解得x=-2.

x-4

故選：A

2.C

【分析】根據(jù)純虛數(shù)的概念，列出方程，注意虛部不能為零，解得答案.

[4-w2=0

【詳解】由題意，得）八，解得力=-2,

[m-2Ho

故選:C

3.A

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律判斷.

【詳解】充分性：由題意知b，工為非零向量,當(dāng)￡=否時(shí),可得=故充分

性滿足；

必要性：當(dāng)（1-5”=0,解得1網(wǎng)f故必要性不滿足，

所以5=戶是“（1-3"=0”的充分不必要條件，故A正確.

故選:A.

4.C

【分析】由#=；（而+怒），及荏:而+；而即可求解?.

答案第1頁，共13頁

所以而=;（而+而卜

又荏=存+而=血+-而=荏+-而，

44

所以簫=g（而+碼=;而+；福

所以〃=（7,

O

故選：C

5.C

【分析】利用斜二測畫法規(guī)則作出原圖形，再求出三角形各條邊長即得.

【詳解】在直觀圖中，/。'/'6'=90。,。'5'=4,而NHOZ'=45。，因此OH=20，

△0/B對應(yīng)的原圖形是直角40AB,其中/AOB=90。08=4,04=4/，

AB=5+嶼⑦，=46，顯然4逐＞4夜＞4，

所以原圖形中最長的邊長是4方.

6.D

【分析】用射影定理即可化簡求值.

【詳解】如圖所示，過點(diǎn)力作力。/8c于點(diǎn)。,

A

則BD=ccosB,CD=bcosC,/.a=BD+CD=ccosB+bccsC,

同理可證〃=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA,

因?yàn)樨?2c=acosC-2acos8,所以。cosC+ocos4一2(。cos8+/)cos%)=acosC-2acosB,

答案第2頁，共13頁

整理得ccos/=2力cos/l,因?yàn)閂力〃。為銳角三角形，所以cos/wO,

所以c=26,即”2,

b

故選：D

7.D

【分析】由題意C3J_”，或力C48C,進(jìn)而可得.

【詳解】若滿足條件的VF3C恰有一解，如圖

當(dāng)4CW8C時(shí)，4Ce(0,2],

所以4c的取值范圍是(0,2]u{4}.

故選：D

8.B

【分析】將棱錐補(bǔ)全為長方體，進(jìn)而確定球心的位置并求出半徑，若石為8c的中點(diǎn)，連接

PEQE,證明平面P8CJ.平面。尸E,得到N。咋是。尸與平面P8c的夾角，結(jié)合已知求點(diǎn)

面距即可.

【詳解】由P/1平面49C,48,4Cu平面月8C,則產(chǎn)4148,PALAC,

由18J.AC/18=4C=4,以=2,可將三棱錐補(bǔ)全為一個(gè)長方體，如下圖示，

則球心。為該長方體體對角線的中點(diǎn)一則球的半徑一.+

答案第3頁，共13頁

易知&BC中PB=PC=2&8c=4&,若七為8C的中點(diǎn)，連接房,。￡,

顯然〃E18C,OE_L8C,尸EnOE=E且都在平面。尸七內(nèi)，則8C_L平面

又BCu平面PBC,所以平面P3C_L平面OPE,故0在平面P8C的投影在尸￡上,

所以NOAE是OP與平面P8C的夾角，而包：=2后,OE=1,

OP2+PE2-OE294-12-1二3

則cosZOPE

2OPPE-2X3X2V3

所以sinZOPE=—,則球心0到平面PBC的距離為OPsin/OPE=—.

93

故選：B

9.BC

【分析】根據(jù)線面平行、面面平行的知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】對于A,若mUa,〃?"￡,則在￡可能相交,A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對于B,若加_La,m工6,則a%,B選項(xiàng)正確.

對于C,若y〃a,yHP，則a〃P，C選項(xiàng)正確.

對于D,若ylfl,則a1可能相交，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC

10.ABC

【分析】根據(jù)投影向量的定義可得至cos月=2,結(jié)合已知有cos/f=[,進(jìn)而得力8=6,

\AB\3V5

應(yīng)用余弦定理、向量數(shù)量積的定義及其運(yùn)算律依次判斷各項(xiàng)的正誤.

【詳解】由題設(shè)=則if=；,即Wcos/=；

\AB\\AB\33\AB\3

則cos/=N故隨邛，

又tan/=2且0＜力＜八，

又4C=2石，則44=6,故8C=yjAB2+AC2-2ABACCOSA=4及，

COSCJK

、初20+32-36=0<C<7r,P!iJsinC=—?B對,

2ACBC2x20x461010

邊8c上的高為力CsinC=2"x獨(dú)?=36,A對,

10

答案第4頁，共13頁

%灰=萬.赤=|豆||而|cosC=2石x4衣x嚕=8，D錯(cuò),

邊上的中線為gJ(9+而)2=g\fc^+20?屈+豆2=、20+；6+32=后,c對.

故選：ABC

11.ABD

【分析】求出圓臺的高，根據(jù)體積公式可得選項(xiàng)A正確；把圓臺補(bǔ)成圓錐，根據(jù)母線TM與

平面48CQ所成的角最大可得選項(xiàng)B正確；利用兩條母線所在直線夾角為時(shí)截面面枳最

大可得選項(xiàng)C錯(cuò)誤；找出過三U瓦M(jìn)點(diǎn)的平面與圓臺下底面的交線，結(jié)合垂徑定理可得選

項(xiàng)D正確.

【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)榱?=3。。=6百，/。=4,

所以圓臺上底面圓半徑為G，下底面圓半徑為3右，

所以圓臺的高Ji?—(26尸=2，

所以圓臺的體積p=g兀故A正確;

21

由/?=2,8。=4得$皿/。4。=一=一，

42

因?yàn)镹。8c€(0,今，所以/08。=看，

如圖，將圓臺補(bǔ)成圓錐，頂點(diǎn)記為丁，底面圓的圓心記為。，連接

因?yàn)椤盀闃?biāo)中點(diǎn)，所以MO_L4?,

因?yàn)門O*平面AMB,MOu平面AMB,

所以7OLWO,因?yàn)?平面

所以MO_L平面彳88,

因?yàn)锳/Ou平面TMO,所以平面TMO"平面ABCD,

此時(shí)母線所在直線為W與平面44。。所成的角最大為DM779,

ZMTO=--y=~,故B正確；

263

由N78O=5，08=3石得70=3,BT=6,

6

答案第5頁，共13頁

所以7C=6-4=2,當(dāng)兩條母線所在直線夾角為3時(shí)面面枳最大為

—x62xsin---X22Xsin-=16,故C錯(cuò)誤；

2222

如圖，在梯形X8CQ中，連接并延長交歷4的延長線于點(diǎn)尸，連接A//交底面圓于點(diǎn)N,

則為截面與底面圓的交線，

由――=~r—=2得AF=J3,OF=4\/3,

ArkA

Of47343

所以tanNOMF=—=,cosDOMF=

OM3x/335

取MN中點(diǎn)G,則OG_LMN,W=IMG,

所以A/N=2x3百xcos/OMb=與3,故D正確.

故選：ABD

12.4

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念即可判斷.

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)N=3+4i,根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，可知其虛部為4.

故答案為：4.

13.10

【分析】由題意以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。邊為戈軸，C8邊為y軸建立直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐

標(biāo)，利用向量坐標(biāo)和向量數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算方法即可求解.

【詳解】由題意以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，

可得。(0,0)4(2,0),8(0,4),尸(1,2),

故可得加=(1,2),CJ=(2,0),CS=(O,4),

答案第6頁，共13頁

???行+而=(2,0)+(0,4)=(2,4),

故麗.瓦+麗.5=爐電+引=tx2+2x4=10.

故答案為：10.

14.200

【分析】在直角三角形中求出力C，在△4C0中利用正弦定理求出在RtZ\/iP。中求

PQ即可.

【詳解】根據(jù)題意，在RS44C中，NA4c=60。,8c=300m,

上二畔=200后

所以sin6006m,

~T

在△/C。中，N/QC=45'+150=60。，Z0/4C=180°-45°-60°=75°,

所以/。。=180°—/4。。-/04。=45°,

AnAC20()瓜咚

由正弦定理，得一^=今7,即力。=——1-=200x/Im,

sin45sin60<3

T

在Rt^XP。中，P0=ZQsin450=20072x—=200m.

2

故答案為：200

15.⑴*

Q）-l+i

【分析】（1）證明z+l=zi,求出z即可求解;

（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則即可求解.

【詳解】（1）由題可得z+l=zi,

I-l-i-1-i

所以

則izkjHj+信）=冬

16.(1)拒+"

4

答案第7頁，共13頁

⑵地

2

【分析】（1）法1:由余弦定理求c,再用正弦定理求sin。，法2：由正弦定理求sin4,得到8,

再用和角公式計(jì)算即可.（2）由余弦定理可知18=（b+c）2-3b?c,再用S.ABC=必+<代4

得到尻仁萬+c,兩式結(jié)合求出兒=6,再用面積公式計(jì)算即可.

【詳解】（1）法1:由余弦定理可知（3及）2=c?+（2百）2一2?26ccosg,

c1-2\f3c-6=0,/.c=\/3±3?又c>0?:.c=++3>

c_3、反“，7

由正弦定理知：^="T'sinC=V2+V6.

sm§4

AC_3>/2.D_6

法2:因4c=26,由正弦定理知：萩=—T'

sin—

3

vAC<BCf:.B<A=-f:.B=

34

「?//a一〃百上13V2+V6

sine=sin（J+B）=sin/lcosi?+cosJsini?-----------+------------------------.

'/22224

（2）由條件知：由余弦定理可知（3夜）2=。2+/）2-2.兒°405三，

18=C24-Z?2-/>-G18=（Z?+C）2-3/?-C0

,**S&ABC=SdABD+SjCD，

ACsinZBAC=-AB-4DsinNB4D+-AD-ACsinZDAC,

222

222222

:.bc=b+c②

由①②得方。=6,

?s_1入?一1/石_36

??S——bcsiru4——?o-.

2222

17.（1）證明過程見解析

⑵當(dāng)

4

【分析】（1）連接交4c于。，利用三角形中位線定理，結(jié)合線面平行的判定定理進(jìn)行

證明即可；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合異面直線所成角定理、直楂柱的性質(zhì)、余弦定理、同角的三角

答案第8頁，共13頁

函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）連接力&交4。于o,

在直三棱柱48C-44G中，所有棱長均為4,

因此四邊形力4G。是正方形，所以。是4G的中點(diǎn)，而。是48的中點(diǎn),

因此有OO//AC，而OQ二平面Ago平面4",

所以8CJ/平面4。。；

B

（2）由（1）可知：OD//BCit

因此異面直線4。與3G所成角為N4。。（或其補(bǔ)角），

因?yàn)?4GC是正方形，所以4O=；4C=Jj42+4?=2五,

在直三校柱月6C-46c中，所有棱長均為4,

因此四邊形BB￡C是正方形，因此有0D=；B3=,"2+42=2^2,

在直三棱柱44。-44G中，側(cè)棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直線,

2

244-^x4^=2后,

因此有A{D=yjA^+AD

■Tffl-rA-n//C/、8+20-8

由余弦定理可知：cosZ.ADO=----7=---『=――,

{2x2班x2下4

因止匕sinAAfiO=-cos2AA.DO==手.

18.（1）證明見解析;

⑵續(xù)

答案第9頁，共13頁

(3)8/>='4或:5.

。J

【分析】(1)根據(jù)面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；

(2)過A作力8c于點(diǎn)0,連接歹0,可證得4c_1_尸。，即/尸是二面角A-AC-b的

平面角，結(jié)合立體幾何的圖形關(guān)系，即可求得；

(3)通過證明，可得/APG是直線XP與平面8CE所成角，在直角\7回。中，可求得

AG二半,所以4>=告，在“8E中，設(shè)8P=x,結(jié)合余弦定理即可求解.

S3

【詳解】(1)過A作力。于點(diǎn)O,在等腰梯形48CQ中，，48=2,BC=4,

可得30=1,所以N/3C=6(r,所以力8，力。，

又平面力。后廠為正方形，所以4尸_L4)

又平面力。七/"L平面相C。，旦平面力斤A平面48。。=AD,

所以力產(chǎn)_1平面4BC。，所以《產(chǎn)J_/C,

又AB1AC,AFnAB=A,4C_L平面

二.平面力8/_L平面"C；

(2)過A作4O_L8C于點(diǎn)O,連接R?,

vAFABCD,AF1BC,

又?.?40_L4C,AFr>AO=A1/.BC_L平面力產(chǎn)。，/.BCA.F0,

NFOA是二面角4-BC-/的平面角.

4F2

在直角中，AF=2,40=6,得tan/H%=F=F，

AOJ3

(3)TBCJ"平面月產(chǎn)O,???平面彳尸0_L平面8CE,

過A作/1G_LbO于點(diǎn)G,連接PG,

?平面力/O_L平面8CE,平面//Oc平面5CE=R9,AG1FO,力G_L平面ACE,

答案第10頁，共13頁

:"APG是直線AP與平面BCE所成角，sinZJPG=—=—

AP14

在直角V/1R9中，AF=2,40=百，得4G=辛，二.力P=2,

V73

4V2I

在七中，AB=2,AE=26，BE=4,AP=-f設(shè)8P=x,得口_3_,g,

44x

on4545

即Y-3X+M=0,解得I=?或+，即8夕=?或

/JJJJ

19.(1)(i)證明見解析；(ii)巫.

3

(2)1

【分析】(1)(i)利用勾段定理求證4再利用線面垂直的判定定理求證即可：

(ii)