浙教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《第四章相似三角形》單元測(cè)試卷帶答案

學(xué)校:進(jìn)級(jí)：姓名：考號(hào)：

總分：120分時(shí)間：90分鐘

一.單項(xiàng)選擇題（每小題4分，滿(mǎn)分4。分）

題號(hào)1345678910

答案

I.下列各組圖形其中的一個(gè)可以看作是另一個(gè)放大或縮小得到的是（）

人OOB.長(zhǎng)心C.在會(huì)D.畬畬

2.的三邊長(zhǎng)分別為應(yīng)、M、2MA5C的兩邊長(zhǎng)分別為1和石，如果△ABCS/WB，。,

那么△A7TC的第三邊的長(zhǎng)應(yīng)等于（）

A.*B.2C.&D.272

3.下列說(shuō)法正確的是（）

A.位似圖形中每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線(xiàn)必互相平行

B.兩位似圖形的面積比等于位似比

C.位似多邊形中對(duì)應(yīng)對(duì)角線(xiàn)之比等于位似比

D.位似圖形的周長(zhǎng)之比等于位似比的平方

4.若則，的值是（）

b4b

5.回ABC和0ABU是相似圖形，且對(duì)應(yīng)邊AB和A?的比為1：3,則0ABe和MVBC的面積之

比為（）

A.3：1B,1：3C.1：9-D.1：27

6.如圖，在，A8C中，DF"EG/，BC,且AD=DE=EB,LABC被DF、EG分成三部分，

且三部分面積分別為S，邑，S3,則S/：邑：§3=（）

B.工:2:3C.i:3:5D.i：4：q

第6題圖第7題圖第8題圖

7.如圖，要使3c80,則下列選項(xiàng)中不能作為條件添加的是（）

第1頁(yè)共16頁(yè)

A.8C2=BPD6AB.DARBCDC.AC2=ADUABD.NBDC=ZACB

8.如圖，。是:./WC的重心，則下列結(jié)論正確的是（）

A.2AD二DEB.AD=2DE

C.3AP=2PED.AP=3PE

9.如圖，兩條直線(xiàn)被三條平行線(xiàn)所截，AB=2,BC=3,則三：等于（）

第9題圖

第10題圖第12題圖

10.如圖，。是等邊△ABC邊上的一點(diǎn)，且AD=1,BD=2,現(xiàn)將l/WC折疊，使點(diǎn)C

與點(diǎn)。重合，折痕為EF,點(diǎn)、E、b分別在AC和BC上，若BF=L2,則CE的長(zhǎng)為

12

D.

T

二.填空題（每小題5分，滿(mǎn)分20分）

a+bb+cc+a

H.若=k,則％=

b

12.如圖，在VABC中，點(diǎn)。、E分別在邊84、C4上，DE//BC,如果80=24）,那么

S謝------,

13.如圖，在VA3C中，NBAC=90。,A8=AC,點(diǎn)Q,￡分別在BC,AC上，且NA8E=NC4。,

若8。=卡，CQ=&，則EC的長(zhǎng)度是.

14.如圖，矩形A8C。中，點(diǎn)。在邊AO上，PD=2AP,連接CP并延長(zhǎng)，交朋的延長(zhǎng)線(xiàn)

BF

于點(diǎn)E,連接8。交CP于點(diǎn)。.則7A的值為

第13題圖

第14題圖

第2頁(yè)共16頁(yè)

三.解答題(共6小題，總分60分，每題須有必要的文字說(shuō)明和解答過(guò)程)

15.小明復(fù)習(xí)了四邊形后，對(duì)四邊形的翻折進(jìn)行了探究：

已知，點(diǎn)￡為四邊形ABCD邊CD上一點(diǎn),將VADE沿AE折疊，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F,射線(xiàn)A/

交四邊形A8CO的邊于一點(diǎn)P.

⑴若點(diǎn)E是邊CO的中點(diǎn).

①如圖I,若四邊形ABCD為正方形，求證：PC=PF；

②如圖2,若四邊形A8CD為菱形，/。=120。,4。=4,求PC的長(zhǎng)；

(2)若四邊形人88為矩形時(shí)，AR=3,RC=6t點(diǎn)E為CD的三等分點(diǎn)，求尸尸的長(zhǎng).

16.如圖，已知：在矩形A8C。中，N3AO的平分線(xiàn)分別與邊8。及邊。C的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于

點(diǎn)E、F,G為石尸的中點(diǎn)，連接。G.

⑴如果"=2,3C=4,求△4DG的面積；

(2)連接/切，求NB/X；的度數(shù).

17.如圖，在菱形A8C。中，4B=5,3。=6.點(diǎn)尸是邊AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)。尸、A8交于

點(diǎn)、E,BG平分/CBE交DE于點(diǎn)G.

⑴求證：ZDBG=90°.

(2)求菱形ABC/)的面積.

⑶求BG的長(zhǎng).

第3頁(yè)共16頁(yè)

18.已知NCOQ=90。，尸是NC8平分線(xiàn)上一點(diǎn)，E4J.OC于點(diǎn)A,PBLOD于點(diǎn)、B.

⑴如圖1,求證：四邊形OA相是正方形.

⑵如圖2,點(diǎn)M在線(xiàn)段Q4上，連接?”，過(guò)點(diǎn)尸作"A/_L/W交射線(xiàn)OA于點(diǎn)N,求證：

OM+ON=2PA.

⑶點(diǎn)M在線(xiàn)段04上，連接PM,過(guò)點(diǎn)P作PN工PM交射線(xiàn)。“于點(diǎn)N,射線(xiàn)NM與射線(xiàn)P0

OP

相交于點(diǎn)尺若0N=30M,求左的值.

OF

(4)點(diǎn)M在線(xiàn)段AO的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接PM,過(guò)點(diǎn)P作PNJ.PM交射線(xiàn)OB于點(diǎn)N,射線(xiàn)NM

與射線(xiàn)P。相交于點(diǎn)尸，若ON=3OM,AO=4,求線(xiàn)段尸產(chǎn)的長(zhǎng).

19.如圖，四邊形A8CD是圓O的內(nèi)接四邊形，連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)、E

(1)求證：-ABEsjJDE

(2)若A6=AC,乙4石8=90。.

①求證/BACNNCAO.

②當(dāng)空=逅時(shí).，求空的值.

BC2CD

20.實(shí)踐與操作：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、點(diǎn)。的坐標(biāo)分別為(1,3),(3,2).

(I)以點(diǎn)。為位似中心，相似比為3:1,在x軸的上方畫(huà)出△OA3放大后的△QAZT

(2)&的坐標(biāo)為

(3)若點(diǎn)?(，〃,〃)是△Q4B內(nèi)任意一點(diǎn)，則位似變換后對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為

參考答案

一、選擇題

題號(hào)12345618910

第4頁(yè)共16頁(yè)

答案B1cle1cle1cle|B|B1c

二、填空題

II.-1或2

【分析】本題考查的是比例的基本性質(zhì)，掌握“比例的等比性質(zhì)”是解本題的關(guān)鍵.分兩種情

況討論：a+b+c=O與時(shí)，再進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：若a+〃+c=O,則a+〃=-c,b+c=-a,c+a=-b,

n_1.—C—Cl-b.

此時(shí)，k=—=--=—=-1,

cab

若〃+。+*0,則仁立=止=乎=〃""廠(chǎng)*'4=2,

caba+b+c

綜上所述，2的值為-1或2.

故答案為：-1或2.

【分析［本題考查相似三侑形的判定和性質(zhì)，利用平行線(xiàn)證根據(jù)相似三

角形面積的比等于相似比的平方求解即可.

【詳解】.：BD=2AD,

???AB=AD+BD=3ADt

DE//BC,

JAADE^ABCt

?-=（四）2=（』￡）』%」

**SA8CAB3AD39'

故答案為：

13.正玉6

33

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形.過(guò)

點(diǎn)。作CE_LAC交A。的延長(zhǎng)線(xiàn)于R判定VABC是等腰直角三角形，得到A8=4C=G+I,

判定$C。尸推出三=器二十，求出。尸=當(dāng)口

判定8AEgqAB（ASA）,

得到/\￡=。/=當(dāng)口，即可求出C￡的長(zhǎng).

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CF_L4C交A。的延長(zhǎng)線(xiàn)于F,

VZBAC=90°,AB=AC,

???VA4C是等腰直角三角形，

AB=AC=與BC=*（BD+CD）,

，：BD=瓜,CQ=&,

???AB=AC=45+l,

VCF1AC,ABJ.AC,

：.CF//AB,

第5頁(yè)共16頁(yè)

：?_CDFs..BDA,

.CFCD411

ABBD瓜73

?a6+3

??CF=--------,

3

ZABE=ZCAD,AB=AC,/BAE=ZACF,

ME^..ACF（ASA）,

?Ac廠(chǎng)匚G+3

??AE=CF=-------，

3

??CE=AC-AE=----

3

故答案為:空

14-1

RF

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)'先根據(jù).."Ps..破,求出而'

再根據(jù)矩形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：/P￡）=2AP,

AD=3AP,

??,四邊形"CO是矩形，

:.AD=BC,AB=CD,ADfBC,

..AC=3”，AEAP^AEBC,

BEBC「

-----=------=3,

AEAP

:.HE=3AEt

..AB=2AE,

3

BE=±AB,

2

,,,,BE3

即一=一，

AB2

?;AB=CD,

BE3

?-----=—

"CD2'

3

故答案為：

三、解答題

Q

5(1)①見(jiàn)解析；②三

J

12

⑵PF=行或1

【分析】(1)①如圖，連接律根據(jù)菱形的性質(zhì)得到NQ=NC=90。，得到。E=EC,根據(jù)

第6頁(yè)共16頁(yè)

折疊的性質(zhì)得到ZD=ZAFE=90°,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PC=P/7,

②如圖，延長(zhǎng)AE交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)A作交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M,根

據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD//BC,求得4DAE=/N,由翻折可知ZDAE=ZEAF,得到/PAN=NN,

求得尸A=0V,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AZ)=CN,得到PC=Pr,設(shè)PC=夕產(chǎn)=人則

Q

BP=4-x,AP=4+x,在RMA8W中，ZABM=60"根據(jù)勾股定理得到PC=g；

(2)⑴當(dāng)。E=gc。時(shí)，如圖，可知DE=M=1,AD=AF=6,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

得到P￡F=煞FF=9I即依＞=6弘，根據(jù)勾股定理得到勿二19;

fDADo35

⑹當(dāng)CE=；CQ時(shí)，如圖.過(guò)點(diǎn)尸作MN〃/C,與AB,QC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)M,N,設(shè)

BM=CN=X,求得DE=EF=2,AO=A"=6根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論.

【詳解】(1)(1)①證明：如圖，連接叱

四邊形A8CO為正方形

.ZD=ZC=90°,

,點(diǎn)E為CO的中點(diǎn)，

.DE=EC,

將^AOE沿4E折疊，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為產(chǎn),

DE=EF,ND=NA“E=9()。,

;EF=EC,NC=NE尸產(chǎn)=90。，

./?/△EFP=RtL￡CP(HL),

??,PC=PF,圖|

②解：如圖，延長(zhǎng)AE交8C的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)A作AM_LAC,交C3的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M,

四邊形A4C。為菱形，

AD〃BC,

：.NDAE=/N,

由翻折可知NQ4E=N￡4E,

/.4PAN=4N,

:.PA=PN,

YDE=EC,AD//BC,

：.ZDAE=ZNtZD=NECN,

?DAE^^CNE(AAS),

：.AD=CN,

:.PA-AF=PN-CN,

即PC=/Y\

設(shè)PC=W=x,貝IJ80=4-x,AP=4+x,

在RMAfiM中，ZABM=60。，

BM=2,AM=243,

在RtaAAM中，由勾股定理可得4用2+自0=A尸,

即(2百)2+(6-X)2=(4+X)2,

第7頁(yè)共16頁(yè)

解得X=丁

/.PC=-：

5

(2)解：⑴當(dāng)OE=：CZ)時(shí)，如圖，可知力E=EF=1,AD=AF=6,

RtAPEFsRgPAD,

PFEF1

PDAD6

即產(chǎn)￡>=6〃/，

在Rt△A。尸中，AD2+PD2=AP2，

即6+(6。/)2=(6+P")2,B

解得：呼=注12

(用當(dāng)CE=-CD時(shí),如圖.

3

過(guò)點(diǎn)尸作MN〃〃C,與A〃，。。的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)M,N,設(shè)BM—CN—x,

:.DE=EF=2,AD=AF=6

由“K”字型相似可得△AMFSAFNE,

-E----F---...E....N....4t

AFMF

解得腕=3x+3,

在AA/F中,由勾股定理得(3+x)2+(31+3)2=62,

3

解得N=M*2=-3(舍去)，

1?,BP〃MF,

AB_AP

3

即3PF=g(6-P尸)，

解得PF=1,

綜上所述，戶(hù)尸=912或1.

35

16.(1)6

(2)45°

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定、矩形、正方形的

性質(zhì)和判定、角平:分線(xiàn)的定義、等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

(1)過(guò)G作G〃_L4￡＞于〃，交BC于M,證明一尺石，根據(jù)角平分線(xiàn)和矩形的對(duì)

邊平行得：。尸=40=4,并求出。/，由▲AG〃S“VT),列比例式求力G的長(zhǎng)，代入面

積公式可得結(jié)論；

第8頁(yè)共16頁(yè)

(2)證明..3MG之.ONG,推出8GO是等腰直角三角形，即可求解.

【詳解】(1)解：如圖，過(guò)G作G”_LAP于〃，交BC于M,

???四邊形48co是矩形，

A>451|CD,AD=BC=4,DC=AB=2,

，ZBAE=ZAFD,

?/A/平分NBA。，

ZBAE=ZFAD,

/.ZAFD=Z.FAD,

/.—A￡>-4,

：.CF=DF-DC=4-2=2,

???AB=CF,

VZAEB=ZFEC,NBAE=ZAFD,

在_他七和sPCE中，

NAEB=NFEC

/BAE=ZAFD,

AB=CF

A_ABE^*FCE(AAS),

：-AE=EF,

???G是石尸的中點(diǎn)，

???EG=GF=-EF,

2

.AG3

??=9

AF4

?:GHDF,

AZ.AGHs_AFD,

.GHAG

',~DF~~AF'

.GH3

??---=—，

44

:,GH=3,

:，SADG=gx4x3=6；

(2)解：如圖，過(guò)G作GN工DF于N,連接CG,

*/ZGHD=ZHDN=4GND=90°,

???四邊形"GN。是矩形，

:.DH=GN,

在RhECF中,N尸=45。，

，一反尸是等腰直角三角形，

：G是E/的中點(diǎn)，

:.CG1EF,

VZF=45°,

???ZFCG=45°,

第9頁(yè)共16頁(yè)

，NCGN=45。，

:.GN=NC,

，四邊形MGNC是正方形，

:?GM=GN=CN=FN,

*/BC=AD=FD,

???BC-CM=DF-FN,

即BM=DN,

???NBMG=NGNC=90。,

在.3MG和DNG中,

BM=DN

<4BMG=/GNC=9?！?

MG=GN

:.BMGqDNG(SAS),

???BG=DG,

4BGM=4DGN,

???/BGM十NMGD-NDGN十4MGD,

即N8G0=9O°,

???5G力是等腰直角三角形，

，ZBDG=45°.

17.(1)見(jiàn)解析

⑵24

【分析【本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與相似三角形的性質(zhì)，正確

地添加輔助線(xiàn)是解題的關(guān)健.

(1)連接AC交6。于點(diǎn)〃，由菱形的性質(zhì)得A8=C8,BDA.AC,則

NCBD=NABD=工NABC,而NCBG=NEBG=L/CBE,所以

22

Z.DBG=NCBD+/CBG=；(ZABC+ZCBE)=90°:

(2)由80=6,得BH=DH=LBD=3,由ZA”8=90。，AB=5,求得C〃=AW=4,

2

則AC=1AH=8,所以Sw”=gAC?=24：

(3)設(shè)。〃交。尸于點(diǎn)M,證明_6叩會(huì)eCFM,則BG=CM,證明4。，例。4。4。得出

HM=；BG,進(jìn)而根據(jù)CH=4,得出C"=；8G+8G=4即可求解.

【詳解】(1)證明：連接AC交于點(diǎn)〃，

,四邊形ABCD是菱形，

/.AB=CB,BDA.AC,

/CBD=ZABD=-AABC,

2

第10頁(yè)共16頁(yè)

延長(zhǎng)。/、A3交于點(diǎn)E,BG平分/CBE交DE于點(diǎn)、G,

NCBG=NEBG=-NCBE,

2

4DBG=NCBD+NCBG=g(/A8C+NC8E),

ZABC+ZCBE=180°,

/./O8G=90。.

(2)解：vAB=5,80=6,

/.BH=DH=-BD=3,

2

.ZAHB=90°,

CH=AH=JAB2-BH?=152-32=4,

/.AC=2AH=S,

S奏形Me=gAC8O=；x8x6=24,

???菱形A8CO的面積為24.

(3)解：設(shè)C“交D”于點(diǎn)M,

ZDBG=ZDHC=90°,

BGCH,

:"BGF=/CMF,

在一5%和二CFM中，

ZBFG=NCFM

,ZBGF=ZLCMF,

BF=CF

BFG^_CEW(AAS),

.?.BG=CM,

?:BGCH

，DHMsDBC

.HMPH\

^~BG~~DB~2

，HM」BG

2

又丁13G=CM

:,CH=LBG+BG=4

2

BG=-.

3

18.(1)見(jiàn)詳解

(2)見(jiàn)詳解

第11頁(yè)共16頁(yè)

(4)PF=1072

【分析】(1)依題意畫(huà)出圖形即可，證明四邊形。APB是矩形，再由角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到

PA=PB,即可證明；

(2)根據(jù)題意可證明△/1尸M絲0N,得出AW=BN,然后利用線(xiàn)段的和差關(guān)系以及等

量代換即可得證；

(3)延長(zhǎng)NM,%相交于點(diǎn)G,可證明2MG絲.OMN,則4G=ON,根據(jù)已知條件和(2)

中結(jié)論，表示出各線(xiàn)段長(zhǎng)度，證明-ON/s產(chǎn)后，利用相似三角形性質(zhì)列比例式求解即可

(4)延長(zhǎng)PB交MN于點(diǎn)、H,可證△APMZZXB尸N,可求出OMOM長(zhǎng)度，利用

.BHNs.OMN,QMFs.PHF,由對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例可求得線(xiàn)段長(zhǎng).

【詳解】(1)證明：???NCOD=90。，PA1OC,PBLOD,

:"COD=ZOAP=40BP=90°,

二四邊形0408是矩形.

?.?A是/C8平分線(xiàn)上一點(diǎn)，

:.PA=PB,

???四邊形049是正方形；

(2)由(I)知四邊形OAP8是正方形，

：.OA=AP=PB=OB,Z4PB=90°.

m±PM,

；./MPN=90。，

ZAPM=NBPN=90°-4MPB,

又NWW=NP8N=90。，AP=BP,

.uAPM^8PMASA),

AM=BN、

"OM+ON=OM+BN+OB=OM+AM+OB=2PA；

(3)如圖1,延長(zhǎng)NM/A相交于點(diǎn)G,

.ON=3OM,

.一.設(shè)(W=x,則ON=3x,

由(2)知OM+ON=2PA,

AO=PA=2x,

:.AM=AO-OM=x=OM.

?/ZMAG=AMON=90°,ZAMG=4OMN、

.hAMg^OMN,圖1

/.AG=ON=3x.

四邊形QAM是正方形，

:.APOB,

:.△ONFs/\PGF,

,OFON=3x=3

~PF~~PG~3x+2x~5f

.OP5+38

■OF"-"3；

(4)如圖2,延長(zhǎng)即交歷N于點(diǎn)兒

由(1)知四邊形QAP8是正方形.

.\OA=AP=PI3=OI3,Z4PB=90°,啊AO.

?：PNLPM,

第12頁(yè)共16頁(yè)

/.ZAPM=ZBPN=90°-/MPB.

又NPAM=ZPBN=舒,AP=BP,

:.△APM94BPN,

:.AM=BN,

:.ON-OM=OB+BN-OM=AO+AM-OM=AO+AO=2AO=S.

?；ON=3OM,

:.OM=4,ON=V2.

???PB\AO,

:.△BHNSAOMN,

,BH_BNBH_8

"~OM~~ON，

?AH—8

??on——.

3

PBAO,

:.△OMFSNHF,

,OFOM=4=3

"~PF~~PH~T~^~~5

4H---

3

5

--P--F-=—

OP2,

又。尸=&。4=4立，

:.PF=-OP=\Oy/2.

2

19.(1)見(jiàn)解析

⑵①見(jiàn)解析；②叵

【分析】(1)由同弧所對(duì)的圓周角相等得出Z73AE=NCDE,由對(duì)頂角相等得出

ZA￡B=NC￡D進(jìn)而得出ABE^.CDEx

(2)①設(shè)NC4O=a,過(guò)點(diǎn)A作AbJ_8c于點(diǎn)八利用等腰三角形的性質(zhì)與同弧所對(duì)圓周

角相等可得：ZACD=ZABD,ZADE=90°-a,ZABC=ZAL)B=90°-a,再利用三角形

的內(nèi)角和定理即可求證；

②設(shè)AB=AC=瓜k,BC=2k(k>0),則BF=FC=k,由此可得AF=\lAI32-I3F2=小k，

4Ev

由(1)可知一設(shè)相似比為=二，］§：AE=x,EC=y,則x+)，=AC=^,

CEy

由相似三角形的性質(zhì)可得：黑=第=與，可解得。。=幽1,在Rt.ABE和Rt-C8E中，

CDCEyx

利用勾股定理可得(x-y)l：x+y)=2公，則=?,聯(lián)立方程解出X、兒在RL.AEZ)中，

設(shè)DE=m,由“BEscCOE得：BE=2m,由勾股定理可得

A￡>=?,由此即可求解出空的值.

2CD

【詳解】(1)證明：BC=BC，

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:"BAE=NCDE,

又；ZAEB=2CED,

.e...ABEs.CDE；

(2)①證明：設(shè)NCU>=a,過(guò)點(diǎn)A