【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)(新高考通用)

第46講直線與拋物線(精講)

題型目錄一覽

①直線與拋物線的位置關(guān)

系

②拋物線中的弦長問題

③拋物線中的中點弦問題

一、知識點梳理

1.直線與拋物線的位置關(guān)系

①若存0,當(dāng)△>()時，直線與拋物線相交，有兩個交點；

當(dāng)△=()時，直線與拋物線相切，有一個交點；

當(dāng)△<()時，直線與拋物線相離，無交點.

②若40,直線與拋物線只有一個交點，此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.

因此直線與拋物線只有一個交點是直線與拋物線相切的必要不充分條件.

2.拋物線的弦長

當(dāng)直線的斜率存在時，斜率為女的直線/與拋物線C相交于

3.拋物線的中點弦

4.拋物線的切線

【常用結(jié)論】

2

(1))'1)攵=_p2,X\X2=^

(2)(2)弦長A4=黑

dillCA

(5)以48為直徑的圓與準線相切.

(6)焦點/對A,8在準線上射影的張角為90。.

二、題型分類精講

題型一直線與拋物線的位置關(guān)系

⑨■策略方法

研究直線與拋物線的位置關(guān)系與研究直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系的方法類似，一般是用方

程法，但涉及拋物線的弦長、中點、距離等問題時，要注意“設(shè)而不求''”整體代入、點差法”以

及定義的靈活應(yīng)用.

【答案】D

【詳解】因為線段OP的垂直平分線交交C于A8兩點，

故選：D

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】求出拋物線的焦點坐標、準線方程，設(shè)出直線尸Q的方程，與拋物線方程聯(lián)立并結(jié)合拋物線定義求

解作答.

故選：D

【答案】A

故選：A.

【答案】C

【詳解】過點M作MA，）'軸于點A,交拋物線的準線于點8,

故選：C

A.{0}B.{1}C.{0,1}D.{1,2}

【答案】B

所以直線/與拋物線只有一個公共點,

綜上，直線/與拋物線公共點個數(shù)的可能值構(gòu)成的集合為{1},

故選：B

C.1D.2

【答案】C

由直線AK與拋物線相切得,

C.3

2

【答案】C

故選：C.

A.48B.24C.12D.36

故選：c

A.60°B.45°C.30°D.15°

B.以PQ為直徑的圓與準線/相切

【答案】D

所以尸。為直徑的圓與準線/相切，故B正確;

D.1

32

【答案】A

故選：A

A.2B.p2C.2P2D.4P2

2

【答案】B

如圖，設(shè)準線與1軸的交點為M,

二、多選題

【答案】AC

【分析】求出拋物線的焦點坐標，設(shè)出直線/的方程，并與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理及拋物線定義逐

項分析判斷作答.

【答案】ACD

故選：ACD

【答案】AD

【詳解】工

又過點K的直線/與拋物線C交于不同的兩點仞、N,

對于選項B：若點Q為MN中點,

故選：AD.

A.平行于x軸

B.若直線/過拋物線的焦點尸，則點，?定在拋物線的準線上

【答案】ABD

證明如下：

故選：ABD.

故答案為尚.

【答案】|

故答案為：

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標表示公式進行求解即可.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求出拋物線的切線方程.

【答案】73

故答案為：瓜

設(shè)A,8,M在準線上的射影分別是A,B1,N,

故答案為：8

解析幾何簡化運算的常見方法：

（1）正確畫出圖形，利用平面幾何知識簡化運算;

（2）坐標化，把幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標運算；

（3）巧用定義，簡化運算.

【答案】1

故答案為：1.

【點睛】方法點睛：解決直線與圓錐曲線相交問題時常用的步驟：

（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于/（或））的一元二次方程,

（3）寫出韋達定理，

（5）代入韋達定理求解.

四、解答題

（1）求。的方程；

⑵2百

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，然后可建立方程求出P；

若■

（2）根據(jù)三角形面積公式以及重心滿足的坐標關(guān)系，化簡，即可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值.

（1）求直線0P的斜率的取值范圍；

【分析】（1）設(shè)出直線人B的方程并與拋物線方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合基本不等式求得直線

。戶的斜率的取值范圍.

（1）若直線AA的斜率為2,求直線MN的方程;

（2）求線段MN的中點E的軌跡方程.

（1）求拋物線。的方程；

(2)存在，詳見解析.

點Q關(guān)于r的對稱點Q'恒與P,N共線，則直線NP,NQ關(guān)于r對稱,

所以存在直線使得點Q關(guān)于/'的對稱點。'恒與P,N共線，

(1)求b的值；

⑵過點M的直線與曲線。交于48兩點，曲線。在4、8兩點處的兩條切線交于點P,求點P的軌跡C2；

(3)不存在，理由見解析

【分析】(1)聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)弦長公式即可結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值求解，

<2)求導(dǎo)得切線方程，聯(lián)立兩條切線方程即可求解交點，即可求解，

(3)根據(jù)拋物線的定義求解N點軌跡，即可根據(jù)圖形特征，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解.

故不存在過M的直線1,使得I與Cl、1與C3的四個交點的橫坐標成等差數(shù)列.

(1)建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺讼担笄€「的方程；

【詳解】(1)解：以“為原點，以AB所在直線為十軸，以線段八口的垂直平分線為>軸，建立直角坐標系,

如圖所示，

(2)2

【分析】(1)根據(jù)拋物線定義可求解；

(2)方法一：如圖設(shè)三個頂點有兩個在y軸的右側(cè)(包括＞軸),

(1)求拋物線c的方程;

⑵證明見解析

(1)求拋物線。的方程;

⑵證明見解析

【分析】（1）利用梯形的中位線的性質(zhì)得到尸。的中點到準線的距離，從而列方程求解;

題型二拋物線中的弦長問題

策略方法

有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接

使用公式|A陰=X|+l2+p（焦點在X軸正半軸），若不過焦點，則必須用弦長公式.

A.3B.2GC.75D.立

2

【答案】C

不妨設(shè)的傾斜角為銳角，過A3分別作拋物線準線的垂線，垂足分別為4,四，

故選：C.

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

【答案】D

【分析】設(shè)出直線/的方程，聯(lián)立拋物線方程，設(shè)出A8坐標，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)弦長列出方

程，求出答案.

D.4

A.3B.2x/3c.6

【答案】C

不妨設(shè)A3的傾斜角為銳角，過AB分別作拋物線準線的垂線，垂足分別為A，片,

故選：C.

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的定義，以及三角形的性質(zhì)，即可求解.

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

由題意可得直線/與拋物線C1必有2個交點,

故選：C.

A.2B.3C.4D.6

【答案】B

即線段P。中點的橫坐標為3,

故選：B.

A.16B.26C.14D.24

【答案】A

故選：A.

【答案】D

【答案】C

【答案】B

【詳解】直線A4的斜率為傾斜角為

【答案】B

故選：B

【答案】D

【詳解】過A作AM垂直于準線為M

【分析】先判斷直線/的斜率存在，然后設(shè)出直線/的方程并與拋物線方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系,

結(jié)合弦長求得直線/的方程與傾斜角，求得P點、。點的坐標，進而求得歸。|.

故選：D

二、多選題

【答案】ABD

【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，用弦長公式可判斷A,用斜率關(guān)系可判斷B,點在拋物線外有兩條切線，

再考慮與對稱軸平行的直線，可判斷C,拋物線上的點到直線的最小距離轉(zhuǎn)化為兩平行直線間的距離可判

斷D.

故選：ABD

【答案】ABD

【分析】對于A,由直線求出D點坐標即可得：對于B、C,聯(lián)立拋物線與直線方程，求出A、B點坐標即

可得；對于D,求出直線AF的方程，進而求出E點坐標，用兩點距離公式即可.

故選：ABD

【答案】ACD

故選：ACD.

【答案】AD

故選：AD.

三、填空題

25

【答案】v

O

【分析】由題意求出A點坐標，由于直線A4過焦點，利用點斜式方程求出直線A4方程，聯(lián)立拋物線方程,

由韋達定理求出點B坐標，利用兩點間的距離求出|4即即可.

【答案】6

故答案為：6.

【答案】2

故答案為：2

【答案】5

故答案為：5.

3

故答案為：-

【答案】46

故答案為：4G.

【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：

一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；

二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函

數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值.

四、解答題

(1)求拋物線的方程:

⑵士1

【分析】(1)根據(jù)拋物線的準線方程求出〃得解;

（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式建立方程即可得解.

（2）如圖，

（1）求拋物線C的準線方程：

（2）2

（2）先設(shè)直線再聯(lián)立方程組求出兩根和和兩根積，再應(yīng)用兩點旬距離公式計算可得.

⑴求

【答案】（1）2

⑵32

（2）求出直線EG的方程，聯(lián)立拋物線方程可得根與系數(shù)關(guān)系式，求出陀勺，根據(jù)四邊形面積的計算可得

答案.

⑴求P;

【分析】（1）利用直線與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線和拋物線方程求出弦長即可得出P;

【點睛】本題解題關(guān)鍵是根據(jù)向量的數(shù)量積為零找到〃?，〃的關(guān)系，一是為了減元，二是通過相互的制約關(guān)

系找到各自的范圍，為得到的三角形面積公式提供定義域支持，從而求出面積的最小值.

（1）求拋物線的方程；

【分析】（1）首先直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理表示弦長，即可求解；

（1）求拋物線。的方程；

(2)記拋物線C的焦點為尸，過點尸作直線/與直線PF垂直，交拋物線。于A,3兩點，求弦A8的長.

(2)36

(1)求拋物線。的方程；

⑵32

【點睛】思路點睛：求直線與圓錐曲線的相交所形成的三角形或四邊形的面積(范圍)時，基本思路為：聯(lián)立

直線與圓錐曲線方程，結(jié)合韋達定理及弦長公式求解即可.

(1)求拋物線「的方程：

(2)設(shè)C、。是拋物線「上異于A、8兩點的兩個不同的點，直線AC、8。相交于點E,直線A。、BC相

交千點G,證明：E、G、K三點共線.

⑵詳見解析.

（2）如圖所示：

(1)求P；

【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：

一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；

二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函

數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值.

⑴求拋物線E的方程；

⑵拋物線上有一條長為6的動弦長為6的動弦AB,當(dāng)AB的中點到拋物線的準線距離最短時，求弦AB所

在直線方程.

【分析】（D根據(jù)拋物線的定義結(jié)合條件求解即可；

（2）根據(jù)拋物線弦長公式，結(jié)合點到直線距離公式、基本不等式進行求解即可.

【詳解】（1）???H縱坐標為5,不妨設(shè)在第一象限內(nèi)，

???當(dāng)先最小時，AB的中點到準線的距離最短.

【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合拋物線弦長公式、基本不等式是解題的關(guān)鍵.

(1)求拋物線C的標準方程；

【分析】(1)聯(lián)立直線與拋物線方程，利用弦長公式列式可求出結(jié)果；

【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線3和Q8的方程，再聯(lián)立得。的坐標是解題關(guān)鍵.

【答案】⑴0

題型三拋物線中的中點弦問題

⑨'策略方法

【典例1】(單選題)直線一2交拋物線卡=8x于4,8兩點，若/W中點的橫坐標為2,則太=()

A.2或一2B.2或一1

C.2D.3

【答案】C

【分析】將直線方程與拋物線方程聯(lián)立利用韋達定理以及中點坐標公式求解.

故選：C.

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

A.-4B.4C.--D.

44

【答案】A

【分析】利用點差法求解即可.

故選：A

9318

A.-B.-C.3D.

52

【答案】C

故選：B.

【答案】B

因為直線A8的斜率為1,線段A4的中點的橫坐標為3,

故選：B

【答案】B

故選：B

【點睛】“中點弦”問題通常用“點差法”處理.

A.亞B.；C.—D.1

622

【答案】A

若直線尸Q與x軸重合，則直線PQ與拋物線C只有一個公共點，不合乎題意，

故直線Mr斜率的最大值為它.

6

故選：A.

34

A.-B.-C.3D.4

23

【答案】D

弦AB的中點M的橫坐標為-?,

0

由已知條件可知直線AB的斜率存在.

故選：D

【答案】A

故選：A.

A.；B.BC.GD.近

223

【答案】C

直線/的斜率為'，則直線MN的斜率為-加，

m

故選：C.

【答案】c

所以M在以A3為直徑的圓上.

故選：C.

【點睛】處理直線與二次曲線相交的問題：

(D“設(shè)而不求”是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決大部分直線與二次曲線相交的問題;

(2)“中點弦”問題通常用“點差法”處理.

二、多選題

【答案】AB

【分析】直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理和中點坐標可構(gòu)造方程求得乙知A正確；

將中點坐標代入直線方程即可求得〃?，知B正確；

根據(jù)直線過拋物線焦點，根據(jù)拋物線焦點弦長公式可知C錯誤；

故選：AB.

D.以線段所為直徑的圓一定與軸相切

【答案】BCD

【分析】根據(jù)拋物線的標準方程與準線方程的關(guān)系可判斷A選項的正誤;利用點差法可判斷B選項的正誤；

利用弦長公式以及三角形的面積公式可判斷C選項的正誤;利用拋物線的焦半徑公式可判斷D選項的正誤.

所以，以線段A戶為直徑的圓一定與＞軸相切，D對.

故選：BCD.

A.直線A8過焦點/時，|人⑼最小值為4

C.若AB中點M的橫坐標為3,則|4用最大值為8

【答案】ACD

【分析】對于A,由題意，過焦點，則垂直x軸時最小，可得答案；

對于B,已知直線的傾斜角，可根據(jù)拋物線焦半徑公式，可得答案；

對于C,根據(jù)三角形三邊性質(zhì)，可得不等式，由于中點坐標已知，根據(jù)拋物線定義與梯形中位線，可得答

案；

對于D,利用中點弦的斜率公式，可求得點。的縱坐標，進而求得該點的坐標，根據(jù)可以，求得人B的斜率，

同樣方法，可得點8的坐標，可得答案.

【詳解】對于A選項，直線A3過焦點尸，當(dāng)A3垂直于大軸時，|A卻取最小值4,故正確；

對于B選項，由題意，作圖如下:

故選：ACD.

【答案】ABD

故選：ABD

三、填空題

【答案】6

故答案為：6.

【答案】6

設(shè)直線/的斜率為左,

故答案為6.

【點睛】本題考查直線與拋物線相交的弦的垂直平分線問題，關(guān)鍵在于點差法以及弦長公式的運用，考查

學(xué)生的計算能力，是基礎(chǔ)題

四、解答題

(1)求拋物線C的方程;

⑴若/的傾斜角為m且過點凡求MM；

【答案】（1）16

（2）利用點差法求出/的斜率即可得答案.

⑴求曲線「的方程；