有理數(shù)的乘方與近似數(shù)

（4大知識(shí)點(diǎn)+12大典例+變式訓(xùn)練+過關(guān)檢測(cè)）

0題型預(yù)覽

典型例題一用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值大于1的數(shù)

典型例題二求一個(gè)數(shù)的近似數(shù)

典型例題三有理數(shù)幕的概念理解

典型例題四求近似數(shù)的精確度

典型例題五有理數(shù)的乘方運(yùn)算

典型例題六有理數(shù)乘方逆運(yùn)算

典型例題七算“24”點(diǎn)

典型例題八乘方運(yùn)算的符號(hào)規(guī)律

典型例題九含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算

典型例題十程序流程圖與有理數(shù)計(jì)算

典型例題H■■一乘方的應(yīng)用

典型例題十二有理數(shù)乘方的新定義運(yùn)算

嘉知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)01有理數(shù)的乘方

1.乘方的概念：一般地，n個(gè)相同的因數(shù)a相乘，記作讀作a的n次方。

求n個(gè)相同因數(shù)的枳的運(yùn)算，叫做乘方。

2.乘方的結(jié)果叫做幕（power）；石q"中，a叫做底數(shù)（basenumber）,n叫做指數(shù)（exponent）。

-^1—S?]

底數(shù)-----Cl__捻

【即時(shí)訓(xùn)練】

I.（24-25七年級(jí)上?安徽阜陽?期末）下列運(yùn)算中，正確的是（）.

A.(-2)2=-4B.-22=4C.32=6D.(-3)3=-27

【答案】D

【分析】本題主要考查有理數(shù)的乘方，熟練掌握有理數(shù)的乘方的定義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義和運(yùn)算法則計(jì)算，逐項(xiàng)判斷即可得到答案.

【詳解】解：A.(-2>=4,此選項(xiàng)錯(cuò)誤;

B.-22=-4,此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.3'=9,此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.(-3)3=-27,此選項(xiàng)正確；

故選：D.

【即時(shí)訓(xùn)練】

2.(24-25七年級(jí)上?安徽蕪湖?期中)下列各式正確的是()

43/4

A.-8-2x6=(-8-2)x6B.2^--x-=2-r-x-

34\34J

25242

C.(-lf+(-lf=-l+lD.-(-2)=-4

【答案】C

【分析】本題有理數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)有理數(shù)的四則混合運(yùn)算，乘除混合運(yùn)算，有理數(shù)乘方對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算

即可作出判斷.解題的關(guān)鍵是掌握相應(yīng)的運(yùn)算法則，運(yùn)算順序和運(yùn)算律.

【詳解】解：A.v-8-2x6=-8-12=-20,(-8-2)x6=-10x6=-60,

.?.-8-2x6^(-8-2)x6,故此選項(xiàng)不符合題意；

.43,339

B.v24-—x—=2x—x—=—,2-5--x—=2+1=2,

34448U4J

43/43、

...2+于:W2+「：,故此選項(xiàng)不符合題意；

34V34；

C.(-嚴(yán)+(-嚴(yán)=7+1,故此詵項(xiàng)符合題意:

D.-(-22)=-(-4)=4^-4,故此選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

知識(shí)點(diǎn)02有理數(shù)的混合運(yùn)算

1.有理數(shù)混合運(yùn)算法則：①先算乘方,再算乘除,最后算加減。

②如果有括號(hào),先算括號(hào)里面的。

2.混合運(yùn)算順序：-先算乘方，再乘除，后加減；

?同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；

?如有括號(hào)，先算括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行。

【即時(shí)訓(xùn)練】

1.（24-25七年級(jí)上?安徽安慶?期末）在數(shù)學(xué)課上，老師讓/、B、C、力四位同學(xué)分別做了一道有理數(shù)運(yùn)算

題，你認(rèn)為做對(duì)的是（）

A.9-32+8=0+8=0B.24-（4x32）=24-4x6=0

C.（36-12）4-1=36X|-12X|=16D.（一31《3=9+1=9

【答案】C

【分析】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算.根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則和順序計(jì)算后即可得到答案.

963

【詳解】A、9-32+8=9-9+8=9-看=”,

OO

故A不符合題意：

B、24-（4x32）=24-4x9=24-36=-12,

故B不符合題意；

322

C、（36-I2）^j=36x--12x-=l6,

故C符合題意；

D、（-3＞」x3=9」x3=9x3x3=81,

v733

故D不符合題意；

故選：C.

【即時(shí)訓(xùn)練】

2.（24-25七年級(jí)上?安徽馬鞍ill?期中）為了求1+2+2?+23+…+2?。的值，可令S=1+2+2?+2?+…+2?°,

則2s=2+2?+23+…+2匕因此2S-S=2"-1所以1+2+22+2?+…+22°=221-1,仿照以上推理，計(jì)算

1+5+52+53+-.-+52025=（）

C.獷一）D./叫）

A.52025-1B.52024-1

【答案】C

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，讀懂題目信息，理解求和的運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題目信

息，設(shè)5=1+5+52+53+…+523+520”，求出5S,然后錯(cuò)位相減計(jì)算即可得解.

【詳解】解:設(shè)S=l+5+52+53+…+52024+5必,貝！15s=5+52+53+54…+52026,

.*.55-S=52026-h

232O252O26

...l+5+54-5+...+5=l（5-l）,

故選：C.

知識(shí)點(diǎn)03科學(xué)計(jì)數(shù)法

（1）把一個(gè)大于10的數(shù)記成"Xi。"的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)（即1"同<10）,n是正整

數(shù)，這樣的記數(shù)方法叫科學(xué)記數(shù)法。

（2）把“X10"還原成原數(shù)時(shí)，只需把a(bǔ)的小數(shù)點(diǎn)往前移動(dòng)n位。

【即時(shí)訓(xùn)練】

1.（2025?安徽滁州?模擬預(yù)測(cè)）用電量被視為經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的“風(fēng)向標(biāo)”之一.國家能源局最新公右的數(shù)據(jù)顯示,

今年前三季度，全社會(huì)用電量累計(jì)約74000億千瓦時(shí)，同比增長(zhǎng)7.9%.傳統(tǒng)產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級(jí)，新興產(chǎn)業(yè)蓬勃

發(fā)展，新興生產(chǎn)力加快形成，多項(xiàng)電力指標(biāo)折射出經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的新動(dòng)能、新趨勢(shì).數(shù)據(jù)74000億用科學(xué)記數(shù)法

表示為（）

A.7.4xlO4B.0.74x10sC.7.4xlO12D.7.4x10s

【答案】C

【分析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為“xlO",其中1<|a|<10,〃可以用整數(shù)位數(shù)

減去1來確定.用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)，一定要注意。的形式，以及指數(shù)〃的確定方法.

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為“xlO"的形式，其中1工忖<10,〃為整數(shù).確定〃的值時(shí)，要看把原數(shù)變成〃

時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于10時(shí)，〃是正數(shù)；當(dāng)

原數(shù)的絕對(duì)值小于1時(shí)，〃是負(fù)數(shù).

【詳解】解：74000億=7400000000000=7.4x1012?

故選：C.

【即時(shí)訓(xùn)練】

2.（24-25七年級(jí)上?安徽蚌埠,階段練習(xí)）小華在做練習(xí)題時(shí)，天小心把墨水灑在了習(xí)題上，如圖所示，他

翻看答案后得知本題的正確答案選4,則原數(shù)中數(shù)字“3”后“0”的個(gè)數(shù)為（）

長(zhǎng)江是世界第三長(zhǎng)河，也是亞洲最長(zhǎng)的河流，全長(zhǎng)約63米，將63用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.63xl05B.6.3xlO6C.0.63xlO7D.6.3xlO7

A.4個(gè)R.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

【答案】C

【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法表示原數(shù)，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為4X10"的形式，其中YavlO,〃

為整數(shù).確定〃的值時(shí)，要看把原數(shù)變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.

（詳解］解：6.3x106=6300000,

則原數(shù)中數(shù)字“3”后“0”的個(gè)數(shù)為5,

故選；C

知識(shí)點(diǎn)04近似數(shù)

1、近似數(shù)概念：在實(shí)際問題中，由“四舍五入”得到的數(shù)或大約估計(jì)的數(shù)都是近似數(shù)。（近似數(shù)小數(shù)點(diǎn)后

的末位數(shù)是0的，不能去掉0.）

2、有效數(shù)字概念：一個(gè)近似數(shù)從左邊第一位非0的數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的有效

數(shù)字。一個(gè)近似數(shù)有幾個(gè)有效數(shù)字，就稱這個(gè)近似數(shù)保留幾個(gè)有效數(shù)字。

3、精確度：表示一個(gè)近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度，一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就稱這個(gè)數(shù)精確到哪

一位。

【即時(shí)訓(xùn)練】

1.（24-25七年級(jí)上?安徽亳州,期中）用四舍五入法把9.99精確到十分位得到的近似數(shù)是（）

A.10B.10.0C.10.00D.9.0

【答案】B

【分析】本題考查了近似數(shù)和四舍五入法，解題的關(guān)鍵是明確十分位的位置，并依據(jù)四舍五入規(guī)則進(jìn)行近

似取值.

找到9.99百分位上的數(shù)字，根據(jù)四舍五入法判斷是“舍”還是“入”，進(jìn)而得到精確到十分位的近似數(shù).

【詳解】小數(shù)點(diǎn)后第一位是十分位，第二位是百分位.在9.99中，十分位是9,百分位也是9.

因?yàn)?.99百分位上的數(shù)字9比5大，所以要把尾數(shù)舍去并且向一分位進(jìn)“1”，此時(shí)十分位變成9+1=10,滿

十則再向個(gè)位進(jìn)1,十分位寫0占位，得到10.0.

故選:B.

【即時(shí)訓(xùn)練】

2.（24-25七年級(jí)上?安徽淮北?期中）我國第十四個(gè)五年規(guī)劃和2035年遠(yuǎn)景目標(biāo)綱要中闡釋了“堅(jiān)持農(nóng)業(yè)農(nóng)

村優(yōu)先發(fā)展，全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興”的具體目標(biāo)：堅(jiān)持最嚴(yán)格的耕地保護(hù)制度，實(shí)施高標(biāo)準(zhǔn)農(nóng)田建設(shè)工程，建

成10.75億畝集中連片高標(biāo)準(zhǔn)農(nóng)田.則10.75億這個(gè)數(shù)值精確到（）

A.億位B.十億位C.千萬位D.百萬位

【答案】D

【分析】本題考查精確度的定義，根據(jù)精確度的定義求解，即可解題.

【詳解】解：T5在百萬位上，

A10.75億這個(gè)數(shù)值精確到百萬位，

故選：D.

畫經(jīng)典例題

口【典型例題一用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值大于1的數(shù)】

【例1】（2025?安徽六安?模擬預(yù)測(cè)）一張44紙的規(guī)格為210x297（mm）,它的面積為62370平方毫米.將

數(shù)字62370用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.6237x10sB.6.237xlO5C.6.237xl04D.62.37x10,

【答案】C

【分析】本題考查r絕對(duì)值大于i的數(shù)的科學(xué)記數(shù)法，表示形式為"Xi。。的形式，其中〃為整

數(shù).確定〃的值時(shí)，要看把原數(shù)變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)

原數(shù)絕對(duì)值210時(shí)，〃是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值V1時(shí)，〃是負(fù)數(shù)，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：,??62370=6.237x10",

故選：C.

【例2】（2025?安徽池州?模擬預(yù)測(cè)）OeepSe"（深度求索）是一家中國的人工智能公司，專注于通用人工

智能的研發(fā)，尤其在搜索增強(qiáng)型語言模型領(lǐng)域表現(xiàn)突出.如：4-P2是其開發(fā)的一個(gè)強(qiáng)大的混合專

家語言模型，含2360億個(gè)總參數(shù)，可貴的是開發(fā)團(tuán)隊(duì)成員均來自本土，沒有任何海外歸來人員.把數(shù)據(jù)2360

億用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)是.

【答案】2.36x10"

【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axlO”的形式，其中1目。|<10,〃為整

數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定。的值以及〃的值，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法進(jìn)行表示即可.

【詳解】解：2360億=2.36x10”；

故答案為：2.36x10".

【例3】（2025七年級(jí)上?全國?專題練習(xí)）已知Icn?的氫氣質(zhì)量約為0.00009g,請(qǐng)用科學(xué)記數(shù)法表示下列計(jì)

算結(jié)果：

⑴求一個(gè)容積為8OOOOOOcm3的氫氣球所充氫氣的質(zhì)量；

（2）一塊橡皮重18g,這塊橡皮的質(zhì)量是len?的氫氣質(zhì)量的多少倍？

【答案】（l）7.2xl（）2（g）

（2）2x10$倍

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算的應(yīng)用；

（1）先用乘法求出氫氣球所充氫氣的質(zhì)量，再用科學(xué)記數(shù)法表示最終結(jié)果；

（2）先用除法計(jì)算出這塊橡皮的質(zhì)量是len?的氫氣質(zhì)量的多少倍，再用科學(xué)記數(shù)法表示最終結(jié)果.

【詳解】（1）解：0.00009x8000000=720=7.2xlO'（g）.

（2）18^0.00009=200000=2x105.

故這塊橡皮的質(zhì)量是lenf的氫氣質(zhì)量的2x10$倍.

頜變式訓(xùn)練

1.（2025?安徽?模擬預(yù)測(cè)）2025年I月24日下午，2024年安徽全省經(jīng)濟(jì)運(yùn)行情況新聞發(fā)布會(huì)舉行.根據(jù)地

區(qū)生產(chǎn)總值統(tǒng)一核算結(jié)果.2024年安徽省地區(qū)生產(chǎn)總值為50625億元.其中數(shù)據(jù)“50625億“用科學(xué)記數(shù)法表

示為（）

A.5.0625xl08B.50625x10sC.50625xlO10D.5.0625xIO12

【答案】D

【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，將數(shù)據(jù)表示成形式為axlO"的形式，其中1?|。10,〃為整數(shù)，正確

確定的值是解題的關(guān)鍵.

將“50625億“寫成axlO"其中1<|?|<10,〃為整數(shù)的形式即可.

【詳解】解：“50625億”5062500000000=5.0625x10”.

故選D.

2.(2025?安徽馬鞍山?模擬預(yù)測(cè))將631000000用科學(xué)記數(shù)法表示為.

【答案】6.31x10s

【分析】此題考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為4X10”的形式，其中1<H<10,〃為整數(shù)，

熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的定義是解答本題的關(guān)鍵.

根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義解答即可.

【詳解】解：631000000=6.31x1。"

故答案為：6.31x10s.

3.(24?25七年級(jí)上?安徽池州?期中)現(xiàn)需要將長(zhǎng)為150cm,寬為120cm,高為75cm的大理石運(yùn)往某地修建

革命歷史博物館.

(1)求每塊大理石的體積.(結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示)

(2)如果一列火車總共運(yùn)送了2000塊大理石，每塊大理石約重350()千克，估計(jì)這列火車總共運(yùn)送了多少噸

大理石.

【答案】⑴1.35xl()6cm，

(2)7000噸

【分析】本題主要考查了長(zhǎng)方體的體積公式，科學(xué)記數(shù)法的表示方法，及同底數(shù)的事的乘法.解題的關(guān)鍵

是明確同底數(shù)幕的乘法和除法的運(yùn)算法則.

(1)根據(jù)長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)乂寬x高，先求出它的體積，再用科學(xué)記數(shù)法表示.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為。X10"

的形式，其中14H<1°，〃為整數(shù).確定〃的值時(shí)，要看把原數(shù)變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的

絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于10時(shí)，〃是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值小于1時(shí)，〃是負(fù)

數(shù)；

(2)根據(jù)總重量+大理石塊數(shù)=每塊大理石的重量列出代數(shù)式即可.

【詳解】(1)根據(jù)題意.得每塊大理石的體枳=150xl20x75=1350000=1.35xl06(cm3),

答：每塊大理石的體積為1.35xl0%m3.

(2)根據(jù)題意，得2000x3500=7000000(千克)=7000(噸)

答：這列火車總共運(yùn)選了約7000噸大理石.

4.(24-25七年級(jí)上?安徽池州?階段練習(xí))“十一”期間，沐陽虞姬生態(tài)公園在7天中每天游客的人數(shù)變化如

下表(正數(shù)表示比前一天多的人數(shù)，負(fù)數(shù)表示比前一天少的人數(shù)).若9月30日的游客人數(shù)為1萬人

日期10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日io月6日10月7日

人數(shù)變化

+1.6+0.8+0.4-0.4-0.8+0.2-1.2

單位：萬人

（1）請(qǐng)判斷七天內(nèi)游客人數(shù)最多的是哪天？請(qǐng)說明理由.

（2）建生態(tài)公園的目的一般有兩個(gè)，一方面是給廣大市民提供一個(gè)休閑游玩的好去處；另一方面是拉動(dòng)內(nèi)需,

促進(jìn)消費(fèi).如果進(jìn)園的人每人平均消費(fèi)io元，問“I?一”期間所有在園人員在生態(tài)園的總消費(fèi)是多少元？

【答案】（1）7天內(nèi)游客人數(shù)最多的是10月3日

⑵“十?一”期間所有在園人員在生態(tài)園的總消費(fèi)是2.02x106元

【分析】（1）求出10月1到7日的人數(shù)，即可做出判斷；

（2）求出7天的人數(shù)之和，乘以30,即可得到結(jié)果.

【詳解】（1）???9月30日的游客人數(shù)為1萬人，

???7天的游客人數(shù)分別為2.6萬、3.4天、3.8萬、3.4萬、2.6大、2.8力、1.6天,

則7天內(nèi)游客人數(shù)最多的是1（）月3日；

（2）由（1）得7天的游客人數(shù)分別為2.6萬、3.4萬、3.8萬、3.4萬、2.6萬、2.8萬、1.6萬，

則“十?一”期間門標(biāo)收入為：

（2.6+3.44-3.8+3.4+2.6+2.8+1.6）x10

=20.2x10

=202（萬元）

=202x1（）6元，

則"十?一’’期間所有在園人員在生態(tài)園的總消費(fèi)是2.02X10。元.

【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的加法計(jì)算，正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，科學(xué)記數(shù)法的表示，正確理解題意，根據(jù)題

意正確列式計(jì)算即可.

國【典型例題二求一個(gè)數(shù)的近似數(shù)】

【例1】（24-25七年級(jí)上?安徽蚌埠?期中）5.4072精確到百分位的近似數(shù)是（）

A.5.4B.5.40C.5.407D.5.41

【答案】D

【分析】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字，利用四舍五入法解答是解題的關(guān)鍵.

利用四舍五入法將5.4072精確到百分位得到5.41,即可得到答案.

【詳解】解：5.4072精確到百分位的近似數(shù)是5.41,

故選:D.

【例2】（24-25七年級(jí)上?湖南長(zhǎng)沙?期末）將5.807用四舍五入法精確到百分位為—.

【答案】5.81

【分析】本題考查了近似數(shù)，根據(jù)將5.807用四舍五入法精確到百分位，就觀察干分位的數(shù)是否大于5,大

于等于5就進(jìn)一，否則舍去，即可作答.

【詳解】解：依題意，5.807的千分位的數(shù)為7>5,

則5.807用四舍五入法精確到百分位為5.81,

故答案為:5.81

【例3】（24-25七年級(jí)上?安徽阜陽?期中）按括號(hào)里的要求，用四舍五入法對(duì)下列各數(shù)取近似數(shù)：

（1）1.596（精確到0.01）

（2）0.03057（精確到千分位）

（3）2345000（精確到萬位）

（4）60290（保留兩個(gè)有效數(shù)字）

【答案】（1）1.60

⑵。.031

⑶2.35x106

（4）6.0xl04

【分析】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字：經(jīng)過四舍五人得到的數(shù)為近似數(shù)；從一個(gè)數(shù)的左邊笫一個(gè)不是0

的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字，近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度

表示：一般有，精確到哪一位，保留幾個(gè)有效數(shù)字等說法.

（1）根據(jù)近似數(shù)的定義求解即可；

（2）根據(jù)近似數(shù)的定義求解即可；

（3）根據(jù)近似數(shù)的定義求解即可；

（4）根據(jù)有效數(shù)字的定義求解即可.

【詳解】（1）解：1.596精確到001為1.60；

（2）解：0.03057精確到千分位為0.031：

（3）解：2345000精確到萬位為2.35x106；

（4）解：60290保留兩個(gè)有效數(shù)字為6.0x104.

0變式訓(xùn)練

1.（24-25七年級(jí)上?河北秦皇島?階段練習(xí)）一個(gè)三位小數(shù)、四舍五人保留兩位小數(shù)后是4.0（）.則這個(gè)三位

小數(shù)最小是（）

A.4.004B.3.995C.3.994D.3.95

【答案】B

【分析】本題考查了近似數(shù)，根據(jù)四舍五入的知識(shí)即可求解.

【詳解】解：?個(gè)三位小數(shù)、四舍五入保留兩位小數(shù)后是4.00.則這個(gè)三位小數(shù)最小是3.995

故選：B

2.（24-25七年級(jí)上?浙江杭州?期中）下列對(duì)1598000取近似數(shù)，其中描述正確的是.（填序號(hào)）

①取近似數(shù)1.60x1（）6是精確到萬位；

②取近似數(shù)2x108是精確到個(gè)位；

③滑確到十萬位得到的近似數(shù)為L(zhǎng)5xIO,：

④精確到百位得到的近似數(shù)為1.598x1O'.

【答案】①

【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法與近似數(shù)，形如其中〃為整數(shù)，表示數(shù)的方法叫科學(xué)記

數(shù)法，近似數(shù)：經(jīng)過四舍五入得到的數(shù)稱為近似數(shù).根據(jù)近似數(shù)的精確度分別進(jìn)行判斷.

【詳解】解：①取近似數(shù)1.60x106是精確到萬位，故原說法正確；

②取近似數(shù)2x108不是精確到個(gè)位，故原說法錯(cuò)誤；

③精確到十萬位得到的近似數(shù)為1.6x106,故原說法錯(cuò)誤；

④精確到百位得到的近似數(shù)為1.5980x106,故原說法錯(cuò)誤；

故答案為：①.

3.（24-25七年級(jí)上?全國?課后作業(yè)）用四舍五入法，把下列各數(shù)按括號(hào)內(nèi)的要求取近似值.

（1）0.2595（精確到千分位）;（2）3.592（精確到0.01）；

（3）20049（精確到百位）；（4）233（）萬（精確到百萬位）.

【答案】（1）0.2595?0.260；（2）3.592a3.59；（3）20049?2.00x104;（4）2330萬=2.3x。.

【分析】由四舍五入取近似值時(shí)，由精確的那個(gè)數(shù)位起，如果后面一位上的數(shù)字大于等于5,則向前入一個(gè),

如果后面一位上的數(shù)字小于5,則馬上舍去.

【詳解】（1）0.2595?0.260；

（2）3.592*3.59；

（3）20049?2.00xlO4:

（4）233075=23300000?2.3x107.

【點(diǎn)睛】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字，科學(xué)計(jì)算法，注意對(duì)一個(gè)數(shù)進(jìn)行四舍五入時(shí)，若要求近似到個(gè)位

以前的數(shù)位時(shí)，首先要對(duì)這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示.

4.（2025七年級(jí)上?浙江?專題練習(xí)）把一個(gè)四位整數(shù)先四舍五入到十位，再把所得的數(shù)字四合五入到百位,

然后再把所得的數(shù)字四舍五入到千位，這時(shí)的數(shù)字是4x103,你能說出這個(gè)數(shù)的最大值和最小值嗎？它們的

差是多少？

【答案】最大值是4444,最小值是3445,差是999.

【分析】把一個(gè)數(shù)四舍五入到十位，要將這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字四舍五入.

【詳解】解：因?yàn)橐粋€(gè)四位整數(shù)先四舍五入到十位，再把所得數(shù)四舍五入到百位，然后又把所得的數(shù)四舍

五人到千位，這時(shí)的數(shù)為4x103,

所以這個(gè)數(shù)最大時(shí)千位上的數(shù)字為4,最小時(shí)千位上的數(shù)字為3,

當(dāng)千位上的數(shù)字為3時(shí)，

3.445x103四舍五入到十位后的結(jié)果為3.45x103,

3.45x103四舍五入到百位后的結(jié)果為3.5x103,

3.5燈。3四舍五入到千位后的結(jié)果為4x]03,

所以4x103可能是由3445取近似值得到的；

類似的，當(dāng)千位上的數(shù)字為4時(shí)，

4x103可能是由4444取近似值得到的，

所以這個(gè)數(shù)的最大值是4444,最小值是3445,

差：4444-3445=999.

【點(diǎn)睛】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字：經(jīng)過四舍五入得到的數(shù)為近似數(shù)；從一個(gè)數(shù)的左邊第一個(gè)不是0

的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字.近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度

表示.一般有，精確到哪一位，保留幾個(gè)有效數(shù)字等說法.

國【典型例題三有理數(shù)哥的概念理解】

[例1]（2025?河北唐山?模擬預(yù)測(cè)）若々為整數(shù)，則（。2丫表示的是（）

A.3個(gè)/相乘B.2個(gè)/相力口C.3個(gè)/相加D.5個(gè)。相乘

【答案】A

【分析】本題考查幕的乘方運(yùn)算，熟練掌握并理解幕的乘方等于底數(shù)不變，指數(shù)相乘是解題的關(guān)鍵.根據(jù)

顯的乘方法則：(/')"=。小”，即黑的乘方等于底數(shù)不變，指數(shù)相乘，進(jìn)行分析即可.

【詳解】解：(/丫表示3個(gè)/相乘或者(片)3=/*3=〃6表示6個(gè)。相乘.

故選：A.

【例2】(2025七年級(jí)上?全國?專題練習(xí))(1)在(一丫中，底數(shù)是,指數(shù)是；

(2)在-夕中，底數(shù)是,指數(shù)是，意義是.

【答案】-53525的平方的相反數(shù)

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握乘方的意義是解本題的關(guān)鍵.在〃"中，〃是底數(shù)，〃是指

數(shù).利用乘方的意義即可得到結(jié)果.

【詳解】解；(1)在(-5)3中，底數(shù)是-5,指數(shù)是3；

(2)在-52中，底數(shù)是5,指數(shù)是2,意義是5的平方的相反數(shù)；

故答案為：-5,3；5,2,5的平方的相反數(shù).

【例3】(24-25七年級(jí)上?全國?假期作業(yè))把下列各式寫成乘方的形式，并指出底數(shù)、指數(shù)各是什么.

(l)(-2)x(-2)x(-2)

2222

(2)—x—x—x—

3333

z-vm-m-mtn

⑶1~~~>

【答案】(1)底數(shù)是-2,指數(shù)是3

2

(2)底數(shù)是鼻，指數(shù)是4

(3)底數(shù)是“，指數(shù)是2〃

【分析】本題主要考查了乘方的意義，解題的關(guān)鍵是掌握乘方是一種特殊的乘法運(yùn)算，暴是乘方的結(jié)果，

當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時(shí)，要先用括號(hào)將底數(shù)括起來再寫指數(shù)."表示〃個(gè)。相乘.

(1)首先化成累的形式，再指出底數(shù)和指數(shù)各是什么即可；

(2)首先化成暴的形式，再指出底數(shù)和指數(shù)各是什么即可；

(3)首先化成幕的形式，再指出底數(shù)和指數(shù)各是什么即可.

【詳解】(1)解：(-2)X(-2)X(-2)=(-2)3,底數(shù)是一2,指數(shù)是3.

⑵解:抬凈找（f,.1，.4

（3）解：""7…叼=內(nèi),底數(shù)是小指數(shù)是2〃.

0變式訓(xùn)練

1.（24-25七年級(jí)上?湖南永州?階段練習(xí)）下列判斷中，（1）1是最小的自然數(shù)；（2）正數(shù)、零、負(fù)數(shù)統(tǒng)稱

2>

為有理數(shù)；（3）-32的底數(shù)為一3；（4）八方互為相反數(shù)，則。+6=0：（5）當(dāng)》=彳時(shí)，x2=—,正確的

33

個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【分析】根據(jù)自然數(shù)的定義（自然數(shù)為非負(fù)整數(shù)，包括0和所有的正整數(shù)）、有理數(shù)的定義（整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)

稱為有理數(shù)）、有理數(shù)幕的定義（在“"中，。叫做底數(shù)，〃叫做指數(shù)）、相反數(shù)的定義（只有符號(hào)不同的兩個(gè)

數(shù)互為相反數(shù)）逐個(gè)判斷即可得.

【詳解】解：（1）0是最小的自然數(shù)；則原說法錯(cuò)誤；

（2）整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，正數(shù)和負(fù)數(shù)不一定都是有理數(shù)，則原說法錯(cuò)誤；

（3）-3?的底數(shù)是3,則原說法錯(cuò)誤；

（4）a、b互為相反數(shù)，則4+6=0,原說法正確：

2/7Y

（5）當(dāng)工=彳時(shí)，x2=-,則原說法錯(cuò)誤；

綜上，正確的個(gè)數(shù)為1個(gè)，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了自然數(shù)、有理數(shù)、有理數(shù)寢、相反數(shù)，熟記各概念是解題關(guān)犍.

2.（24-25七年級(jí)上?江蘇泰州?階段練習(xí)）下列說法：①若兇+犬=0,則x<0：②若x為有理數(shù)，且xwO,

則③若y<o<x,且忖<3,則k+y|=Tx|+|y|；④若x=L則x=i；⑤…亡…+q=/（°為

X?

正整數(shù)）.其中說法正確的是.（填序號(hào)）

【答案】③⑤

【分析】此題考查了有理數(shù)的乘方，絕對(duì)值，倒數(shù)，以及有理數(shù)的加法，各式利用絕對(duì)值，倒數(shù)的定義，

乘方的意義，以及加法法則判斷即可.

【詳解】解：若|x|+x=O,即|x|=-x,則XWO；故①錯(cuò)誤；

若工為有理數(shù)，且XH0,則工或或/故②錯(cuò)誤；

若y<O<x,且忖<3，則|x+y|=-(x+y)=-x-j，=TM+M，故③正確；

若1=',貝Ux=±l,故④錯(cuò)誤；

X

空空二±^=e“=/,故⑤正確.

a

故答案為：③⑤.

3.(24-25七年級(jí)上?福建三明?期中)(1)計(jì)算下面兩組算式：

①(3x5)2與32x52；

②[(—2)x3]2與(-2/32:

(2)根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果猜想：("戶=_(直接寫出結(jié)果)

(3)猜想與驗(yàn)證：當(dāng)〃為正整數(shù)時(shí)，(M)”等于什么?請(qǐng)你利用乘方的意義說明理由.

【答案】(1)①225,225；②36,36：(2)a3^；(3)(ab)n=anb\理由見解析

【分析】(1)①②根據(jù)有理數(shù)的乘方運(yùn)算分別計(jì)算即可；

(2)(3)根據(jù)乘方的意義以及乘法交換律計(jì)算即可；

【詳解】(1)計(jì)算下面兩組算式：

①(3x5)2與32x52；

解：(3x5)2=152=225

32x52=9x25=225

②[(一2>3]2與(-2)2x32；

[(-2)X3]2=(-6)2=36

(一2)2x32=4x9=36

⑵(〃b)3=(ah)-(ah)?(ah)=a-aa-bbb=a'h"

故答案為：。紗

(3)(ab)n=anbn.

理由如下：

(a加〃………b)=a?”

”個(gè)〃個(gè)。n^b

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方的計(jì)算，理解乘方的意義是解題的關(guān)鍵.

4.（24-25七年級(jí)上?江蘇南京?階段練習(xí)）概念學(xué)習(xí)

規(guī)定：求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等于（））的除法運(yùn)算叫做除方，如2+2+2,（-3）+（-3）+（-3）+

（-3）等.類比有理數(shù)的乘方，我們把2?2+2記作2③，讀作“2的圈3次方”，（-3）+（-3）+（-3）?

（-3）記作（-3）④，讀作”?3的圈4次方”，一般地，把鋁/二？（分0）記作讀作Z的圈〃次

方”.

初步探究

（1）直接寫出計(jì)算結(jié)果：2③=_，=_:

（2）關(guān)于除方，下列說法錯(cuò)誤的是

A.任何非零數(shù)的圈2次方都等于1；

B.對(duì)于任何正整數(shù)〃，1的圈〃次方都等于1：

C.3④=4③

D.負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù).

深入思考：

我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，有理數(shù)的除方運(yùn)算如

何轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算呢？

（1）試一試：仿照上面的算式，將卜.列運(yùn)算結(jié)果直接寫成哥的形式.

（-3）的圈4次方=；5的圈5次方=；（-；）的圈6次方=.

（2）想一想：將一個(gè)非零有理數(shù)。的圈〃次方寫成鼎的形式等于：

（3）算一算;24：23?（8）x2?.

【答案】初步探究（1）；；—8；（2）C；深入思考（1）-2?彥，24：（2），工；（3）-1.

【分析】理解除方運(yùn)算，利用除方運(yùn)算的法則和意義解決初步探究，通過除方的法則，把深入思考的除方

寫戊事的形式解決（1）,總結(jié)（1）得到通項(xiàng)（2）.根據(jù)法則計(jì)算出（3）的結(jié)果.

【詳解】初步探究

解：初步探究

(1)2③=2+2+2」,

2

-8故答案為：；，-8：

（2）A、任何非零數(shù)的圈2次方就是兩個(gè)相同數(shù)相除，所以都等于1；所以選項(xiàng)A正確;

B、因?yàn)槎嗌賯€(gè)1相除都是1,所以對(duì)于任何正整數(shù)〃，1?都等于1；所以選項(xiàng)B正確;

c、3』-j4③……則3④"；所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

D、負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方，相當(dāng)于奇數(shù)個(gè)負(fù)數(shù)相除，則結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方，相當(dāng)于偶數(shù)個(gè)負(fù)數(shù)相

除，則結(jié)果是正數(shù).所以選項(xiàng)D正確:

本題選擇說法錯(cuò)誤的，故選C；

深入思考

(1)(-3)?=(一3)+(-3)+(-3)+(-3)=]x(I)2=1:

=1X2X2X2X2

=24;

故答案為："，24.

(2)a"=a+a

故答案為：二二.

a

(3)24+2’+(-8)x2③

=24+8+(-8)x；

=3-4

【點(diǎn)睛】本題考查了新運(yùn)算，累的運(yùn)算.解決問題的關(guān)鍵是掌握新運(yùn)算的法則，理解新運(yùn)算的意義.

國I1典型例題四求近似數(shù)的精確度】

【例1】（2025?山東濰坊?模擬預(yù)測(cè)）某市2025年參加中考的學(xué)生數(shù)大約為9.98x104人,下列關(guān)于這個(gè)近似

數(shù)說法正確的是（）

A.精確到百位，有3個(gè)有效數(shù)字B.精確到百位，有5個(gè)有效數(shù).字

C.精確到百分位，有3個(gè)有效數(shù)字D.精確到百分位，有5個(gè)有效數(shù)字

【答案】A

【分析】此題主要考查科學(xué)記數(shù)法與有效數(shù)字，解答的關(guān)鍵是明確用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)的有效數(shù)字的確

定方法.

在標(biāo)準(zhǔn)形式4X10"中。的部分中，從左邊第一個(gè)不為0的數(shù)字?jǐn)?shù)起，共有3個(gè)有效數(shù)字是9,9,8,且其展開

后可看出精確到的是百位.

【詳解】解：9.98xlO4=99800,所以有3個(gè)有效數(shù)字,9,9,8,精確到百位.

故選:A.

【例2】(24-25七年級(jí)上?江蘇揚(yáng)州?期中)揚(yáng)州是全國文化歷史名城，世界美食之都.揚(yáng)州包子,揚(yáng)州炒飯,

揚(yáng)州三頭宴等特色美食吸引著全國各地的游客，據(jù)統(tǒng)計(jì)，剛剛過去的國慶假期，揚(yáng)州共接待游客約801.6萬

人次，801.6萬精確到位.

【答案】千

【分析】本題主要考查近似數(shù)的精確位數(shù)，熟練掌握近似數(shù)的精確度的確定方法是解題關(guān)鍵.根據(jù)近似數(shù)

的精確位數(shù)即可得出結(jié)果.

【詳解】解：801.6萬=8016000,

8。1.6萬是精確到了千位，

故答案為：干.

【例3】(2025七年級(jí)上?浙江?專題練習(xí))指出下列各近似值精確到哪一位.

(1)56.3

(2)5.630

⑶5.63x106

(4)5.630萬

(5)0.017

(6)3800.

【答案】(1)56.3精確到十分位；

(2)5.630精確到千分位；

(3)5.63x106精確到萬位：

(4)5.630萬精確到十位;

(5)0.017精確到千分位；

（6）3800精確到個(gè)位

【分析】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字：近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示.一般有，精確

到哪一位，保留幾個(gè)有效數(shù)字等說法；從一個(gè)數(shù)的左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字

都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字.

（1）所給數(shù)的數(shù)位最小到十分位，據(jù)此解答即可.

（2）所給數(shù)的數(shù)位最小到千分位，據(jù)此解答即可.

（3）所給數(shù)的數(shù)位最小到萬位，據(jù)此解答即可.

（4）所給數(shù)的數(shù)位最小到十位，據(jù)此解答即可.

（5）所給數(shù)的數(shù)位最小到千分位，據(jù)此解答即可.

（6）所給數(shù)的數(shù)位最小到個(gè)位，據(jù)此解答即可.

【洋解】（1）解：56.3精確到十分位；

（2）解：5.630精確到千分位;

（3）解:5.63x106精確到萬位：

（4）解：5.630萬精確到十位；

（5）解：0.017精確到千分位;

（6）解：3800精確到個(gè)位.

0變式訓(xùn)練

1.（24-25七年級(jí)上?河南鶴壁?期中）下列說法正確的是（）

A.近似數(shù)0.0158精確到0.001B.近似數(shù)304.35精確到百分位

C.近似數(shù)L804精確到萬分位D.近似數(shù)6.237x1（）6精確到o.ooi

【答案】B

【分析】近似數(shù)：指與準(zhǔn)確數(shù)相近的一個(gè)數(shù)，即經(jīng)過四舍五入、進(jìn)一法或者去尾法等方法得到的一個(gè)與原

始數(shù)據(jù)相差不大的一個(gè)數(shù)，判斷艮1可.

【詳解】解：A、近似數(shù)0.0158精確到0.0001,故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、近似數(shù)304.35精確到百分位，故該選項(xiàng)正確；

C、近似數(shù)L804精確到千分位，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤：

D、近似數(shù)6.237x1（）6精確到千位.故該選項(xiàng)錯(cuò)誤：

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查近似數(shù)的概念，熟記相關(guān)概念是關(guān)鍵.

2.(24-25七年級(jí)上?江蘇無錫?期中)數(shù)據(jù)1.44x106是四舍五入得到的近似數(shù)，其精確的數(shù)位是_.

【答案】萬位

【分析】把題目中數(shù)據(jù)1.44x106還原為IMO。。。，從而可以得到題目中的數(shù)據(jù)精確到萬位，問題得解.

【詳解】解：因?yàn)?.44x11440000,

.?.近似數(shù)01.44M06精確到萬位.

故答案為：萬位.

【點(diǎn)睛】本題考查了近似數(shù)和科學(xué)記數(shù)法，熟知近似數(shù)的意義并準(zhǔn)確將近似數(shù)還原為原數(shù)是解題關(guān)鍵.

3.(2025七年級(jí)?全國?專題練習(xí))下列由四舍五人得到的近似數(shù)，各精確到哪一位？

(1)600萬

(2)7.03萬

(3)5.8億

(4)330x105

【答案】(1)萬位

⑵百位

(3)千萬位

(4)千位

【分析】C)根據(jù)近似數(shù)的精確度求解：

(2)根據(jù)近似數(shù)的精確度求解；

(3)根據(jù)近似數(shù)的精確度求解；

(4)根據(jù)近似數(shù)的精確度求解.

【詳解】(1)解：???600萬的末尾為萬位，

??.600萬精確到萬位；

(2)解：???7.03萬的末尾為百位，

.*.7.03萬精確到百位；

(3)解:???5.8億的末尾為千萬位,

.?■5.8億精確到千萬位；

(4)解：??330x105的末尾為千位,

.?330x1()5億精確到千位;

【點(diǎn)睛】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字:近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示，一般有，精確到

哪一位，保留幾個(gè)有效數(shù)字等說法，熟練掌握近似數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵.

4.：2025七年級(jí)上?江蘇?專題練習(xí))下列各數(shù)都是由四舍五入法得到的近似數(shù)，它們分別精確到哪一位？各

有幾個(gè)有效數(shù)字？

(I)小紅的體重為45.0千克；

(2)小明的媽媽的年薪約為5萬元；

(3)月球軌道呈橢圓形，遠(yuǎn)地點(diǎn)平均距離為4.055x105千米.

【答案】(1)精確到十分位，有3個(gè)有效數(shù)字；

(2)精確到萬位，有1個(gè)有效數(shù)字；

(3)精確到百位，有4個(gè)有效數(shù)字

【分析】本題考查了近似數(shù)的精確度和有效數(shù)字的概念.

(1)、(2)、(3)近似數(shù)精確到哪一位，應(yīng)當(dāng)看末位數(shù)字實(shí)際在哪一位；有效數(shù)字，即從數(shù)字的左邊第一個(gè)

不是0的數(shù)字起，所有的數(shù)字都是有效數(shù)字.據(jù)此求解即可.

【詳解】(1)解：近似數(shù)45.0,數(shù)字0所在是位是十分位，則精確到十分位，有3個(gè)有效數(shù)字：

(2)解：近似數(shù)5萬，數(shù)字5所在的位是萬，則精確到萬位，有1個(gè)有效數(shù)字；

(3)解:近似數(shù)4.055x105=405500,右邊的數(shù)字5所在的位是百位，則精確到百位，有4個(gè)有效數(shù)字.

厚【典型例題五有理數(shù)的乘方運(yùn)算】

【例1】(24-25七年級(jí)上?四川樂山?期末)下列運(yùn)算中，正確的是().

A.(-2)2=-4B.-22=4C.32=6D.(-3)3=-27

【答案】D

【分析】本題主要考查有理數(shù)的乘方，熟練掌握有理數(shù)的乘方的定義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義和運(yùn)算法則計(jì)算，逐項(xiàng)判斷即可得到答案.

【詳解】解：A.(-2)2=4,此詵項(xiàng)錯(cuò)誤：

B.-2?=-4,此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.32=9,此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.(-3)3=-27,此選項(xiàng)正確；

故選:D.

【例2】(24-25七年級(jí)上?上海?階段練習(xí))計(jì)算：(-2戶”+(_2)皿?二.(用2的乘方表示)

【答案】22023

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘方計(jì)算，把原式變形為(-2廣必+(_2戶23x(-2),據(jù)此計(jì)算求解即可.

【詳解】解：(-2產(chǎn)+(_2廣

202J2023

=(_2)+(_2)X(-2)

=-(-2)2023

=22叫

故答案為：22陽.

【例3】(24-25七年級(jí)上吶蒙古包頭?期中)觀察下列兩組算式：

①2?x32與(2x3)、

?l;卜叫(訃工

(1)每組兩個(gè)算式的結(jié)果是否相等？

(2)根據(jù)(1)的結(jié)果猜想〃力”等于什么？

/\2024

(3)用(2)的結(jié)論計(jì)算(1x(-5f24.

【答案】(1)相等：

⑵㈤"；

(3)1

【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算：

(1)根據(jù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算后，判斷即可；

(2)利用(1)中規(guī)律即可得出結(jié)論：

(3)利用規(guī)律得到乂(-5)必=1X(-5),計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：相等：

22X32=4X9=36,(2X3)2=6?=36,

.--22X32=(2X3)2；

->1x23=-—x8=-27,fx2=(-3)3=-27,

2/8\2y

(2)由(1)可得：anbn=(ab\

-\2024r1-12024

(.x(-5r=[ix(-5)j=(-ir=i.

0變式訓(xùn)練

2

1.(鼎成大聯(lián)考2025年河南省普通高中招生考試試卷(三)數(shù)學(xué))計(jì)算1，一；的結(jié)果是()

-nV-

A.誓B.二C.孕D.二

3"3"3〃3〃

【答案】A

【分析】本題考查乘方、乘法的定義，列代數(shù)式，熟練掌握乘方的定義是解題的關(guān)鍵.

利用乘方的定義，乘法的定義列出代數(shù)式，即可解答.

史

■、*皿、好2+2+???+22m

【洋陰】2+2+…+,=2泄'3x3x-.x3=3n，A3x3x--x3=~*

故選A.

2.(2025?四川廣安?模擬預(yù)測(cè))一般地，〃個(gè)相同的因數(shù)。相乘口也”?。…分記作廢,如2x2x2=23=8.此

時(shí)，3叫做以2為底的8的“勞格數(shù)”，記為4⑻，則4(8)=3.一般地，若a"=b(〃>()且“工1),則〃

叫做以。為底的人的“勞格數(shù)”，記為43)=〃，如34=81，則4叫做以3為底的81的“勞格數(shù)”，記為

乙(81)=4.則4(9)，4(27)/(243)滿足關(guān)系式.

【答案】4(9)+4(27)=4(243)

【分析】本題考查了有理數(shù)乘方，計(jì)算出4(9)=2,&27)=3,4(243)=5,即可解答，數(shù)熟練計(jì)算是解

題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???32=9,3^=27,3$=243,

.?4(9)=2,￡,(27)=3,小243)=5,

.4(9)+4(27)=4(243),

故答案為:4(9)+4(27)=4(243).

3.(24-25七年級(jí)上?遼寧大連?期末)規(guī)定兩數(shù)。乃之間的一種運(yùn)算，記作[凡/小如果/="，那么

[a,b]=c,

例如：因?yàn)?4=16,所以[2,16]=4.

(1)[3,27]=,[，-8]=3；

(2)令1=卜2,-2],2=[-2,4],3=[-2,-8],4=[-2,16],5=[-2,-32]……,則9=[-2,],〃

2,]：

(3)令〃=[-2閔，〃+1=卜2也],〃+2=[-2也],若4+&+"=3072,求〃的值.

【答案】(1)3,—2

(2)-512,(-2)w

⑶10

【分析1本題考查了新定義運(yùn)算，有理數(shù)的乘方運(yùn)算，理解新定義是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)新定義運(yùn)算，結(jié)合有理數(shù)的乘方運(yùn)算即可求解：

(2)根據(jù)新定義運(yùn)算，結(jié)合有理數(shù)的乘方運(yùn)算即可求解；

(3)根據(jù)新定義運(yùn)算，結(jié)合有理數(shù)的乘方運(yùn)算即可求解.

【詳解】(1)3?=27,(-2)3=-8,

,'.[3,27]=3,[-2,-8]=3,

故答案為：3,-2；

(2)v1=[-2,-2],2=[-2,4],3=[-2,-8],4=[-2,16],5=[-2,-32]

.?.(-2)9=-512

.\9=[-2,-512],

?=[-2,(-2)"],

故答案為：-512,(-2)。：

(3)丁〃=[-2,4],〃+1=[-2也],〃+2=卜2也]

:.b=(-2)n,4=(-2)"+14=(-2)z

b+b2+b3=3072

A(-2)"+(-2嚴(yán)+(-2)/2=3072

(-2)H[1+(-2)+(-2f]=3072

3x(-2)”二3072

(-2)"=1024

77=I0

4.（24-25七年級(jí)上?重慶巴南?階段練習(xí)）閱讀下列材料，解決問題.

材料一：對(duì)于任意有理數(shù)b,定義新運(yùn)算“十"：a?b=a-b^—.

10199(101.6+3

例如：4十5=4-5+二二二,4十5十6=(4十5)十6=4-5+=94

22v2

材料二：規(guī)定［”表示大于x的最小整數(shù)，例如：［2.2）=3,=3［5）=3x6=18根據(jù)上述材料解答

下列問題：

⑴4十8=；[-5,1/=.

(2)求I十2十3十4十5十6十7十8十9的值.

(3)若有理數(shù)p,4滿足"=3⑷+2=4[”1),求p十⑷的值.

93

【答案】(l)y,25

⑵361

釁

【分析】本題考查新定義運(yùn)算，乘方運(yùn)算，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，理解十和口）的定義是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)根和㈤的定義計(jì)算即可;

（2）根據(jù)十的定義，原式可變形為1-2+孚-3+當(dāng)-4+當(dāng)-5+2^—9+孚，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可;

22222

（3）根據(jù)3%）+2=4［夕+1）可得3匕）+2=4［夕）+4,進(jìn)而可得［夕）=-2,求出夕的值，再根據(jù)心的定義計(jì)算即

可.

【詳解】(1)解：4。8=4-8+當(dāng)號(hào),［-5.1/=(-5>=25,

-4

93

故答案為：y，25；

(2)解：1十2十3十4十5十6十7十8十9

］一2+3-3+&-4+&-5+g-9+&

22222

=1-2-3-4-5-6-7-8-9+404

=-43+404

=361：

(3)解：???3%)+2=4［夕+1),

:.3a)+2=4［夕)+4,

.?.⑷=-2，

:.p=3［<7)+2=-4?

??.P十⑷

,z小101

=-4-(-2)+—

97

0【典型例題六有理數(shù)乘方逆運(yùn)算】

【例1】（24-25七年級(jí)上?江蘇鹽城?期中）如果/=16,則。是（）

A.8或—8B.-4C.4