有理數(shù)的乘方與近似數(shù)

（4大知識點+12大典例+變式訓練+過關(guān)檢測）

0題型預覽

典型例題一用科學記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)

典型例題二求一個數(shù)的近似數(shù)

典型例題三有理數(shù)嘉的概念理解

典型例題四求近似數(shù)的精確度

典型例題五有理數(shù)的乘方運算

典型例題六有理數(shù)乘方逆運算

典型例題七算“24”點

典型例題八乘方運算的符號規(guī)律

典型例題九含乘方的有理數(shù)混合運算

典型例題十程序流程圖與有理數(shù)計算

典型例題H■■一乘方的應(yīng)用

典型例題十二有理數(shù)乘方的新定義運算

向知識梳理

知識點01有理數(shù)的乘方

1.乘方的概念：一般地，n個相同的因數(shù)a相乘，記作讀作a的n次方。

求n個相同因數(shù)的枳的運算，叫做乘方。

2.乘方的結(jié)果叫做幕（power）；石q"中，a叫做底數(shù)（basenumber）,n叫做指數(shù)（exponent）。

SS）—a~

【即時訓練】

1.（24-25七年級上?安徽阜陽?期末）下列運算中，正確的是（）.

A.(-2)2=-4B.-22=4C.32=6D.(-3)3=-27

【即時訓練】

2.（24?25七年級上?安徽蕪湖,期中）下列各式正確的是（）

A.-8-2x6=（-8-2）x6B.2-^-x-=2-s-^x-

C.（-l）2O25+（-l）2O24=-l+lD.-（-22）=-4

知識點02有理數(shù)的混合運算

1.有理數(shù)混合運算法則：①先算乘方,再算乘除,最后算加減。

②如果有括號,先算括號里面的。

2.混合運算順序：?先算乘方，再乘除，后加減；

?同級運算，從左到右進行；

?如有括號，先算括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行。

【即時訓練】

1.（24-25七年級上?安徽安慶?期末）在數(shù)學課上，老師讓/、B、C、。四位同學分別做了一道有理數(shù)運算

題，你認為做對的是（）

A.9-32+8=0+8=0B.24-（4x32）=24-4x6=0

C.（36-12）-a---36x一一12X--16D.（一31——乂3-9-1-9

2333

【即時訓練】

2.（24-25七年級上?安徽馬鞍山，期中）為了求1+2+2?+23+…+2?°的值，可令S=1+2+2?+2,+…+2?°,

則2s=2+2、23+…+2?'因此2S—S=2?一所以1+2+22+2'+…+22°=2”一1，仿照以上推理，計算

1+5+52+53+---+52025=（）

A.52O25-1B.52024-1C.1（52026-1）D.|（52025-1）

知識點03科學計數(shù)法

（1）把一個大于10的數(shù)記成QX10"的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)（即1封n是正整

數(shù)，這樣的記數(shù)方法叫科學記數(shù)法。

（2）把QX10”還原成原數(shù)時，只需把a的小數(shù)點往前移動n位。

【即時訓I練】

1.（2025?安徽滁州?模擬預測）用電量被視為經(jīng)濟運行的“風向標”之一.國家能源局最新公布的數(shù)據(jù)顯示,

今年前三季度，全社會用電量累計約74000億千瓦時，同比增長7.9%.傳統(tǒng)產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級，新興產(chǎn)業(yè)蓬勃

發(fā)展，新興生產(chǎn)力加快形成，多項電力指標折射出經(jīng)濟運行的新動能、新趨勢.數(shù)據(jù)74000億用科學記數(shù)法

表示為（）

A.7.4x10，B.0.74xlO5C.7.4xl012D.7.4x10s

【即時訓練】

2.（24-25七年級上?安徽蚌埠?階段練習）小華在做練習題時，穴小心把墨水灑在了習題上，如圖所示，他

翻看答案后得知本題的正確答案選8,則原數(shù)中數(shù)字“3”后“0”的個數(shù)為（）

長江是世界第三長河，也是亞洲最長的河流，全長約63米，將63用科學記數(shù)法表示為（）

A.63xl05B.6.3xlO6C.0.63xlO7D.6.3xl07

A.3個B.4個C.5個D.6個

知識點04近似數(shù)

1,近似數(shù)概念：在實際問題中，由“四舍五入”得到的數(shù)或大約估計的數(shù)都是近似數(shù)。（近似數(shù)小數(shù)點后

的末位數(shù)是0的，不能去掉0.）

2、有效數(shù)字概念：一個近似數(shù)從左邊第一位非0的數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效

數(shù)字。一個近似數(shù)有幾個有效數(shù)字，就稱這個近似數(shù)保留幾個有效數(shù)字。

3、精確度：表示一個近似數(shù)與準確數(shù)的接近程度，一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就稱這個數(shù)精確到哪

一位。

【即時訓練】

1.（24-25七年級上?安徽亳州?期中）用四舍五入法把9.99精確到十分位得到的近似數(shù)是（）

A.10B.10.0C.10.00D.9.0

【即時訓練】

區(qū)生產(chǎn)總值統(tǒng)一核算結(jié)果.2024年安徽省地區(qū)生產(chǎn)總值為50625億元.其中數(shù)據(jù)“50625億”用科學記數(shù)法表

示為（）

A.5.0625xlOKB.50625x10sC.50625xIO10D.5.0625xlO12

2.（2025?安徽馬鞍山?模擬預測）將631000000用科學記數(shù)法表示為.

3.（24-25七年級上?安徽池州?期中）現(xiàn)需要將長為150cm,寬為120cm，高為75cm的大理石運往某地修建

革命歷史博物館.

（1）求每塊大理石的體積.（結(jié)果用科學記數(shù)法表示）

（2）如果一列火車總共運送了2000塊大理石，每塊大理石約重3500千克，估計這列火車總共運送了多少噸

大理石.

4.（24-25七年級上?安徽池州?階段練習）“十?一”期間，沐陽虞姬生態(tài)公園在7天中每天游客的人數(shù)變化如

下表（正數(shù)表示比前一天多的人數(shù)，負數(shù)表示比前一天少的人數(shù)）.若9月30日的游客人數(shù)為1萬人

日期10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日

人數(shù)變化

+1.6+0.8+0.4-0.4-0.8+0.2-1.2

單位；萬人

（1）請判斷七天內(nèi)游客人數(shù)最多的是哪天？請說明理由.

（2）建生態(tài)公園的目的一般有兩個，一方面是給廣大市民提供一個休閑游玩的好去處；另一方面是拉動內(nèi)需,

促進消費.如果進園的人每人平均消費10元，問“十?一”期間所有在園人員在生態(tài)園的總消費是多少元？

【典型例題二求一個數(shù)的近似數(shù)】

【例1】（24-25七年級上?安徽蚌埠?期中）5.4072精確到百分位的近似數(shù)是（）

A.5.4B.5.40C.5.407D.5.41

【例2】（24-25七年級上?湖南長沙?期末）將5.807用四舍五入法精確到百分位為

【例3】（24-25七年級上?安徽阜陽,期中）按括號里的要求，用四舍五入法對下列各數(shù)取近似數(shù):

（1）1.596（精確到0.01）

（2）0.03057（精確到千分位）

（3）2345000（精確到萬位）

（4）60290（保留兩個有效數(shù)字）

0變式訓練

1.（24-25七年級上?河北秦皇島?階段練習）一個三位小數(shù)、四舍五入保留兩位小數(shù)后是4.00.則這個三位

小數(shù)最小是（）

A.4.004B.3.995C.3.994D.3.95

2.（24-25七年級上?浙江杭州,期中）下列對1598000取近似數(shù)，其中描述正確的是.（填序號）

①取近似數(shù)1.60x1（）6是精確到萬位；

②取近似數(shù)2x10、是精確到個位：

③精確到十萬位得到的近似數(shù)為1.5x1；

④精確到百位得到的近似數(shù)為1.598x1O'.

3.（24-25七年級上?全國?課后作業(yè)）用四舍五入法，把下列各數(shù)按括號內(nèi)的要求取近似值.

（1）0.2595（精確到千分位）；（2）3.592（精確到0.01）；

（3）20049（精確到百位）：（4）233（）萬（精確到百萬位）.

4.（2025七年級上?浙江?專題練習）把一個四位整數(shù)先四舍五入到十位，再把所得的數(shù)字四合五入到百位,

然后再把所得的數(shù)字四舍五入到千位，這時的數(shù)字是4x103,你能說出這個數(shù)的最大值和最小值嗎？它們的

差是多少？

【典型例題三有理數(shù)塞的概念理解】

【例1】(2025?河北唐山?模擬預測)若。為整數(shù)，則表示的是()

A.3個/相乘B.2個/相加C.3個/相加D.5個。相乘

【例2】(2025七年級上?全國?專題練習)(1)在(-5)3中，底數(shù)是,指數(shù)是；

(2)在-5?中，底數(shù)是,指數(shù)是,意義是.

【例3】(24-25七年級上?全國?假期作業(yè))把下列各式寫成乘方的形式，并指出底數(shù)、指數(shù)各是什么.

(l)(-2)x(-2)x(-2)

2222

(2)—x—x—x—

3333

z-v

(3)m-?-m--m----m-‘

、/2"個

0變式訓練

1.(24-25七年級上?湖南永州?階段練習)下列判斷中，(1)1是最小的自然數(shù)：(2)正數(shù)、零、負數(shù)統(tǒng)稱

2>

為有理數(shù)；(3)-32的底數(shù)為一3；(4)。、力互為相反數(shù)，則。+6=0；(5)當》=彳時，x2=—,正確的

33

個數(shù)為()

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.(24-25七年級上?江蘇泰州?階段練習)下列說法：①若國+*=0,則x<0；②若x為有理數(shù)，且工工(),

則③若且忖<3,則k+y|=-kl+M；④若x=L則x=i；⑤…t(。為

X0

正整數(shù)).其中說法正確的是.(填序號)

3.(24-25七年級上?福建三明?期中)(1)計算下面兩組算式:

①(3x5)2與32x52；

②[(—2戶3]2與(-2)2x32；

(2)根據(jù)以上計算結(jié)果猜想：(訪戶=_(直接寫出結(jié)果)

(3)猜想與驗證：當〃為正整數(shù)時，(?！?〃等于什么?請你利用乘方的意義說明理由.

4.(24-25七年級上?江蘇南京?階段練習)概念學習

規(guī)定：求若干個相同的有理數(shù)(均不等于0)的除法運算叫做除方，如2+2+2,(-3)+(-3)+(-3)-

(-3)等.類比有理數(shù)的乘方，我們把2+2+2記作2③，讀作“2的圈3次方"，(?3)+(-3)+(-3)-

(-3)記作(-3)④，讀作“-3的圈4次方”，一般地，把空/士(的))記作一,讀作Z的圈〃次

方”.

初步探究

(1)直接寫出計算結(jié)果：2③=_，1之=_；

(2)關(guān)于除力，下列說法錯誤的是

A.任何非零數(shù)的圈2次方都等于1：

B.對于任何正整數(shù)〃，1的圈〃次方都等于I；

C.3④=4③

D.負數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負數(shù)，負數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù).

深入思考：

我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉(zhuǎn)化為加法運算，除法運算可以轉(zhuǎn)化為乘法運算，有理數(shù)的除方運算如

何轉(zhuǎn)化為乘方運算呢？

乘方

事的形式

(1)試一試：仿照上面的算式，將下列運算結(jié)果直接寫成幕的形式.

(-3)的圈4次方=；5的圈5次方=:(-'的圈6次方=.

(2)想一想：將一個非零有理數(shù)。的圈〃次方寫成暴的形式等于

(3)算一算：24+2,+(-8)x2③.

1【典型例題四求近似數(shù)的精確度】

[例1](2025?山東濰坊?模擬預測)某市2025年參加中考的學生數(shù)大約為998x104人，下列關(guān)于這個近似

數(shù)說法正確的是()

A.精確到百位，有3個有效數(shù)字B.精確到百位，有5個有效數(shù)字

C.精確到百分位，有3個有效數(shù)字D.精確到百分位，有5個有效數(shù)字

【例2】(24-25七年級上?江蘇揚州期中)揚州是全國文化歷史名城，世界美食之都.揚州包了，揚州炒飯，

揚州三頭宴等特色美食吸引著全國各地的游客，據(jù)統(tǒng)計，剛剛過去的國慶假期，揚州共接待游客約80L6萬

人次，801.6萬精確到位.

【例3】(2025七年級上?浙江?專題練習)指出下列各近似值精確到哪一位.

(1)56.3

⑵5.630

(3)5.63x10°

(4)5.630萬

(5)0.017

(6)3800.

0變式訓練

1.(24-25七年級上?河南鶴壁?期中)下列說法正確的是()

A.近似數(shù)0.0158精確到0.001B.近似數(shù)304.35精確到百分位

C.近似數(shù)1.804精確到萬分位D.近似數(shù)6.237xW精確到0.001

2.(24?25七年級上?江蘇無錫,期中)數(shù)據(jù)1.44x106是四舍五入得到的近似數(shù)，其精確的數(shù)位是

3.(2025七年級?全國?專題練習)下列由四舍五人得到的近似數(shù)，各精確到哪一位？

(1)600萬

(2)7.03萬

(3)5.8億

(4)330x105

4.12025七年級上?江蘇?專題練習)下列各數(shù)都是由四舍五入法得到的近似數(shù)，它們分別精確到哪一位？各

有幾個有效數(shù)字？

(1)小紅的體重為45.0千克；

(2)小明的媽媽的年薪約為5萬元；

(3)月球軌道呈橢圓形，遠地點平均距離為4.055x1()5千米.

以【典型例題五有理數(shù)的乘方運算】

【例1】(24-25七年級上?四川樂山?期木)下列運算中，正確的是().

A.(-2)2=-4B.-22=4C.32=6D.(-3)3=-27

【例2】(24-25七年級上?上海?階段練習)計算：(-2戶2，(-2)3=.(用2的乘方表示)

【例3】(24-25七年級上吶蒙占包頭?期中)觀察下列兩組算式：

①22x3]與(2x3)2；

②卜(Ix2哪舒2]?

(1)每組兩個算式的結(jié)果是否相等？

(2)根據(jù)(1)的結(jié)果猜想夕等于什么？

/1\2024

(3)用(2)的結(jié)論計算-x(-5嚴.

<5/

0變式訓練

L(鼎成大聯(lián)考2。25年河南省普通高中招生考試試卷(H)數(shù)學)計算作答的結(jié)果是()

2mC網(wǎng)28

A.yB.—D.

3”.3〃3〃

2.(2025?四川廣安?模擬預測)一般地，〃個相同的因數(shù)a相乘，a。?。…七記作a",如2x2x2=23=8.此

時，3叫做以2為底的8的“勞格數(shù)”,記為4(8),則4(8)=3.一般地，若優(yōu)=b(。＞0且《工1),則〃

叫做以。為底的〃的“勞格數(shù)”，記為4e)=〃，如3,=81,則4叫做以3為底的81的“勞格數(shù)”，記為

4(81)=4.則4(9),4(27),4(243)滿足關(guān)系式.

3.(24-25七年級上?遼寧大連?期末)規(guī)定兩數(shù)。乃之間的一種運算，記作["J小如果/=人那么

[a,b]=c,

例如：因為24=16,所以[2,16]=4.

(1)[3,27]=,[，-8]=3；

(2)令1=卜2,-2],2=[-2,4],3=[-2,-8],4=[-2,16],5=[-2,-32]……,則9=[-2,],〃=[-

2,]：

(3)令〃=[-2閔，〃+1=卜2也],〃+2=[-2也],若4+&+4=3072,求〃的值.

4.(24-25七年級上,重慶巴南?階段練習)閱讀下列材料，解決問題.

材料一：對于任意有理數(shù)。，b,定義新運算“十"：a?b=a-b^.

10199(10H.101.

例如：4十5=4-5+-^-二5,4十5十6=(4十5)十6=|4—5+———6+——=9n4；

2)2

材料二：規(guī)定[”表示大于x的最小整數(shù)，例如：[2.2)=3,[T.6)=-l,3[5)=3x6=18根據(jù)上述材料解答

下列問題：

⑴4十8=；[-5.1『=.

(2)求I十2十3十4十5十6十7十8十9的值.

⑶若有理數(shù)p,夕滿足〃=3⑷+2=4的+1),求p十⑷的值.

【典型例題六有理數(shù)乘方逆運算】

【例1】(24-25七年級上?江蘇鹽城?期中)如果/=16,則。是()

A.8或一8B.-4C.4D.4或一4

【例2】(24-25七年級上?江蘇泰州?期中)如圖，在卜列計算程序中填寫適當?shù)臄?shù)

/"一/

r7Ari

/輸出25/

4

【例3】（24-2S七年級上?上海奉聆?階段練習）己知〃階=9—ni'=-2.—=—,其中〃、，"、〃均為正

⑴9

整數(shù)，

（I）根據(jù)題意，可求得_，m=_，〃=_；

⑵計算的值；

0變式訓練

I.（24-25七年級上?甘肅蘭州?期中）《莊子?天下篇》講到：“一尺之趣，日取其半，萬世不竭”意思是說一

尺長的木棍，每天截取它的一半，千秋萬代也截不完.一天之后'一尺之趣"剩:尺，兩天之后剩!尺，那么

24

五天之后，這個“一尺之植”還剩（）

A.:尺B.；尺C.5尺D.5尺

2.（24-25七年級上?江蘇南京?階段練習）已知/=36,那么片；的立方等于-64.

3.（24-25七年級上?貴州銅仁?期中）某學習小組學習了塞的有關(guān)知識發(fā)現(xiàn)：根據(jù)d=6,知道。，用可以

求b的值.如果知道。，?？梢郧蟆?的值嗎？他們?yōu)榇诉M行了研究，規(guī)定：若優(yōu)=b,則?。?。力）=〃，.例如:

V=81,Olli7(3,81)=4.

(1)填空："2,2)=；

(2)計算:以2,4)+哈,9

4.（24-25七年級上?江蘇南京?階段練習）若有理數(shù)x,），滿足|j，|=2,/=64,且卜-二x-）：,求X+N的

值.

k|=2,?')=.

vr=64,.

^'\x-y\=x-yf^x-yo.

?,?當時，x-y=：

當時，x-y=.

?【典型例題七算“24"點】

【例1】（24-25七年級上?廣東佛山?開學考試）“算24點”的游戲規(guī)則是:用"+,x,+”…四種運算符

號把給出的4個數(shù)字連接起來進行計算，要求最終算出的結(jié)果是24,例如，給出2,2,2,8這四個數(shù)，

可以列式（2+2+2）X8=24.以下的4個數(shù)用"+,-，x,”四種運算符號不能算出結(jié)果為24的是（）

A.1,6,8,7B.1,2,3,4C.4,4,10,10D.6,3,3,8

【例2】（24-25七年級上?廣東佛山?期末）游戲“24點”規(guī)則如下：從一副撲克牌（去掉大王、小王）中任意

抽取4張，根據(jù)牌面上的數(shù)字進行混合運算（每張牌必須用一次且只能用一次），使得運算結(jié)果為24,其中

紅色（方塊、紅桃）撲克牌代表負數(shù)，黑色（梅花、黑桃）撲克牌代表正數(shù).請用如圖抽取出的4張牌，寫

出一個符合規(guī)則的算式：.

【例3】（24-25七年級上?河北廊坊?期中）如圖，現(xiàn)有5張卡片寫著不同的數(shù)字，利用所學過的加、減、乘、

除、乘方運算按要求解答卜.列問題.

向SEES5

（1）①從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的和最小，則和的最小值為：

。從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字相除的商最大，則商的最大值為.

（2）從中任意取出4張卡片（每張卡片上的數(shù)字只能用一次），使這4張卡片上的數(shù)字運算結(jié)果為24,寫出兩

個不同的等式.

［等變式訓練

1.（24-25七年級上?福建寧德?期中）小新玩“24點”游戲，游戲規(guī)則是對數(shù)進行加、減、乘、除混合運算

（每張卡片只能用一次，可以加括號）使得運算結(jié)果是24或一24.小新已經(jīng)抽到前3張卡片上的數(shù)字分

別是臼叵］叵］,若再從下列4張中抽出1張，則其中不能與前3張算出“24點”的是（）

A.|2|B.|3Ic.|4|D.|5|

2.（24-25七年級上?四川成都?開學考試）有1、3、4、6四個數(shù)字，通過加、減、乘、除四則運算，可以使

用括號，怎么樣能得到24點.

3.（24-25七年級上?全國?單元測試）笑笑從一副撲克牌中抽出如下四張，根據(jù)牌面上的數(shù)字進行混合運算

（每張牌必須用?次且只能用?次，可以加括號），其中紅色撲克牌代表負數(shù)，黑色撲克牌代表正數(shù)，使得

運算結(jié)果為24或-24,請你幫她寫出兩個符合要求的算式.

4.（24?25七年級上?浙江舟山?期中）“24點”游戲是同學們熟知的數(shù)學游戲，游戲規(guī)則是利用加、減、乘、

除（可加括號），將這四個數(shù)列式進行運算（四個數(shù)都要用到且都只能使用1次），使其結(jié)果為24.

例如：①2、3、4、8：（4+2-3）K8=24：②2、4、一4、-4：2x4+（-4）x（-4）=24.

（1）請用一個算式完成下列兩組數(shù)據(jù)的“24點”運算.

①1、2、3、6；②-1、-3、4、4.

（2）若“24點”游戲規(guī)則在原有四則運算基礎(chǔ)上加入乘方計算，即四個數(shù)中的一個數(shù)可以用做指數(shù)，例如2、

3、4、4可以這樣計算：3x4x（4-2）=24也可以這樣計算：2，+4x4=24.請利用上述運算規(guī)則列式完成

2、-3、-4、5的“24點”計算，要求用2種方法.

國【典型例題八乘方運算的符號規(guī)律】

【例1】（24-25七年級上?湖南湘潭?階段練習）若（-4期>0,則一定有（）

A.a>0B.。=0C.a<0D.a>（）

【例2】（24-25七年級上?廣東揭陽?期末）計算：（一丁+（一1）2+（一1）3+?..+（一1-=

【例3】（2023七年級上?全國?專題練習）判斷下列各式計算結(jié)果的正負：

（2）（-0.0033）9；

（3）-5s;

⑷閨?

0變式訓練

1.（24-25七年級上?福建廈門?期末）觀察下列三組數(shù)的運算：（-2）3=-8,—/=—8:（-3>=-27,

-3s=-27；（-4）3=-64,-43=-64.聯(lián)系這些具體數(shù)的乘方，可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律.下列用字母。表示的式子：①

當a<0時，/=（_/；②當八0時，—/二（一。）3.其中表示的規(guī)律正確的是（）

A.@B.@C.①、②都正確D.①、②都不正確

2.（2025七年級上?全國?專題練習）觀察下面一列數(shù)：-1，2,-3,4,-56-7,…，將這列數(shù)排成如圖的圖

形.按照此規(guī)律排下去，那么第10行從左邊數(shù)第1個數(shù)是,數(shù)2024是第行從左邊數(shù)第

個數(shù).

-1

2-34

-56-78-9

10-1112-1314-1516

3.（24-25七年級上?江蘇?周測）已知月-28=7/-7g，=+6aZ>+7

⑴求力等于多少？

（2）試比較6/與58的大小.

4.（24?25七年級上?上海徐匯?期中）要求級+22+23+…+299+2」的值等于多少，直接求非常困難,因為

是一個非常大的數(shù).因此，我們可以用方程的方法來做.

設(shè)X=2,22+23+…+2"+2%

則有axuaQi+zz+zs+-TzR+zi00),

即2x=2?+23+…+23+2刈，

作簡單的變形：2X-X=22+23+--+2,00+210,-(2,+22+23+---+299+2,0°),

則1=2*2.

請你在理解基礎(chǔ)上，模仿上述方法求卜式的值:

(1)1+6+62+6?+---+6,00.

(2)*g+*11

+…+源+酒?

厚【典型例題九含乘方的有班數(shù)混合運算】

【例1】（24-25七年級上?江西宜春?期末）我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打

結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計數(shù)”，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，采取滿七進一的方式，用來記

錄孩子自出生后的天數(shù).例如圖1表示的是孩子出生后30天時打繩結(jié)的情況（因為：4x7,2x7°=30）,

那么由圖2可知，孩子出生后的天數(shù)是（）天

D.510

【例2】（24-25七年級上?黑龍江哈爾濱?期中）計算機使用的“二進制記數(shù)法”具有劃時代的意義.二進制是

逢二進一，其各數(shù)位上的數(shù)字為0或1.例如，（100）就是二進制數(shù)的簡單寫法，將它轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)為:

1X23+0X22+0X2,+1X2°=9.那么將。1⑼2轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)，這個十進制數(shù)是

【例3】(24?25七年級上?廣東廣州?階段練習)計算:

⑴90-(-3)

(2).81)+卜2撲打8)

⑶卜3：)+(+\]+(_0.5)+：+3;

I2八6J56

(4)4X(-3)2-5X(-2)+6

崎變式訓練

1.（24-25七年級上?山東德州?階段練習）計算1+3.+2+…士？+…的結(jié)果是（）

州個3/r個4

A.3〃？+4"B.m3+4iiC.3"'+4〃D.3〃？+/

2.（2025?甘肅定西?模擬預測）對于任意實數(shù)a,b,定義關(guān)于“合”的一種運算如下：b=/+例如:

5（B2=52+5X2=35.則（-3）?2=.

3.(24-25七年級上?北京?期中)計算:

(1)|-20)+(+3)-(-5)-(+7)

(5)-I0+8^-(-2)2-(-4)X(-3)

X(1)七2一(—3月

(6)-14-(1-0.5)

4.(24-25七年級上?四川成都?期中)【概念學習】規(guī)定：求若干個相同的有理數(shù)(均不等于0)的商的運算

叫做除方，比如2+2+2,(-3)+(-3)+(-3)+(-3)等，類比有理數(shù)的乘方，我們把2?2+2寫作2③，讀作“2的

圈3次方”，(—3)+(—3)+(—3)+(—3)寫作(—3)④，讀作“(一3)的圈4次方”，一般地，把"…

寫作o@,讀作“。的圈〃次方

【初步探究】(1)直接寫出計算結(jié)果：2③=_；

【深入思考】我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉(zhuǎn)化為加法運算，除法運算可以轉(zhuǎn)化為乘法運算，有理數(shù)

的除方運算如何轉(zhuǎn)化為乘方運算呢？

乘方某

除方

的形式

（2）試一試：仿照上面的算式，把除方運算寫成哥的形式：（-3廣，。向（。=0,〃23）

（3）算一算：122+（-；）④x（-2）⑥-（-；）⑥+3?.

境［典型例題十程序流程圖與有理數(shù)計算】

【例1】（24-25七年級上古林長春期中）按如圖所示的運算程序，輸入x的值為1,則輸出的y的值為

（）

A.-1B.-4C.11D.116

【例2】（24-25七年級上?上海?期中）如圖所示,若輸入的分數(shù)是:,則輸出的分數(shù)是一

【例3】（24-25七年級上?山西朔州?期中）數(shù)學活動小組設(shè)計出如下的運算程序：任給一個正整數(shù)〃，若〃

是偶數(shù)，則將〃除以2；若〃是奇數(shù)，則將〃乘以3再加1.重復這樣的運算，經(jīng)過有限次后，得到結(jié)果為

1并輸出.

根據(jù)運算程序，解答下列問題：

（1）小組同學輸入7,求運算一次后的結(jié)果：

（2）小組同學輸入一個數(shù)，在沒有輸出前，每次運算的結(jié)果都是偶數(shù)，經(jīng)過4次運算輸出1,請直接寫出同學

們輸入的數(shù).

0變式訓練

1.124-25七年級上?陜西西安?期末）如圖是小宇用計算機設(shè)計的一個有理數(shù)運算的程序框圖，若輸入的數(shù)。

為1,則輸出的結(jié)果是（）

否

27273

A.B.D.

T8042

2.（24-25七年級上貴州遵義期中）程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中的“更相減

損術(shù)執(zhí)行如圖所示的程序框圖：如果第一次輸入的數(shù)是60,則最后輸出的結(jié)果為

3.（24-25七年級上?全國?期木）如圖，是一個“有理數(shù)轉(zhuǎn)換器”：箭頭是指數(shù)進入轉(zhuǎn)換器的路徑，力框是對

進入的數(shù)進行轉(zhuǎn)換的轉(zhuǎn)換器）.

（1）當小明輸入3、-2023這三個數(shù)時，這三次輸出的結(jié)果分別是:

（2）你認為當輸入什么數(shù)時，其輸出結(jié)果是0?

⑶你認為這個“有理數(shù)轉(zhuǎn)換器''不可能輸出什么數(shù)？

4.（24-25七年級上?河北石家莊?期中）P,Q,K所表示的運算如下表.若給出一個數(shù)，根據(jù)P,。，K的

排列順序不同，可以得到不同的算式并計算結(jié)果.

K+4

⑴所給數(shù)字為“-4”時，

①按。fKT2的順序列式并計算；

②那TPTQ的順序列式并計算.

(2)若給出某個數(shù)，按K-P-。的順序運算的結(jié)果為14,求符合條件的數(shù).

例如：所給數(shù)字為“5”.按尸-。fK的順序運算.列得算式：

(5-3)x(—2)+4.

計算：

原式=2x(—2)+4

=(-4)+4

=0.

國【典型例題十一乘方的應(yīng)用】

【例1】(24-25七年級上?甘肅張掖?期末)如圖是一張長20cm、寬10cm的長方形紙片，第一次裁去一半,

第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第6次裁剪后剩下的長方形的面積是()

10cm

20cm

B.200x(1—/

A.200x—cm2cm?

I

C.200x—cm2D.200xI一一-cm2

7

2I27yl

【例2】（24-25七年級上?遼寧盤錦?期中）細菌是靠分裂進行生殖的，也就是1個細菌分裂成2個細菌，分

裂完的細菌長大以后又能進行分裂.例如，圖中所示為某種細菌分裂的電鏡照片，顯示這種細菌每20分鐘

就能分裂一次.1個這種細菌經(jīng)過5個小時可以分裂成個細菌.

細侑的分裂生殖

【例3】（24-25七年級上?全國?單元測試）如圖所示的長方體的容器，AB=BC,BB'=3AB巨這個容器的

容積為192立方分米.求這個長方體容器底面邊長力用的長為多少分米？

0變式訓練

1.（24?25七年級上?山西晉中?期中）如圖,某種細胞每過30min便由1個分裂成2個.經(jīng)過6h,這種細胞能

由1個分裂成（）

c/⑥

⑨一

<

A.12個B.122個CD.產(chǎn)不

2.(24-25七年級上?遼寧錦州?期中)如圖，將一個邊長為2的正方形紙片分割成7個部分，剖分①是邊長

為2的止方形紙片面積的一半，部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，依此類推，則

圖中陰影部分以外的面積是1

3.124-25七年級上?江西景德鎮(zhèn)?期中)在一次數(shù)學興趣小組活動中，老師和幾個同學在一起探討：在a”=b

中，a,/),〃三者的關(guān)系，如果已知。，的值，可以求〃的值嗎?他們對此進行了研究，規(guī)定；若

a"=b,則/(。力)=〃，例如；若23=8,則*2,8)=3.

⑴「(2』6)=

(2)請你計算:F(4,64)+F(-3,-27)

4.(24-25七年級上?山東泰安?期中)數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學問題的一種重要思想方法.我們經(jīng)常用數(shù)形結(jié)合、

數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法解決一些數(shù)學問題.如圖所示，將一個邊長為1的正方形紙片分制成6個部分，部分①的

面積是邊長為1的正方形紙片面積的一半，部分②的面積是部分①面積的一半，部分③的面積是部分②面

積的一半，依此類推.

(1)陰影部分的面積是

+5的值.

(2)受(1)的啟發(fā)，試求出5+9+9+

(3)進而計算：；+*+[?+…-+親=

【典型例題十二有理數(shù)乘方的新定義運算】

【例1】（24-25七年級上?遼寧葫蘆島?階段練習）設(shè)〃7、〃是實數(shù)，定義一種新運算：加③〃=下

面四個推斷正確的是（）

A.203=302B.（203）2=22@32

C.(203)04=2?(3?4)D.20（3-4）=（203）-（2?4）

【例2】（24-25七年級上?重慶?期末）定義新運算：〃忌〃=獷-〃，例如：（-2）&3=（-2）3-3=-8-3=-11,

則（1&4）&3=

【例3】（2025七年級上?全國?專題練習）中考新考法?新定義現(xiàn)規(guī)定一種新的運算=例如,

3*2=32=9.計算下列各式:

(1\

-3.5-—x4I★(-2+4).

I8J

⑥變式訓練

1.（24-25七年級上?四川眉山?期末）定義一種對正整數(shù)〃的“C運算”：①當〃為奇數(shù)時，結(jié)果為3〃+1；（2）

當”為偶數(shù)時，結(jié)果為￡（其中七是使g為奇數(shù)的正整數(shù)）并且運算重復進行，例如：〃=66時，其“。運

算”如下：

C②C①.C@——

6633100r、125

第1次”第2次第3次?——

若尸=26,則第2023次“C運算”的結(jié)果是()

A.4B.1C.16D.-

2

2.（2025七年級上?全國?專題練習）學習情境?新定義定義新運算：刈于任意有理數(shù)。和田規(guī)定:

ab2(a>b)則[(-3)③2]③,g

a?h='

-ab2(?<b)

3.(2025七年級上?全國?專題練習)(中考新趨勢?新定義)用符號〃表示一種運算，它對整數(shù)和分數(shù)的運

算結(jié)果分別如下：

M|l)=-2,M(2)=-l,M(3)=0,M(4)=l,...

——,M

4

利用以上規(guī)律計算:

⑴W(28)xM(]

I,，

4.(24-25七年級上?廣東江門?階段練習)【概念學習】定義新運算：求若干個相同的有理數(shù)(均不等于())

的商的運算叫做除方.比加2?2-2,(-3)+(-3)+(-3)+(-3)等.類比有理數(shù)的乘方，我們把2?2+2寫作

2③，讀作“2的圈3次方”,(-3)+(-3)+(-3)+(-3)寫作(-3)④，讀作”(-3)的圈4次方”.一般地,把絲皚出

記作：廬，讀作的圈〃次方”.特別地，規(guī)定：〃①二〃.

【初步探究】

(1)直接寫出計算結(jié)果：2024②=_;f-等丫=_；

2025；

(2)若〃為任意正整數(shù)，下列關(guān)于除方的說法中，正確的有二(橫線上填寫序號)

A.任何非零數(shù)的圈2次方都等于1

B.任何非零數(shù)的圈3次方都等于它的倒數(shù)

C.圈〃次方等于它本身的數(shù)是1或T

D.負數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負數(shù)，負數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)

E.互為相反數(shù)的兩個數(shù)的圈〃次方互為相反數(shù)

F.互為倒數(shù)的兩個數(shù)的圈〃次方互為倒數(shù)

【深入思考】我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉(zhuǎn)化為加法運算，除法運算可以轉(zhuǎn)化為乘法運算，那么有

理數(shù)的除方運算如何轉(zhuǎn)化為乘方運算呢？

（3）請把有理數(shù)。（。*（））的圈〃（"之3）次方寫成累的形式：〃"=_；

/[、④

（4）計算：--x（-7）?.

k2）

過關(guān)檢測

1.（2025?安徽滁州?模擬預測）據(jù)農(nóng)業(yè)農(nóng)村部鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)高質(zhì)量發(fā)展會議指出，到2025年，預計鄉(xiāng)村休閑旅

游年接待游客人數(shù)超過40億人次，將40億用科學記數(shù)法表示為（）

A.4xl08B.40x101fC.4xl09D.4x10'°

2.（24-25七年級上山東德州?期中）一個數(shù)。精確到十分位的結(jié)果是3.6,那么這個數(shù)。的范圍滿足（）

A.3.55<a<5.3B.3.55<u<3.65C.3.55<a<3.65D.3.55<a<3.65

3.（24-25七年級上,河北唐山?期中）通過計算器計算發(fā)現(xiàn)：1F=]2i，m2=i232i,UIF=1234321

按照以上的規(guī)律計算111111r的結(jié)果是（）

A.123454321B.1234564321

C.1234567654321D.123456787654321

4.（2025?安徽池州?模擬預測）利用如圖1的二維碼可以進行身份識別.某校建立了一個身份識別系統(tǒng)，圖

2是某個學生的識別圖案，黑色小正方形表示1,白色小正方形表示0,將第一行數(shù)字從左到右依次記為明

b,c,d,那么可以轉(zhuǎn)換為該生所在班級序號，其序號為ax23+/）x22+cx2i+d,如圖2第一行數(shù)字從左

到右依次為0,1,0,1,序號為0x2'+lx22+0x2i+l=5,表示該生為5班學生，那么表示9班學生的識

別圖案是（）

□□

□

圖2

5.（24-25七年級上?云南昆明?期末）二進制在計算機科學中有廣泛的應(yīng)用，計算機和依賴計算機的設(shè)備都

使用二進制來表示數(shù)字和數(shù)據(jù).二進制是逢二進一，其各數(shù)位上的數(shù)字為0或1,并利用角標表示二進制數(shù),

例如，（IO"%就是二進制數(shù)10UH勺簡單寫法.在學習教科書《進位制的認識與探窕》以后，小明查閱了資

料并進行了思考，發(fā)現(xiàn)以下兩種方法均可實現(xiàn)二進制與十進制之間的轉(zhuǎn)換.

以98為例:

方法一：因為98=64+32+2

=1X26+1X25+0X24+0X23+0X22+1X2'+0X2°

所以98=(1100010)2.

方