2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)基本國際產(chǎn)品創(chuàng)新組織競賽素養(yǎng)試卷一、選擇題（共10題，每題4分，共40分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-3，2）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A.（3，-2）B.（3，2）C.（-3，-2）D.（-2，3）下列計(jì)算正確的是（）A.a2+a3=a?B.(a2)3=a?C.a?÷a2=a3D.a2·a3=a?已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，則這個(gè)多邊形是（）A.五邊形B.六邊形C.七邊形D.八邊形若關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A.k<1B.k>1C.k≤1D.k≥1如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=1，則EC的長是（）A.1.5B.2C.2.5D.3下列事件中，屬于必然事件的是（）A.明天會下雨B.打開電視，正在播放廣告C.三角形的內(nèi)角和等于180°D.擲一枚均勻的硬幣，正面朝上已知一次函數(shù)y=kx+b的圖像經(jīng)過點(diǎn)（1，3）和（-1，-1），則這個(gè)一次函數(shù)的解析式是（）A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=-2x+1D.y=-2x-1如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，若∠CAB=40°，則∠ADC的度數(shù)是（）A.40°B.50°C.60°D.70°若點(diǎn)P（m，n）在反比例函數(shù)y=6/x的圖像上，則代數(shù)式mn-1的值是（）A.5B.6C.7D.8如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以點(diǎn)C為圓心，r為半徑作圓，若⊙C與斜邊AB相切，則r的值是（）A.2B.2.4C.2.5D.3二、填空題（共6題，每題4分，共24分）分解因式：x3-4x=______。函數(shù)y=√(x-2)中，自變量x的取值范圍是______。已知一組數(shù)據(jù)：2，3，5，7，8，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是______。若tanα=1/2，則sinα=______。如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD上的一點(diǎn)，若四邊形AECF是菱形，則AF的長是______。觀察下列等式：1=121+3=221+3+5=321+3+5+7=42...根據(jù)以上規(guī)律，1+3+5+...+(2n-1)=______（用含n的代數(shù)式表示）。三、解答題（共8題，共86分）17.（8分）計(jì)算：(-1)2?2?+√16-|2-√3|+2sin60°。18.（8分）先化簡，再求值：(x+1)2-(x+2)(x-2)，其中x=1/2。19.（10分）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F。求證：DE=DF。20.（10分）某校為了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖。請根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖信息，解答下列問題：（1）本次調(diào)查共抽取了多少名學(xué)生？（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）若該校共有1200名學(xué)生，估計(jì)該校課外閱讀時(shí)間在“1-2小時(shí)”的學(xué)生有多少名？21.（10分）某商店準(zhǔn)備購進(jìn)A、B兩種商品，已知購進(jìn)A商品3件和B商品2件，共需120元；購進(jìn)A商品5件和B商品4件，共需220元。（1）求A、B兩種商品每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元？（2）若該商店準(zhǔn)備用不超過1000元購進(jìn)這兩種商品，且A商品數(shù)量不少于B商品數(shù)量的2倍，問最多能購進(jìn)A商品多少件？22.（12分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，速度為1個(gè)單位/秒；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB方向向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，速度為2個(gè)單位/秒。設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒（0<t<4）。（1）用含t的代數(shù)式表示線段PC和CQ的長度；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ的面積為8？（3）在P、Q運(yùn)動過程中，線段PQ的長度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，說明理由。23.（14分）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）。（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，且在第四象限，當(dāng)點(diǎn)P到直線BC的距離最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)M是拋物線上一動點(diǎn)，點(diǎn)N是x軸上一動點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)B、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。24.（14分）已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），以AD為邊作△ADE，使AD=AE，∠DAE=α，連接CE。（1）如圖1，當(dāng)α=60°時(shí)，求證：△ABD≌△ACE；（2）如圖2，當(dāng)α=90°時(shí)，①求證：CE⊥BC；②若BD=1，DC=3，求AD的長；（3）在（2）的條件下，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E落在BC邊上時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)。四、創(chuàng)新實(shí)踐題（共1題，共20分）某數(shù)學(xué)興趣小組在探究“最短路徑問題”時(shí)，遇到如下問題：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)P是x軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)Q是y軸上一動點(diǎn)，當(dāng)四邊形APQB的周長最小時(shí)，求點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)及四邊形APQB周長的最小值。該小組經(jīng)過討論，提出了如下解題思路：（1）利用軸對稱的性質(zhì)，分別作出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A'，點(diǎn)B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B'；（2）連接A'B'，與x軸交于點(diǎn)P，與y軸交于點(diǎn)Q，則此時(shí)四邊形APQB的周長最?。唬?）根據(jù)點(diǎn)A'、B'的坐標(biāo)，求出直線A'B'的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)及四邊形APQB周長的最小值。請你根據(jù)上述解題思路，完成下列問題：（1）作出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A'，點(diǎn)B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B'，并直接寫出點(diǎn)A'、B'的坐標(biāo)；（2）求出直線A'B'的解析式；（3）求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)及四邊形APQB周長的最小值；（4）拓展探究：若點(diǎn)P是x軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)Q是平面內(nèi)一動點(diǎn)，當(dāng)△APQ的周長最小時(shí)，請直接寫出點(diǎn)Q的運(yùn)動軌跡。五、綜合應(yīng)用題（共1題，共30分）某公司計(jì)劃開發(fā)一款新型智能學(xué)習(xí)臺燈，需要對其照明效果進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。已知臺燈的照明區(qū)域可以近似看作一個(gè)圓形，其半徑r（單位：cm）與臺燈的功率P（單位：W）之間的關(guān)系為r=k√P（k為常數(shù)）。當(dāng)功率為16W時(shí)，照明半徑為20cm。（1）求k的值；（2）若臺燈的功率范圍是10W到30W，求照明半徑的取值范圍；（3）為了使照明區(qū)域能夠覆蓋一個(gè)長為50cm、寬為30cm的矩形學(xué)習(xí)桌面，求臺燈功率的最小值（結(jié)果保留整數(shù)）；（4）在實(shí)際使用過程中，臺燈的照明效果還受到高度的影響。如圖，臺燈的光源O距離桌面的高度為h（單位：cm），照明區(qū)域在桌面上形成一個(gè)圓形，其半徑為R（單位：cm）。已知光源的功率P與照明半徑r的關(guān)系仍為r=k√P（r為光源處的照明半徑），且R、r、h滿足關(guān)系式R=√(r2-h2)。若要使桌面上照明區(qū)域的半徑R不小于30cm，且臺燈的高度h不低于40cm，求臺燈功率P的最小值（結(jié)果保留整數(shù)）。（注：本題中所有計(jì)算結(jié)果均保留整數(shù)，π取3.14）六、開放探究題（共1題，共20分）數(shù)學(xué)活動課上，老師提出了一個(gè)探究問題：“如何利用幾何圖形的變換解決最值問題”。（1）如圖1，點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小。請你畫出點(diǎn)P的位置，并說明理由；（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是AC、BC邊上的動點(diǎn)，且AE=CF。連接DE、DF，求DE+DF的最小值；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD=6，∠BAD=60°，∠BCD=120°，BC=CD。在四邊形ABCD的邊上找一點(diǎn)P，在四邊形ABCD的內(nèi)部找一點(diǎn)Q，使得PQ=2，且PA+PQ+QC的值最小。請你畫出點(diǎn)P、Q的位置，并求出PA+PQ+QC的最小值。（注：所有作圖均保留痕跡，不寫作法）七、數(shù)學(xué)建模題（共1題，共30分）某城市為了緩解交通擁堵，計(jì)劃在市中心修建一條地下隧道。隧道的橫截面為拋物線形，其示意圖如圖所示。已知隧道的跨度AB為10m，拱高OC為5m（O為AB的中點(diǎn)，OC⊥AB）。（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出拋物線的解析式；（2）隧道內(nèi)的路面寬度為8m，求路面距離拱頂?shù)母叨?；?）為了保證車輛通行安全，隧道內(nèi)的高度不得低于4m。一輛高為3.5m、寬為2m的貨車能否安全通過隧道？請說明理由；（4）隧道的長度為1000m，修建隧道的成本由材料費(fèi)和人工費(fèi)兩部分組成。已知材料費(fèi)與隧道的橫截面積成正比，比例系數(shù)為2000元/m2；人工費(fèi)與隧道的長度成正比，比例系數(shù)為15000元/m。求修建這條隧道的總成本（結(jié)果保留整數(shù)）。（注：拋物線的面積公式為S=2/3×底×高）八、跨學(xué)科實(shí)踐題（共1題，共30分）在物理學(xué)中，物體的動能E_k（單位：J）與物體的質(zhì)量m（單位：kg）、速度v（單位：m/s）之間的關(guān)系為E_k=1/2mv2。某型號無人機(jī)的質(zhì)量為2kg，其飛行過程中動能E_k與飛行時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系如圖所示（0≤t≤20）。（1）根據(jù)圖像，分別求出0≤t≤10和10<t≤20時(shí)，動能E_k與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求無人機(jī)在t=5s和t=15s時(shí)的飛行速度；（3）在飛行過程中，無人機(jī)的最大動能是多少？此時(shí)的飛行速度是多少？（4）已知無人機(jī)的飛行高度h（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系為h=-t2+20t。當(dāng)無人機(jī)的動能最大時(shí)，求此時(shí)無人機(jī)的高度；（5）在無人機(jī)飛行過程中，當(dāng)動能E_k=100J時(shí)，求無人機(jī)的高度。九、拓展創(chuàng)新題（共1題，共40分）定義：若一個(gè)四邊形的兩條對角線互相垂直，且這兩條對角線的長度分別為a、b，則稱這個(gè)四邊形為“垂直四邊形”，并稱1/2ab為這個(gè)四邊形的“垂直面積”。（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，連接DE、BE。求證：四邊形BCDE是垂直四邊形，并求出它的垂直面積；（2）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是對角線AC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），連接PB、PD。求證：四邊形PBFD是垂直四邊形（F為PD延長線上