2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)基本國(guó)際技術(shù)創(chuàng)新組織競(jìng)賽素養(yǎng)試卷一、選擇題（每題5分，共30分）邏輯推理與數(shù)論若正整數(shù)(a,b)滿足(a^2+b^2=2025)，且(a<b)，則(a+b)的值為（）A.63B.65C.67D.69解析：2025為45的平方，即(45^2=2025)。根據(jù)勾股數(shù)性質(zhì)，常見(jiàn)組合為(27^2+36^2=729+1296=2025)，故(a=27)，(b=36)，(a+b=63)，選A。幾何變換與坐標(biāo)運(yùn)算在平面直角坐標(biāo)系中，將三角形(ABC)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(90^\circ)后得到(A'B'C')，若點(diǎn)(A(2,3))，則(A')的坐標(biāo)為（）A.(3,-2)B.(-3,2)C.(-2,-3)D.(2,-3)解析：順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(90^\circ)的坐標(biāo)變換公式為((x,y)\to(y,-x))，代入得((3,-2))，選A。函數(shù)與實(shí)際應(yīng)用某工廠生產(chǎn)一種零件，固定成本為5000元，每個(gè)零件的可變成本為20元，售價(jià)為50元。設(shè)生產(chǎn)(x)個(gè)零件時(shí)利潤(rùn)為(y)元，則(y)與(x)的函數(shù)關(guān)系及盈利時(shí)(x)的最小值為（）A.(y=30x-5000)，167B.(y=70x-5000)，72C.(y=30x+5000)，166D.(y=50x-20x)，250解析：利潤(rùn)=售價(jià)×數(shù)量-（固定成本+可變成本×數(shù)量），即(y=50x-(5000+20x)=30x-5000)。盈利時(shí)(30x-5000>0)，解得(x>166.67)，取整為167，選A。概率與統(tǒng)計(jì)一個(gè)不透明袋子中裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球和5個(gè)藍(lán)球，從中隨機(jī)摸出2個(gè)球，兩球顏色相同的概率為（）A.(\frac{1}{5})B.(\frac{7}{25})C.(\frac{13}{45})D.(\frac{3}{10})解析：總情況數(shù)為(\binom{10}{2}=45)。同色情況：紅球(\binom{3}{2}=3)，白球(\binom{2}{2}=1)，藍(lán)球(\binom{5}{2}=10)，共14種。概率為(\frac{14}{45}\approx\frac{7}{25})，選B。代數(shù)變形與方程求解若關(guān)于(x)的方程(x^2-(k+2)x+4k=0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則(k)的值為（）A.2或8B.-2或-8C.2D.8解析：判別式(\Delta=(k+2)^2-16k=k^2-12k+4=0)，解得(k=2)或(k=8)，選A。創(chuàng)新題型：跨學(xué)科與實(shí)際問(wèn)題某無(wú)人機(jī)在距離地面100米的高度沿水平方向勻速飛行，測(cè)得前方地面目標(biāo)的俯角為(30^\circ)，10秒后俯角變?yōu)?45^\circ)，則無(wú)人機(jī)的飛行速度為（）（結(jié)果保留根號(hào)）A.(10(\sqrt{3}-1))米/秒B.(10(\sqrt{3}+1))米/秒C.(20\sqrt{3})米/秒D.(10\sqrt{2})米/秒解析：設(shè)初始水平距離為(x)，10秒后為(y)。由三角函數(shù)得(x=100\tan60^\circ=100\sqrt{3})，(y=100\tan45^\circ=100)，速度(v=\frac{x-y}{10}=10(\sqrt{3}-1))，選A。二、填空題（每題6分，共30分）數(shù)列規(guī)律與遞推觀察數(shù)列：1，3，7，15，31，…，第(n)項(xiàng)的表達(dá)式為_(kāi)____。答案：(2^n-1)解析：每一項(xiàng)比前一項(xiàng)的2倍多1，即(a_n=2a{n-1}+1)，遞推可得(a_n=2^n-1)。幾何面積與動(dòng)態(tài)問(wèn)題矩形(ABCD)中，(AB=6)，(BC=8)，點(diǎn)(P)在邊(BC)上運(yùn)動(dòng)（不與(B,C)重合），則(\triangleAPD)的面積為_(kāi)_____。答案：24解析：(\triangleAPD)的底為(AD=8)，高為(AB=6)，面積(S=\frac{1}{2}\times8\times6=24)（面積與(P)位置無(wú)關(guān)）。不等式組與參數(shù)范圍若關(guān)于(x)的不等式組(\begin{cases}x-a>2\b-2x>0\end{cases})的解集為(-1<x<1)，則((a+b)^{2025}=)______。答案：-1解析：解不等式組得(a+2<x<\frac{2})，對(duì)比解集得(a+2=-1)，(\frac{2}=1)，即(a=-3)，(b=2)，(a+b=-1)，((-1)^{2025}=-1)。概率模型與計(jì)數(shù)原理從1，2，3，4，5中任取3個(gè)不同的數(shù)組成三位數(shù)，能被3整除的概率為_(kāi)_____。答案：(\frac{2}{5})解析：總排列數(shù)(A_5^3=60)。能被3整除的數(shù)需各位數(shù)字和為3的倍數(shù)，符合條件的組合有（1,2,3）、（1,3,5）、（2,3,4）、（3,4,5），每組可組成(3!=6)個(gè)數(shù)，共(4\times6=24)個(gè)，概率(\frac{24}{60}=\frac{2}{5})。函數(shù)圖像與最值二次函數(shù)(y=-x^2+4x+5)的圖像頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____，當(dāng)(x\geq2)時(shí)，(y)的最大值為_(kāi)_____。答案：(2,9)；9解析：配方得(y=-(x-2)^2+9)，頂點(diǎn)(2,9)。當(dāng)(x\geq2)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，最大值在(x=2)處取9。三、解答題（共4題，共60分）代數(shù)綜合與實(shí)際應(yīng)用（14分）某商店銷售一種季節(jié)性商品，進(jìn)價(jià)為每件10元，售價(jià)與銷量的關(guān)系如下表：|售價(jià)（元/件）|15|20|25|30||--------------|----|----|----|----||銷量（件）|25|20|15|10|（1）求銷量(y)（件）與售價(jià)(x)（元/件）的函數(shù)關(guān)系式；（2）若每天固定成本為50元，售價(jià)定為多少時(shí)，日利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？解答：（1）設(shè)(y=kx+b)，代入(15,25)和(20,20)得：(\begin{cases}15k+b=25\20k+b=20\end{cases})，解得(k=-1)，(b=40)，故(y=-x+40)（(10\leqx\leq40)）。（2）利潤(rùn)(W=(x-10)y-50=(x-10)(-x+40)-50=-x^2+50x-450)。對(duì)稱軸(x=25)，開(kāi)口向下，當(dāng)(x=25)時(shí)，(W_{\text{max}}=-(25)^2+50\times25-450=200)元。答：售價(jià)定為25元時(shí)，日利潤(rùn)最大，為200元。幾何證明與輔助線（16分）如圖，在菱形(ABCD)中，對(duì)角線(AC,BD)交于點(diǎn)(O)，(E)為(AD)中點(diǎn)，連接(OE)，過(guò)點(diǎn)(D)作(DF\perpBC)于點(diǎn)(F)，求證：（1）(OE=\frac{1}{2}CD)；（2）四邊形(OEFD)為矩形。證明：（1）∵菱形對(duì)角線互相平分，∴(O)為(AC)中點(diǎn)，又(E)為(AD)中點(diǎn)，∴(OE)為(\triangleACD)的中位線，∴(OE=\frac{1}{2}CD)。（2）∵菱形(ABCD)，∴(AD\parallelBC)，(AB=CD)?！?DF\perpBC)，∴(DF\perpAD)，即(\angleADF=90^\circ)。∵(OE)為中位線，∴(OE\parallelCD\parallelAB)，且(OE=\frac{1}{2}CD)。又(DF\perpBC)，(BO=OD)，易證(OF=\frac{1}{2}CD)，∴(OE=OF)且(OE\parallelDF)，故四邊形(OEFD)為平行四邊形。∵(\angleADF=90^\circ)，∴平行四邊形(OEFD)為矩形。函數(shù)與幾何綜合（15分）已知一次函數(shù)(y=kx+b)與反比例函數(shù)(y=\frac{m}{x})的圖像交于(A(2,3))和(B(-3,n))兩點(diǎn)。（1）求兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；（2）連接(OA,OB)，求(\triangleAOB)的面積。解答：（1）將(A(2,3))代入反比例函數(shù)得(m=6)，故(y=\frac{6}{x})。將(B(-3,n))代入得(n=-2)，即(B(-3,-2))。將(A,B)代入一次函數(shù)：(\begin{cases}2k+b=3\-3k+b=-2\end{cases})，解得(k=1)，(b=1)，故(y=x+1)。（2）設(shè)直線(AB)與(x)軸交于點(diǎn)(C)，令(y=0)，得(x=-1)，即(C(-1,0))。(S_{\triangleAOB}=S_{\triangleAOC}+S_{\triangleBOC}=\frac{1}{2}\times|OC|\times(y_A+|y_B|)=\frac{1}{2}\times1\times(3+2)=2.5)。動(dòng)態(tài)幾何與分類討論（15分）如圖，在(\triangleABC)中，(\angleC=90^\circ)，(AC=6)，(BC=8)，點(diǎn)(P)從點(diǎn)(A)出發(fā)沿(AC)向點(diǎn)(C)勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)(Q)從點(diǎn)(C)出發(fā)沿(CB)向點(diǎn)(B)勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(t)秒（(0<t<4)）。（1）用含(t)的代數(shù)式表示線段(PC)和(CQ)的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)(t)為何值時(shí)，(\trianglePCQ)與(\triangleACB)相似？（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段(PQ)的長(zhǎng)度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，說(shuō)明理由。解答：（1）(PC=AC-AP=6-t)，(CQ=2t)。（2）∵(\angleC=90^\circ)，相似需對(duì)應(yīng)邊成比例：①(\frac{PC}{AC}=\frac{CQ}{BC})：(\frac{6-t}{6}=\frac{2t}{8})，解得(t=\frac{12}{5}=2.4)；②(\frac{PC}{BC}=\frac{CQ}{AC})：(\frac{6-t}{8}=\frac{2t}{6})，解得(t=\frac{18}{11}\approx1.64)。綜上，(t=\frac{12}{5})或(t=\frac{18}{11})。（3）(PQ^2=PC^2+CQ^2=(6-t)^2+(2t)^2=5t^2-12t+36)，對(duì)稱軸(t=\frac{12}{10}=1.2)，開(kāi)口向上，當(dāng)(t=1.2)時(shí)，(PQ_{\text{min}}=\sqrt{5(1.2)^2-12(1.2)+36}=\sqrt{\frac{144}{5}}=\frac{12\sqrt{5}}{5})。答：存在最小值，為(\frac{12\sqrt{5}}{5})cm。四、創(chuàng)新拓展題（共20分）數(shù)學(xué)建模與跨學(xué)科探究某社區(qū)計(jì)劃修建一個(gè)矩形休閑廣場(chǎng)，要求廣場(chǎng)面積為400平方米，四周留出寬度為(x)米的綠化帶，綠化帶總面積為(S)平方米。（1）設(shè)矩形廣場(chǎng)的長(zhǎng)為(