2025年下學期初中數學基本國際牧民組織競賽素養(yǎng)試卷一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）若正整數(a)、(b)滿足(a^2+b^2=2025)，且(a<b)，則(b-a)的最小值為（）A.9B.15C.21D.27解答：2025是45的平方（(45^2=2025)），因此問題轉化為尋找勾股數((a,b,45))。常見勾股數中，(27^2+36^2=729+1296=2025)，且(27<36)，此時(b-a=36-27=9)。其他組合如(15^2+30\sqrt{2}^2)不符合整數條件，故最小值為9，選A。若關于(x)的方程(x^2-(m+2)x+m^2-3=0)有兩個不相等的正實數根，則(m)的取值范圍是（）A.(\sqrt{3}<m<2)B.(2<m<\sqrt{7})C.(\sqrt{3}<m<\sqrt{7})D.(m>2)解答：方程有兩個不相等正根需滿足：判別式(\Delta=(m+2)^2-4(m^2-3)>0)→(3m^2-4m-16<0)→(-\frac{4}{3}<m<4)；兩根之和(m+2>0)→(m>-2)；兩根之積(m^2-3>0)→(m>\sqrt{3})或(m<-\sqrt{3})。綜合得(\sqrt{3}<m<4)，但選項中無此范圍，進一步驗證邊界：當(m=2)時，方程為(x^2-4x+1=0)，根為(2\pm\sqrt{3})（正根），但題目要求“不相等”，而(\Delta)在(m=2)時為(16-4(1)=12>0)，故(m)需大于(\sqrt{3})且小于4，結合選項，選C（注：原選項可能存在印刷誤差，正確范圍應為(\sqrt{3}<m<4)，但最接近的是C）。二、填空題（共6題，每題5分，共30分）已知(a+\frac{1}{a}=5)，則(a^4+\frac{1}{a^4}=)__________。解答：由(a+\frac{1}{a}=5)，得(a^2+\frac{1}{a^2}=(a+\frac{1}{a})^2-2=25-2=23)，進而(a^4+\frac{1}{a^4}=(a^2+\frac{1}{a^2})^2-2=23^2-2=529-2=527)。如圖，在(\triangleABC)中，(AB=AC=10)，(\angleBAC=120^\circ)，點(D)、(E)分別在(AB)、(AC)上，且(AD=AE=3)，連接(DE)并延長交(BC)于點(F)，則(CF=)__________。解答：過(A)作(AH\perpBC)于(H)，則(\angleBAH=60^\circ)，(BH=AB\cdot\cos60^\circ=5)，(BC=10)。由(AD=AE=3)，得(\triangleADE\sim\triangleABC)（相似比(\frac{3}{10})），(DE\parallelBC)，故(\frac{AF}{AH}=\frac{AD}{AB}=\frac{3}{10})，(FH=AH-AF=\frac{7}{10}AH)。又(AH=AB\cdot\sin60^\circ=5\sqrt{3})，(CF=CH+FH=5+\frac{7}{10}\times5\sqrt{3})？？？（修正：用梅涅勞斯定理）對(\triangleABC)及截線(DEF)：(\frac{AD}{DB}\cdot\frac{BF}{FC}\cdot\frac{CE}{EA}=1)，(DB=7)，(CE=7)，(EA=3)，代入得(\frac{3}{7}\cdot\frac{BF}{FC}\cdot\frac{7}{3}=1)→(BF=FC)，故(CF=\frac{BC}{2}=5)？？？（矛盾，正確用相似比：(DE\parallelBC)，(\frac{AD}{AB}=\frac{3}{10})，則(\frac{DF}{BF}=\frac{3}{10})，設(CF=x)，(BF=10-x)，(\frac{DF}{10-x}=\frac{3}{10})，但(DF=DE+EF)，(DE=\frac{3}{10}BC=3)，(EF=\frac{7}{10}x)，解得(x=7)。最終答案：7。三、解答題（共5題，共70分）（14分）如圖，(AB)是(\odotO)的直徑，(C)為圓上一點，(CD\perpAB)于(D)，點(E)在(AC)上，且(CE=CB)，連接(BE)交(CD)于(F)。（1）求證：(CF=CB)；（2）若(AD=4)，(DB=9)，求(CF)的長。解答：（1）證明：(\angleCEB=\angleCBE)（等邊對等角），(\angleCEB=\angleCAB+\angleABE)（外角定理），(\angleCAB=\angleBCD)（同弧所對圓周角等于弦切角），(\angleCBE=\angleBCD+\angleABE)，故(\angleCFB=\angleCBE)，(CF=CB)。（2）解：(AB=AD+DB=13)，(CB^2=DB\cdotAB=9\times13=117)（射影定理），故(CF=CB=\sqrt{117}=3\sqrt{13})。（14分）某牧民要在草原上用長為30米的籬笆圍一個矩形牧場，牧場的一邊靠墻（墻長20米），另三邊用籬笆圍成，且在垂直于墻的一邊開設一個1米寬的門（門不占用籬笆）。（1）若矩形的長（平行于墻的邊）為(x)米，面積為(S)平方米，求(S)關于(x)的函數關系式，并寫出自變量(x)的取值范圍；（2）當(x)為何值時，牧場面積最大？最大面積是多少？解答：（1）設垂直于墻的一邊長為(y)，則籬笆總長為(2y+x-1=30)（門寬1米），故(y=\frac{31-x}{2})。面積(S=x\cdoty=x\cdot\frac{31-x}{2}=-\frac{1}{2}x^2+\frac{31}{2}x)。自變量范圍：(x\leq20)（墻長），(y>0)→(31-x>0)→(x<31)，故(0<x\leq20)。（2）(S=-\frac{1}{2}(x^2-31x)=-\frac{1}{2}(x-\frac{31}{2})^2+\frac{961}{8})，拋物線開口向下，對稱軸(x=15.5)。因(x=15.5)在取值范圍內，故當(x=15.5)米時，(S_{\text{max}}=\frac{961}{8}=120.125)平方米。（14分）已知二次函數(y=ax^2+bx+c)的圖像過點(A(-1,0))、(B(3,0))、(C(0,3))。（1）求該二次函數的解析式；（2）點(P(m,n))在該函數圖像上，且(-1<m<3)，過點(P)作(PD\perpx)軸于(D)，求線段(PD)長度的最大值。解答：（1）設交點式(y=a(x+1)(x-3))，代入(C(0,3))：(3=a(1)(-3))→(a=-1)，故解析式為(y=-x^2+2x+3)。（2）(PD=|n|=|-m^2+2m+3|)，因(-1<m<3)時，(y>0)，故(PD=-m^2+2m+3=-(m-1)^2+4)，當(m=1)時，(PD_{\text{max}}=4)。（14分）如圖，在(\triangleABC)中，(\angleACB=90^\circ)，(AC=BC)，點(D)為(AB)中點，點(E)、(F)分別在(AC)、(BC)上，且(DE\perpDF)。（1）求證：(AE=CF)；（2）若(AC=6)，求四邊形(DECF)的面積。解答：（1）證明：連接(CD)，則(CD=AD=BD)（直角三角形斜邊中線），(\angleACD=\angleBCD=45^\circ)，(\angleEDC+\angleCDF=90^\circ)，(\angleCDF+\angleFDB=90^\circ)，故(\angleEDC=\angleFDB)。在(\triangleADE)和(\triangleCDF)中：(\angleA=\angleDCF=45^\circ)，(AD=CD)，(\angleADE=\angleCDF)，故(\triangleADE\cong\triangleCDF)（ASA），因此(AE=CF)。（2）解：由（1）知(AE=CF)，(CE=BF)，(S_{\text{四邊形}DECF}=S_{\triangleCDE}+S_{\triangleCDF}=S_{\triangleCDE}+S_{\triangleADE}=S_{\triangleACD})，而(S_{\triangleACD}=\frac{1}{2}S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times6\times6=9)，故四邊形(DECF)面積為9。（14分）已知(a)、(b)、(c)為正實數，且滿足(a+b+c=1)，求證：(\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}\geq9)，并指出等號成立的條件。解答：證明：由柯西不等式：((a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c})\geq(1+1+1)^2=9)，因(a+b+c=1)，故(\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}\geq9)，等號成立當且僅當(a=b=c=\frac{1}{3})。四、附加題（共2題，每題10分，共20分）若實數(x)、(y)滿足(x^2+y^2+xy=1)，則(x+y)的最大值為__________。解答：設(t=x+y)，則(xy=\frac{t^2-(x^2+y^2)}{2})，代入原式：(x^2+y^2+\frac{t^2-(x^2+y^2)}{2}=1)→(\frac{x^2+y^2+t^2}{2}=1)→(x^2+y^2=2-t^2)。又(x^2+y^2\geq\frac{(x+y)^2}{2}=\frac{t^2}{2})，故(2-t^2\geq\frac{t^2}{2})→(t^2\leq\frac{4}{3})→(t\leq\frac{2\sqrt{3}}{3})，最大值為(\frac{2\sqrt{3}}{3})。在平面直角坐標系中，點(A(1,0))，點(B)在直線(y=\sqrt{3}x)上，且(\triangleOAB)為等邊三角形，則點(B)的坐標為__________。解答：設(B(m,\sqrt{3}m))，(OA=1)，(OB=\sqrt{m^2+3m^2}=2|m|)，(AB=\sqrt{(m-1)^2+3m^2}=\sqrt{4m^2-2m+1})。若(OB=OA=1)，則(2|m|=1)→(m=\pm\frac{1}{2})，(m=\frac{1}{2})時，(B(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}))，(AB=1)，滿足等邊三角形；(m=-\frac{1}{2})時，(B(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}))，(AB=\sqrt{4\times\frac{