2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)基本國(guó)際審計(jì)創(chuàng)新組織競(jìng)賽試卷一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）若正整數(shù)(a,b)滿足(a+b=2025)，且(\frac{a}=\frac{4}{5})，則(a-b)的值為（）A.-225B.225C.-450D.450解答：由(\frac{a}=\frac{4}{5})設(shè)(a=4k)，(b=5k)，代入(a+b=2025)得(9k=2025)，解得(k=225)。則(a=900)，(b=1125)，(a-b=-225)，選A。已知(x^2-3x+1=0)，則(x^4+\frac{1}{x^4})的值為（）A.47B.49C.51D.53解答：由方程得(x+\frac{1}{x}=3)，平方得(x^2+2+\frac{1}{x^2}=9)，即(x^2+\frac{1}{x^2}=7)；再平方得(x^4+2+\frac{1}{x^4}=49)，故(x^4+\frac{1}{x^4}=47)，選A。如圖，在(\triangleABC)中，(AB=AC=5)，(BC=6)，點(diǎn)(D)為(BC)中點(diǎn)，以(D)為圓心作圓與(AB)相切，則圓的半徑為（）A.(\frac{12}{5})B.(\frac{6}{5})C.(\frac{8}{5})D.(\frac{16}{5})解答：連接(AD)，則(AD\perpBC)，(AD=4)。設(shè)圓與(AB)相切于點(diǎn)(E)，半徑為(r)，則(DE=r)。由(\triangleBDE\sim\triangleBAD)得(\frac{DE}{AD}=\frac{BD}{AB})，即(\frac{r}{4}=\frac{3}{5})，解得(r=\frac{12}{5})，選A。若關(guān)于(x)的不等式組(\begin{cases}x-a>0\3-2x>-1\end{cases})有且僅有3個(gè)整數(shù)解，則(a)的取值范圍是（）A.(-2\leqa<-1)B.(-2<a\leq-1)C.(-1\leqa<0)D.(-1<a\leq0)解答：解不等式組得(a<x<2)，整數(shù)解為1,0,-1，故(-2\leqa<-1)，選A。某商店銷售A、B兩種商品，A商品售價(jià)為每件10元，B商品售價(jià)為每件15元。若該商店一次性購(gòu)進(jìn)A、B商品共100件，總進(jìn)價(jià)為1100元，且A商品進(jìn)價(jià)為每件8元，B商品進(jìn)價(jià)為每件12元，則最多可獲利（）A.300元B.320元C.340元D.360元解答：設(shè)購(gòu)進(jìn)A商品(x)件，B商品(100-x)件，成本方程為(8x+12(100-x)=1100)，解得(x=25)。獲利((10-8)×25+(15-12)×75=50+225=275)元？（題目可能有誤，按選項(xiàng)邏輯調(diào)整：若總進(jìn)價(jià)為1000元，則(x=50)，獲利(2×50+3×50=250)，此處按原題選最接近的A）。已知二次函數(shù)(y=ax^2+bx+c)的圖像過(guò)點(diǎn)((1,0))，((3,0))，且最大值為4，則(c)的值為（）A.3B.-3C.5D.-5解答：設(shè)(y=a(x-1)(x-3))，對(duì)稱軸(x=2)，代入得(4=a(1)(-1))，(a=-4)，展開(kāi)得(y=-4x^2+16x-12)，故(c=-12)？（題目可能有誤，若最大值為3，則(a=-1)，(c=-3)，選B）。在一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球和5個(gè)藍(lán)球，從中隨機(jī)摸出3個(gè)球，至少有一個(gè)紅球的概率為（）A.(\frac{1}{2})B.(\frac{3}{4})C.(\frac{5}{6})D.(\frac{7}{8})解答：總情況數(shù)(C_{10}^3=120)，無(wú)紅球情況數(shù)(C_7^3=35)，至少1紅球概率(1-\frac{35}{120}=\frac{17}{24}\approx0.708)，最接近B選項(xiàng)。若(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2025})，且(x,y)為正整數(shù)，則(x+y)的最小值為（）A.2025B.1013C.505D.253解答：(\sqrt{2025}=45)，設(shè)(\sqrt{x}=a)，(\sqrt{y}=b)，(a+b=45)，(x+y=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=2025-2ab)。當(dāng)(a,b)接近時(shí)(ab)最大，(x+y)最小，取(a=22)，(b=23)，(x+y=22^2+23^2=484+529=1013)，選B。如圖，在矩形(ABCD)中，(AB=4)，(BC=6)，點(diǎn)(E,F)分別在(BC,CD)上，且(BE=CF=2)，則(\triangleAEF)的面積為（）A.10B.12C.14D.16解答：坐標(biāo)法：(A(0,0))，(B(4,0))，(C(4,6))，(D(0,6))，(E(4,2))，(F(2,6))。面積(S=4×6-\frac{1}{2}×4×2-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×2×2=24-4-4-2=14)，選C。定義新運(yùn)算“※”：(a※b=a^2-b^2-ab)，則方程((x※2)+(2※x)=0)的解為（）A.(x=0)B.(x=2)C.(x=-2)D.無(wú)解解答：代入得((x^2-4-2x)+(4-x^2-2x)=-4x=0)，解得(x=0)，選A。二、填空題（共6題，每題5分，共30分）計(jì)算：(\frac{2025^2-2024×2026}{2025}=)________。解答：分母(2024×2026=(2025-1)(2025+1)=2025^2-1)，原式(=\frac{2025^2-(2025^2-1)}{2025}=\frac{1}{2025})。若(a+b+c=0)，則(a^3+b^3+c^3-3abc=)________。解答：公式(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0)。一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比外角和多(720^\circ)，則該多邊形的邊數(shù)為_(kāi)_______。解答：內(nèi)角和(=360+720=1080^\circ)，邊數(shù)(n=\frac{1080}{180}+2=8)。已知(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5})，且(0<\alpha<\pi)，則(\tan\alpha=)________。解答：平方得(1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{25})，(\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{12}{25})，解得(\sin\alpha=\frac{4}{5})，(\cos\alpha=-\frac{3}{5})，(\tan\alpha=-\frac{4}{3})。若關(guān)于(x)的方程(x^2-2mx+m^2-1=0)的兩根均大于1，則(m)的取值范圍是________。解答：方程((x-m)^2=1)，根(x=m\pm1)，由(m-1>1)得(m>2)。在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(A(1,2))，(B(3,4))，點(diǎn)(P)在(x)軸上，則(PA+PB)的最小值為_(kāi)_______。解答：作(A)關(guān)于(x)軸對(duì)稱點(diǎn)(A'(1,-2))，連接(A'B)交(x)軸于(P)，(A'B=\sqrt{(3-1)^2+(4+2)^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10})。三、解答題（共5題，共70分）（12分）解方程組：[\begin{cases}\frac{x+y}{2}=\frac{y+z}{3}=\frac{z+x}{4}\x+y+z=27\end{cases}]解答：設(shè)(\frac{x+y}{2}=\frac{y+z}{3}=\frac{z+x}{4}=k)，則(x+y=2k)，(y+z=3k)，(z+x=4k)，三式相加得(2(x+y+z)=9k)，即(54=9k)，(k=6)。解得(x=2k+4k-3k=3k=18)？（修正：(x=(2k+4k-3k)/2=\frac{3k}{2}=9)，(y=\frac{2k+3k-4k}{2}=\frac{k}{2}=3)，(z=\frac{3k+4k-2k}{2}=\frac{5k}{2}=15)）。（14分）如圖，在(\odotO)中，弦(AB)與(CD)交于點(diǎn)(E)，且(AE=CE)，求證：(AD=CB)。解答：連接(AC)，由(AE=CE)得(\angleEAC=\angleECA)，又(\angleADC=\angleABC)（同弧所對(duì)圓周角），(\angleAED=\angleCEB)，故(\triangleAED\cong\triangleCEB)（AAS），因此(AD=CB)。（14分）某工廠生產(chǎn)一種零件，每個(gè)零件成本為20元，銷售單價(jià)為30元時(shí)，每天可售出100個(gè)。若銷售單價(jià)每上漲1元，每天銷量減少5個(gè)。設(shè)銷售單價(jià)上漲(x)元，每天利潤(rùn)為(y)元。（1）求(y)與(x)的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解答：（1）(y=(30+x-20)(100-5x)=(10+x)(100-5x)=-5x^2+50x+1000)；（2）對(duì)稱軸(x=-\frac{50}{2×(-5)}=5)，此時(shí)單價(jià)(30+5=35)元，最大利潤(rùn)(y=-5×25+250+1000=1125)元。（15分）已知(\triangleABC)中，(\angleC=90^\circ)，(AC=6)，(BC=8)，點(diǎn)(P)從點(diǎn)(A)出發(fā)沿(AC)向點(diǎn)(C)運(yùn)動(dòng)，速度為1單位/秒；點(diǎn)(Q)從點(diǎn)(C)出發(fā)沿(CB)向點(diǎn)(B)運(yùn)動(dòng)，速度為2單位/秒。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(t)秒（(0<t<4)）。（1）用含(t)的代數(shù)式表示(PQ)的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)(t)為何值時(shí)，(\trianglePCQ)與(\triangleACB)相似？解答：（1）(PC=6-t)，(CQ=2t)，(PQ=\sqrt{(6-t)^2+(2t)^2}=\sqrt{5t^2-12t+36})；（2）分兩種情況：(\frac{PC}{AC}=\frac{CQ}{BC})：(\frac{6-t}{6}=\frac{2t}{8})，解得(t=2.4)；(\frac{PC}{BC}=\frac{CQ}{AC})：(\frac{6-t}{8}=\frac{2t}{6})，解得(t=\frac{18}{11}\approx1.64)。（15分）已知二次函數(shù)(y=x^2-(m+2)x+m+1)（(m)為常數(shù)）。（1）求證：不論(m)為何值，該函數(shù)圖像與(x)軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）設(shè)函數(shù)圖像與(x)軸交于(A,B)兩點(diǎn)（(A)在(B)左側(cè)），與(y)軸交于點(diǎn)(C)，若(\triangleABC)的面積為2，求(m)的值。解答：（1）判別式(\Delta=(m+2)^2-4(m+1)=m^2+4m+4-4m-4=m^2\geq0)，因(m^2=0)時(shí)(m=0)，此時(shí)方程有兩個(gè)相等實(shí)根，題目可能應(yīng)為“總有交點(diǎn)”，若嚴(yán)格按“兩個(gè)交點(diǎn)”則(m\neq0)；（2）令(y=0)，解得(x=1)或(x=m+1)，故(A(1,0))，(B(m+1,0))（若(m+1>1)），(C(0,m+1))。面積(S=\frac{1}{2}|m+1-1||m+1|=\frac{1}{2}|m(m+1)|=2)，即(m(m+1)=\pm4)。(m^2+m-4=0)，解得(m=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2})；(m^2+m+4=0)，無(wú)實(shí)根。綜上，(m=\frac{-1+\