2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽舒爾不等式試卷一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分）設(shè)a,b,c為非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足a+b+c=3，則代數(shù)式a3+b3+c3-3abc的最小值為（）A.0B.1C.2D.3已知x,y,z≥0且x+y+z=1，若不等式x3+y3+z3+3xyz≥k恒成立，則k的最大值為（）A.1/3B.2/3C.1D.4/3設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù)，且abc=1，則下列不等式中一定成立的是（）A.a3+b3+c3≥a+b+cB.a3+b3+c3≤a+b+cC.a3+b3+c3+3≥2(a+b+c)D.a3+b3+c3+6≥3(a+b+c)在△ABC中，若a,b,c為三邊長(zhǎng)，則下列不等式正確的是（）A.a3+b3+c3+3abc≥2(a2b+b2c+c2a)B.a3+b3+c3+3abc≤2(a2b+b2c+c2a)C.a3+b3+c3+abc≥2(a2b+b2c+c2a)D.a3+b3+c3+abc≤2(a2b+b2c+c2a)設(shè)x,y,z≥0，且x2+y2+z2=1，則x3+y3+z3的最小值為（）A.1/√3B.1/3C.√3/3D.1二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）已知a,b,c≥0，且a+b+c=2，則a3+b3+c3+3abc的最大值為________。設(shè)x,y,z≥0，滿足x+y+z=3，則x2y+y2z+z2x+xyz的最大值為________。若a,b,c為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=1，則(a3+b3+c3)的最小值為________。在△ABC中，若a=3,b=4,c=5，則a3+b3+c3-3abc的值為________。設(shè)x,y,z≥0，且x+2y+3z=6，則x3+8y3+27z3的最小值為________。三、解答題（共4小題，每小題15分，滿分60分）證明：對(duì)于任意非負(fù)實(shí)數(shù)a,b,c，都有a3+b3+c3+3abc≥a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b。證明：根據(jù)舒爾不等式，當(dāng)t=1時(shí)，有：a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)≥0展開可得：a3+b3+c3-a2b-a2c-b2a-b2c-c2a-c2b+3abc≥0移項(xiàng)即得：a3+b3+c3+3abc≥a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b等號(hào)成立條件為a=b=c或其中兩個(gè)數(shù)相等且第三個(gè)數(shù)為0。已知a,b,c≥0，且a+b+c=1，求證：a3+b3+c3+3abc≥1/4。證明：由舒爾不等式變形1：a3+b3+c3+3abc≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b)因?yàn)閍+b+c=1，所以b+c=1-a，a+c=1-b，a+b=1-c于是有：a3+b3+c3+3abc≥a2(1-a)+b2(1-b)+c2(1-c)=a2+b2+c2-(a3+b3+c3)移項(xiàng)得：2(a3+b3+c3)+3abc≥a2+b2+c2又因?yàn)閍2+b2+c2≥(a+b+c)2/3=1/3且a3+b3+c3≥(a+b+c)3/9=1/9（由冪平均不等式）所以2(a3+b3+c3)+3abc≥1/3當(dāng)a=b=c=1/3時(shí)，a3+b3+c3=3×(1/3)3=1/9，3abc=3×(1/3)3=1/9則2×(1/9)+1/9=1/3，滿足等式條件因此a3+b3+c3+3abc≥1/3-(a3+b3+c3)≥1/3-(1-3abc)/2解得a3+b3+c3+3abc≥1/4設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=3，求證：(a2+b2+c2)2≥3(a3b+b3c+c3a)。證明：由舒爾不等式，取t=2，得：a2(a-b)(a-c)+b2(b-a)(b-c)+c2(c-a)(c-b)≥0展開得：a?+b?+c?-a3b-a3c-b3a-b3c-c3a-c3b+a2bc+ab2c+abc2≥0整理得：a?+b?+c?+abc(a+b+c)≥a3b+a3c+b3a+b3c+c3a+c3b因?yàn)?a2+b2+c2)2=a?+b?+c?+2(a2b2+b2c2+c2a2)所以只需證明：2(a2b2+b2c2+c2a2)+abc(a+b+c)≥a3b+a3c+b3a+b3c+c3a+c3b即證：2(a2b2+b2c2+c2a2)≥a3b+a3c+b3a+b3c+c3a+c3b-abc(a+b+c)右邊=ab(a2+b2)+bc(b2+c2)+ca(c2+a2)-abc(a+b+c)=ab(a2+b2-ac-bc)+bc(b2+c2-ab-ac)+ca(c2+a2-ab-bc)=ab(a-b)(a-c)+bc(b-a)(b-c)+ca(c-a)(c-b)由舒爾不等式知，上式≤0因此原不等式成立已知x,y,z≥0，且x+y+z=1，求證：x3+y3+z3+3xyz≥xy+yz+zx。證明：由舒爾不等式，取t=1，得：x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)+z(z-x)(z-y)≥0展開得：x3+y3+z3-x2y-x2z-y2x-y2z-z2x-z2y+3xyz≥0即：x3+y3+z3+3xyz≥x2y+x2z+y2x+y2z+z2x+z2y要證原不等式，只需證：x2y+x2z+y2x+y2z+z2x+z2y≥xy+yz+zx因?yàn)閤+y+z=1，所以xy+yz+zx≤(x+y+z)2/3=1/3而x2y+x2z+y2x+y2z+z2x+z2y=xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)=xy(1-z)+yz(1-x)+zx(1-y)=xy+yz+zx-3xyz所以只需證：xy+yz+zx-3xyz≥xy+yz+zx即證-3xyz≥0，顯然成立因此原不等式得證四、拓展題（共2小題，每小題20分，滿分40分）設(shè)a,b,c≥0，且a+b+c=1，求證：a?+b?+c?+2(a3b+b3c+c3a)+3(a2b2+b2c2+c2a2)≥1/3。證明：由舒爾不等式的推廣形式，當(dāng)t=2時(shí)：a2(a-b)(a-c)+b2(b-a)(b-c)+c2(c-a)(c-b)≥0展開得：a?+b?+c?-a3b-a3c-b3a-b3c-c3a-c3b+a2bc+ab2c+abc2≥0即：a?+b?+c?+abc(a+b+c)≥a3b+a3c+b3a+b3c+c3a+c3b因?yàn)閍+b+c=1，所以abc(a+b+c)=abc于是：a?+b?+c?+abc≥a3b+a3c+b3a+b3c+c3a+c3b兩邊加上2(a3b+b3c+c3a)+3(a2b2+b2c2+c2a2)得：a?+b?+c?+abc+2(a3b+b3c+c3a)+3(a2b2+b2c2+c2a2)≥a3b+a3c+b3a+b3c+c3a+c3b+2(a3b+b3c+c3a)+3(a2b2+b2c2+c2a2)整理得：(a2+b2+c2)2+abc+2(a3b+b3c+c3a)≥3(a3b+b3c+c3a)+a3c+b3a+c3b+3(a2b2+b2c2+c2a2)由均值不等式知：a2+b2+c2≥1/3，(a2+b2+c2)2≥1/9又因?yàn)閍3b+b3c+c3a≤(a?+a?+b?)/2+(b?+b?+c?)/2+(c?+c?+a?)/2=(3a?+3b?+3c?)/2所以2(a3b+b3c+c3a)≤3(a?+b?+c?)因此：左邊≥1/9+abc+3(a?+b?+c?)≥1/9+0+3×(1/27)=1/9+1/9=2/9而右邊≤3×(3/2)(a?+b?+c?)+3(a2b2+b2c2+c2a2)=(9/2)(a?+b?+c?)+3(a2b2+b2c2+c2a2)=(3/2)(a2+b2+c2)2≤(3/2)(1/3)=1/2因此原不等式成立設(shè)x,y,z≥0，且x3+y3+z3=1，求證：x2+y2+z2≥x+y+z。證明：由舒爾不等式，取t=1/3，得：x^(1/3)(x-y)(x-z)+y^(1/3)(y-x)(y-z)+z^(1/3)(z-x)(z-y)≥0令a=x^(1/3),b=y^(1/3),c=z^(1/3)，則x=a3,y=b3,z=c3原不等式變?yōu)椋篴(a3-b3)(a3-c3)+b(b3-a3)(b3-c3)+c(c3-a3)(c3-b3)≥0展開得：a?+b?+c?-a?b3-a?c3-b?a3-b?c3-c?a3-c?b3+a3b3c+ab3c3+a3bc3≥0由冪平均不等式知：(a3+b3+c3)/3≥[(a2+b2+c2)/3]^(3/2)因?yàn)閍3+b3+c3=1，所以：1/3≥[(a2+b2+c2)/3]^(3/2)即(a2+b2+c2)/3≤(1/3)^(2/3)所以a2+b2+c2≤3^(1-2/3)=3^(1/3)又因?yàn)閤+y+z=a3+b3+c3=1而x2+y2+z2=a?+b?+c?由均值不等式：a?+b?+c?≥(a3+b3+c3)2/3=1/3且x+y+z=1，所以只需證1/3≥1，顯然不成立因此需要換一種方法證明：由舒爾不等式變形5：x2+y2+z2-3xyz≤(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)因?yàn)閤3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)=1-3xyz所以x2+y2+z2-xy-yz-zx=(1-3xyz)/(x+y+z)代入舒爾不等式變形5得：x2+y2+z2-3xyz≤(x+y+z)(1-3xyz)/(x+y+z)=1-3xyz因此x2+y2+z2≤1又因?yàn)閤+y+z≤√[3(x2+y2+z2)]≤√3所以原不等式x2+y2+z2≥x+y+z等價(jià)于：x2+y2+z2-x-y-z≥0令f(x,y,z)=x2+y2+z2-x-y-z則f(x,y,z)=(x-1/2)2+(y-1/2)2+(z-1/2)2-3/4當(dāng)x=y=z=1/√[3]時(shí)，f(x,y,z)=3×(1/3-1/√3+1/4)-3/4=1-√3<0因此原不等式不成立，需要修正命題正確命題應(yīng)為：x2+y2+z2≥1/√[3]證明：由冪平均不等式：(x2+y2+z2)/3≥[(x3+y3+z3)/3]^(2/3)=(1/3)^(2/3)所以x2+y2+z2≥3×(1/3)^(2/3)=3^(1-2/3)=3^(1/3)=1/√[3]等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=1/√[3]五、應(yīng)用題（共1小題，滿分20分）某工廠要生產(chǎn)三種型號(hào)的產(chǎn)品A、B、C，已知生產(chǎn)每種產(chǎn)品需要消耗甲、乙、丙三種原料，具體消耗如下表所示：產(chǎn)品型號(hào)甲原料(kg)乙原料(kg)丙原料(kg)利潤(rùn)(元)A123100B21280C32160若工廠每天能提供的原料限額為甲原料100kg，乙原料80kg，丙原料60kg，且三種產(chǎn)品都要生產(chǎn)，問如何安排生產(chǎn)計(jì)劃才能使每天的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解：設(shè)每天生產(chǎn)A、B、C三種產(chǎn)品的數(shù)量分別為x,y,z件則約束條件為：x+2y+3z≤100(甲原料約束)2x+y+2z≤80(乙原料約束)3x+2y+z≤60(丙原料約束)x,y,z≥1且為整數(shù)(三種產(chǎn)品都要生產(chǎn))目標(biāo)函數(shù)：maxP=100x+80y+60z首先將約束條件標(biāo)準(zhǔn)化：x+2y+3z=100-a(a≥0)2x+y+2z=80-b(b≥0)3x+2y+z=60-c(c≥0)三式相加得：6x+5y+6z=240-(a+b+c)即6(x+z)+5y=240-(a+b+c)≤240由舒爾不等式知：對(duì)于正實(shí)數(shù)x,y,z，有x3+y3+z3+3xyz≥x2y+x2z+y2x+y2z+z2x+z2y在本題中，可考慮使用線性規(guī)劃方法求解：由第三個(gè)約束條件3x+2y+z≤60，得z≤60-3x-2y代入目標(biāo)函數(shù)得：P=100x+80y+60(60-3x-2y)=100x+80y+3600-180x-120y=3600-80x-40y要使P最大，需使80x+40y最小由第一個(gè)約束條件：x+2y+3z≤100，將z=60-3x-2y代入得：x+2y+3(60-3x-2y)≤100x+2y+180-9x-6y≤100-8x-4y≤-808x+4y≥80即2x+y≥20由第二個(gè)約束條件：2x+y+2z≤80，代入z=60-3x-2y得：2x+y+2(60-3x-2y)≤802x+y+120-6x-4y≤80-4x-3y≤-404x+3y≥40現(xiàn)在問題轉(zhuǎn)化為在約束條件：2x+y≥204x+3y≥403x+2y≤59(因?yàn)閦≥1)x,y≥1且為整數(shù)下，求80x+40y的最小值畫出可行域，找到頂點(diǎn)：x=1,y=18(滿足2×1+18=20)x=4,y=12(滿足4×4+3×12=16+36=52≥40)x=19,y=1(滿足3×19+2×1=59)計(jì)算各頂點(diǎn)的80x+40y值：80×1+40×18=80+720=80080×4+40×12=320+480=80080×19+40×1=1520+40=1560所以最小值為800，此時(shí)P=3600-800=2800對(duì)應(yīng)的z值：當(dāng)x=1,y=18時(shí)，z=60-3×1-2×18=60-3-36=21當(dāng)x=4,y=12時(shí)，z=60-3×4-2×12=60-12-24=24驗(yàn)證原料使用情況：第一種方案(x=1,y=18,z=21)：甲原料：1+2×18+3×21=1+36+63=100kg乙原料：2×1+18+2×21=2+18+42=62kg≤80kg丙原料：3×1+2×18+21=3+36+21=60kg第二種方案(x=4,y=12,z=24)：甲原料：4+2×12+3×24=4+24+72=100kg乙原料：2×4+12+2×24=8+12+48=68kg≤80kg丙原料：3×4+2×12+24=12+24+24=60kg兩種方案都滿足約束條件，且利潤(rùn)均為2800元因此，最大利潤(rùn)為2800元，對(duì)應(yīng)的生產(chǎn)計(jì)劃為：方案一：生產(chǎn)A產(chǎn)品1件，B產(chǎn)品18件，C產(chǎn)品21件方案二：生產(chǎn)A產(chǎn)品4件，B產(chǎn)品12件，C產(chǎn)品24件六、探究題（共1小題，滿分20分）舒爾不等式的推廣與應(yīng)用研究（1）證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,c和正實(shí)數(shù)t，都有a?(a-b)(a-c)+b?(b-a)(b-c)+c?(c-a)(c-b)≥0。（2）利用（1）的結(jié)論證明：對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a,b,c，都有a?+b?+c?≥a3bc+ab3c+abc3。（3）設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù)，且abc=1，求證：a?+b?+c?≥a+b+c。證明：（1）不妨設(shè)a≥b≥c則a?(a-b)(a-c)+b?(b-a)(b-c)+c?(c-a)(c-b)=a?(a-b)(a-c)-b?(a-b)(b-c)+c?(a-c)(b-c)=(a-b)[a?(a-c)-b?(b-c)]+c?(a-c)(b-c)因?yàn)閍≥b≥c，所以a-b≥0,a-c≥b-c≥0又a?≥b?，所以a?(a-c)≥b?(a-c)≥b?(b-c)因此a?(a-c)-b?(b-c)≥0于是(a-b)[a?(a-c)-b?(b-c)]≥0又c?(a-c)(b-c)≥0所以原式≥0，不等式得證（2）由（1）的結(jié)論，取t=3，得：a3(a-b)(a-c)+b3(b-a)(b-c)+c3(c-a)(c-b)≥0展開得：a?+b?+c?-a?b-a?c-b?a-b?c-c?a-c?b+a3bc+ab3c+abc3≥0即：a?+b?+c?+a3bc+ab3c+abc3≥a?b+a?c+b?a+b?c+c?a+c?b由均值不等式知：a?b+b?a≥2a2b2√(ab)同理可得其他項(xiàng)也有類似不等式因此a?b+a?c+b?a+b?c+c?a+c?b≥2(a2b2√(ab)+b2c2√