2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競賽網(wǎng)絡(luò)選拔試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，若A∪B=A，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.2B.3C.2或3D.1或2或3函數(shù)f(x)=√(x2-4x+5)+√(x2-10x+29)的最小值為（）A.√26B.5C.√34D.7在△ABC中，∠A=60°，BC=√3，AC=1，則AB的長為（）A.1B.2C.√3D.√2已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3=7，S6=63，則公比q的值為（）A.2B.-2C.3D.-3若直線y=kx+1與圓x2+y2+2x-4y+1=0相切，則k的值為（）A.0或1B.0或-1C.1或-1D.2或-2已知α，β為銳角，且cosα=3/5，sin(α+β)=5/13，則cosβ的值為（）A.16/65B.33/65C.56/65D.63/65某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.12πcm3B.16πcm3C.20πcm3D.24πcm3已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c，若f(1)=f(2)=f(3)=0，則f(0)的值為（）A.6B.-6C.12D.-12從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的概率為（）A.2/5B.3/5C.1/2D.3/10已知點(diǎn)P(x,y)在橢圓x2/16+y2/9=1上，則z=2x+y的最大值為（）A.5B.√41C.8D.√53二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）若復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i，則|z|=______。已知函數(shù)f(x)=log?(x+1)，則f?1(3)=______。在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，AD=1，∠ADB=120°，則AB2+AC2=______。已知x>0，y>0，且x+2y=1，則1/x+1/y的最小值為______。若關(guān)于x的方程x2+2mx+2m+1=0有兩個(gè)不同的實(shí)根，且一個(gè)根在區(qū)間(-1,0)內(nèi)，另一個(gè)根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______。在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,0)，B(3,0)，C(0,1)，D(0,3)，則以這四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的外接圓方程為______。三、解答題（本大題共6小題，共100分）（本小題滿分15分）已知函數(shù)f(x)=sinxcosx+√3cos2x-√3/2。（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π/2]上的最大值和最小值。（本小題滿分15分）在等差數(shù)列{an}中，已知a1=1，a3+a5=14。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=2^an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn。（本小題滿分20分）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=90°，PA=3。（1）求證：BC⊥平面PAB；（2）求二面角P-BC-A的余弦值；（3）求點(diǎn)A到平面PBC的距離。（本小題滿分20分）已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，過點(diǎn)A作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為D。（1）求證：直線AD平分∠FAD；（2）若|AF|=3，求直線AB的方程；（3）設(shè)點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離的最小值。（本小題滿分20分）已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2+(2-a)x。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）當(dāng)a=1時(shí)，求證：f(x)≤-x2+2x-1。（本小題滿分20分）已知圓O:x2+y2=4，點(diǎn)A(1,0)，B(-1,0)，點(diǎn)P為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足AQ=2QB。（1）求點(diǎn)Q的軌跡方程；（2）過點(diǎn)A作直線l與點(diǎn)Q的軌跡交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|=4√2/3，求直線l的方程；（3）在（2）的條件下，求△OMN的面積。四、附加題（本大題共2小題，每小題20分，共40分。附加題成績不計(jì)入總分，供自主招生參考）已知正整數(shù)n≥2，求證：1+1/2+1/3+…+1/n<2√n。設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=1，求證：(a+1/a)2+(b+1/b)2+(c+1/c)2≥100/3。參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（僅供閱卷參考）一、選擇題C2.B3.B4.A5.C6.C7.D8.A9.A10.B二、填空題√212.713.714.3+2√215.(-5/6,-1/2)16.x2+y2-2x-2y-3=0三、解答題解：（1）f(x)=sinxcosx+√3cos2x-√3/2=1/2sin2x+√3/2(1+cos2x)-√3/2=1/2sin2x+√3/2cos2x=sin(2x+π/3)所以函數(shù)f(x)的最小正周期T=2π/2=π。（5分）（2）因?yàn)閤∈[0,π/2]，所以2x+π/3∈[π/3,4π/3]當(dāng)2x+π/3=π/2，即x=π/12時(shí)，f(x)取得最大值1；當(dāng)2x+π/3=4π/3，即x=π/2時(shí)，f(x)取得最小值-√3/2。（15分）解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閍1=1，a3+a5=14，所以2a1+6d=14，即2+6d=14，解得d=2所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=1+2(n-1)=2n-1。（7分）（2）由（1）知bn=2^(2n-1)=2×4^(n-1)所以數(shù)列{bn}是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列所以Sn=2(1-4^n)/(1-4)=2(4^n-1)/3。（15分）（1）證明：因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC因?yàn)锳B=AC=2，∠BAC=90°，所以BC=2√2又因?yàn)锳B2+AC2=BC2，所以AB⊥AC因?yàn)镻A∩AB=A，所以BC⊥平面PAB。（6分）（2）解：以A為原點(diǎn)，AB，AC，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,3)所以向量BC=(-2,2,0)，向量BP=(-2,0,3)設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z)，則{n·BC=0,n·BP=0}，即{-2x+2y=0,-2x+3z=0}令x=3，則y=3，z=2，所以n=(3,3,2)平面ABC的法向量為m=(0,0,1)所以cos<n,m>=n·m/|n||m|=2/√(9+9+4)=2/√22=√22/11所以二面角P-BC-A的余弦值為√22/11。（13分）（3）解：向量AP=(0,0,3)，點(diǎn)A到平面PBC的距離d=|AP·n|/|n|=|0+0+6|/√22=6/√22=3√22/11。（20分）（1）證明：由拋物線定義知|AF|=|AD|，所以△AFD為等腰三角形因?yàn)锳D⊥l，l垂直于x軸，所以AD平行于x軸所以∠FAD=∠FDA，即直線AD平分∠FAD。（6分）（2）解：拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線l:x=-1設(shè)A(x1,y1)，則|AF|=x1+1=3，所以x1=2，代入拋物線方程得y1=2√2所以A(2,2√2)，又F(1,0)所以直線AB的斜率k=(2√2-0)/(2-1)=2√2所以直線AB的方程為y=2√2(x-1)。（12分）（3）解：設(shè)直線AB的方程為x=my+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)聯(lián)立{x=my+1,y2=4x}，得y2-4my-4=0所以y1+y2=4m，y1y2=-4所以x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2所以點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離d=(x1+x2)/2=2m2+1≥1當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)，等號(hào)成立，所以點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離的最小值為1。（20分）（1）解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)f'(x)=1/x-2ax+(2-a)=(-2ax2+(2-a)x+1)/x=-(2ax+1)(x-1)/x當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)=0，得x=1（x=-1/(2a)舍去）當(dāng)0<x<1時(shí)，f'(x)>0，當(dāng)x>1時(shí)，f'(x)<0所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減。（6分）（2）解：當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減所以f(x)的最大值為f(1)=ln1-a+(2-a)=2-2a要使f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，需2-2a>0，即a<1又因?yàn)楫?dāng)x→0+時(shí)，f(x)→-∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)→-∞所以0<a<1。（12分）（3）證明：當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=lnx-x2+x要證f(x)≤-x2+2x-1，即證lnx-x+1≤0令g(x)=lnx-x+1，則g'(x)=1/x-1=(1-x)/x當(dāng)0<x<1時(shí)，g'(x)>0，當(dāng)x>1時(shí)，g'(x)<0所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減所以g(x)≤g(1)=0，即lnx-x+1≤0所以f(x)≤-x2+2x-1。（20分）（1）解：設(shè)Q(x,y)，P(x0,y0)因?yàn)锳Q=2QB，所以(x-1,y)=2(-1-x,-y)所以{x-1=-2-2x,y=-2y}，解得{x0=(-x-1)/2,y0=-y}因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O上，所以x02+y02=4所以[(-x-1)/2]^2+(-y)^2=4，即(x+1)^2/4+y^2=4所以點(diǎn)Q的軌跡方程為(x+1)^2/16+y^2/4=1。（6分）（2）解：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=1代入(x+1)^2/16+y^2/4=1，得y=±√3，所以|MN|=2√3≠4√2/3，不符合題意當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k(x-1)聯(lián)立{y=k(x-1),(x+1)^2/16+y^2/4=1}，得(1+4k2)x2-2(4k2-1)x+4k2-15=0設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，則x1+x2=2(4k2-1)/(1+4k2)，x1x2=(4k2-15)/(1+4k2)所以|MN|=√(1+k2)|x1-x2|=√(1+k2)√[(x1+x2)^2-4x1x2]=√(1+k2)√[4(4k2-1)^2/(1+4k2)^2-4(4k2-15)/(1+4k2)]=√(1+k2)√[64k2+64]/(1+4k2)=8(1+k2)/(1+4k2)=4√2/3解得k=±1，所以直線l的方程為y=x-1或y=-x+1。（14分）（3）解：當(dāng)直線l的方程為y=x-1時(shí)，原點(diǎn)O到直線l的距離d=|0-0-1|/√2=√2/2所以△OMN的面積S=1/2|MN|d=1/2×4√2/3×√2/2=2/3同理，當(dāng)直線l的方程為y=-x+1時(shí)，△OMN的面積也為2/3所以△OMN的面積為2/3。（20分）證明：當(dāng)n=2時(shí)，左邊=1+1/2=3/2<2√2≈2.828，不等式成立假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)，不等式成立，即1+1/2+1/3+…+1/k<2√k當(dāng)n=k+1時(shí)，1+1/2+1/3+…+1/k+1/(k+1)<2√k+1/(k+1)要證2√k+1/(k+1)<2√(k+1)，即證1/(k+1)<2(√(k+1)-√k)=2/(√(k+1)+√k)因?yàn)閗+1>√(k+1)+√k，所以1/(k+1)<2/(√(k+1)+√k)，不等式成立所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立由數(shù)學(xué)歸納法知，對(duì)于任意正整數(shù)n≥2，不等式都成立。（2