2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競賽自我挑戰(zhàn)試卷一、選擇題（共5小題，每小題7分，滿分35分）每小題均給出A、B、C、D四個選項，其中只有一個選項正確。1.代數(shù)綜合題已知實數(shù)(a,b)滿足(a^2+2b^2=6)，則(a+b)的最大值為（）A.(2\sqrt{2})B.(3)C.(\sqrt{11})D.(4)解析思路：通過三角換元或二次函數(shù)求最值。設(shè)(a=\sqrt{6}\cos\theta)，(b=\sqrt{3}\sin\theta)，則(a+b=\sqrt{6}\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta=3\sin(\theta+\varphi))，最大值為3。2.概率與組合題將數(shù)字1,2,3,4,5,6填入6個小方格中（如圖1），每個方格填一個數(shù)字且不重復(fù)。若要求每行、每列數(shù)字之和均為偶數(shù)，則不同的填法有（）A.144種B.192種C.288種D.360種解析思路：先分析奇偶性：每行需1奇2偶或3奇，結(jié)合列約束，確定第一行填法為(3!\times3!=36)，第二、三行分步計算，總填法為(36\times8=288)。3.幾何動態(tài)題如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點P從A出發(fā)沿AC向C運動，速度為1單位/秒；點Q從C出發(fā)沿CB向B運動，速度為2單位/秒。當(dāng)其中一點到達終點時，兩點均停止運動。則△PCQ面積的最大值為（）A.12B.15C.18D.24解析思路：設(shè)運動時間為(t)秒（(0\leqt\leq4)），則(PC=6-t)，(CQ=2t)，面積(S=(6-t)t=-t^2+6t)，對稱軸(t=3)，最大值(S=9)（注：原選項可能有誤，此處按計算結(jié)果修正）。4.數(shù)論綜合題已知正整數(shù)(m,n)滿足(m^2-n^2=2025)，則有序數(shù)對((m,n))的個數(shù)為（）A.6B.8C.10D.12解析思路：因式分解得((m-n)(m+n)=2025)，2025的正因數(shù)對有(1,2025),(3,675),(5,405),(9,225),(15,135),(27,75),(45,45)，其中(m-n<m+n)且同奇偶，共6組。5.函數(shù)創(chuàng)新題定義函數(shù)(f(x)=[x]+{x}^2)，其中([x])表示不超過(x)的最大整數(shù)，({x}=x-[x])。若(f(x)=5)，則(x)的取值范圍是（）A.([5,6))B.([4,5))C.([3,4))D.([2,3))解析思路：設(shè)(x=k+t)（(k\in\mathbb{Z},0\leqt<1)），則(k+t^2=5)，(k=5)時(t=0)，但(t^2=0)不滿足；(k=4)時(t^2=1)無解；(k=5)僅(x=5)成立，選項中最接近的是A。二、填空題（共5小題，每小題7分，滿分35分）6.代數(shù)計算題已知(x+\frac{1}{x}=3)，則(x^4+\frac{1}{x^4}=)__________。答案：47解析：(x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2=7)，(x^4+\frac{1}{x^4}=7^2-2=47)。7.幾何證明題如圖3，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=4，點E是BC中點，點F在CD上，且CF=1，則△AEF的面積為__________。答案：(3\sqrt{3})解析：建立坐標(biāo)系，A(0,0)，B(4,0)，D(2,(2\sqrt{3}))，C(6,(2\sqrt{3}))，E(5,(\sqrt{3}))，F(xiàn)(5,(2\sqrt{3}))，EF=(\sqrt{3})，高為3，面積(3\sqrt{3})。8.概率應(yīng)用題一個不透明的袋子中裝有3個紅球、2個白球和1個黑球，從中隨機摸出2個球，則至少有1個紅球的概率為__________。答案：(\frac{4}{5})解析：總情況數(shù)(C_6^2=15)，無紅球情況(C_3^2=3)，概率(1-\frac{3}{15}=\frac{4}{5})。9.數(shù)論整除題若四位數(shù)(\overline{abcd})滿足(10a+b=2(c+d))且(\overline{abcd})能被11整除，則這樣的四位數(shù)有__________個。答案：9解析：設(shè)(a+c=b+d+11k)（(k=0)或1），結(jié)合(10a+b=2(c+d))，枚舉得(a=1)到9，共9個數(shù)。10.組合計數(shù)題將6個不同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子至少放1個球，則不同的放法有__________種。答案：540解析：分類：(4,1,1)型：(C_6^4A_3^3=90)；(3,2,1)型：(C_6^3C_3^2A_3^3=360)；(2,2,2)型：(C_6^2C_4^2=90)，總計(90+360+90=540)。三、解答題（共4小題，每小題20分，滿分80分）11.代數(shù)綜合題已知二次函數(shù)(y=ax^2+bx+c)的圖像過點A(-1,0)，B(3,0)，且與y軸交于點C(0,3)。（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）點P是拋物線上一動點，且在x軸上方，過點P作PD⊥x軸于D，交直線BC于點E。當(dāng)PE最大時，求點P的坐標(biāo)。解答：（1）設(shè)(y=a(x+1)(x-3))，代入C(0,3)得(a=-1)，故(y=-x^2+2x+3)。（2）直線BC：(y=-x+3)，設(shè)P(t,(-t^2+2t+3))，E(t,(-t+3))，則(PE=-t^2+3t=-(t-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{4})，當(dāng)(t=\frac{3}{2})時PE最大，P((\frac{3}{2},\frac{15}{4}))。12.幾何證明題如圖4，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過D作DE⊥AC于E。求證：（1）DE是⊙O的切線；（2）(CE=\frac{1}{2}AD)。證明：（1）連接OD，∵OB=OD，AB=AC，∴∠ODB=∠B=∠C，OD∥AC，又DE⊥AC，∴OD⊥DE，故DE是切線。（2）連接AD，AB為直徑，∠ADB=90°，AD平分∠BAC，易證△CDE∽△CAD，(\frac{CE}{CD}=\frac{CD}{CA})，設(shè)CD=BD=x，AC=AB=2R，(CE=\frac{x^2}{2R})，AD=(\sqrt{4R^2-x^2})，需補充條件或原題有誤（注：可能應(yīng)為(CE=\frac{DE^2}{AE})）。13.數(shù)論與組合題將1到2025這2025個正整數(shù)按如圖5所示的方式排列成一個n階方陣（每行n個數(shù)，共n行），其中n=45。（1）求方陣中第i行第j列的數(shù)（用i,j表示）；（2）在方陣中隨機選取一個數(shù)，求該數(shù)能被3整除的概率。解答：（1）第i行第j列的數(shù)為((i-1)n+j=45(i-1)+j)。（2）每3×3子方陣中有3×3=9個數(shù)，其中3的倍數(shù)有3個，概率為(\frac{1}{3})。14.函數(shù)與不等式綜合題已知函數(shù)(f(x)=|x-1|+|x+2|)。（1）求f(x)的最小值；（2）若對任意(x\in\mathbb{R})，(f(x)\geqa|x|+b)恒成立，求a+b的最大值。解答：（1）(f(x)=\begin{cases}-2x-1&(x\leq-2)\3&(-2<x<1)\2x+1&(x\geq1)\end{cases})，最小值為3。（2）分x=0,x>0,x<0討論，當(dāng)a=2,b=-1時，(2|x|-1\leqf(x))恒成立，a+b=1；當(dāng)a=0,b=3時也成立，a+b=3，故最大值為3。四、附加題（共2小題，每小題15分，不計入總分，供拓展練習(xí)）15.組合幾何題在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，以格點為頂點的三角形稱為格點三角形。求面積為5的格點三角形的個數(shù)（全等三角形視為不同）。16.數(shù)論創(chuàng)新題定義“智慧數(shù)”：若正整數(shù)n能表示為兩個非負(fù)整數(shù)的平方差，則稱n為智慧數(shù)。例如3=22-12，5=32-22。（1）判斷2025是否為智慧數(shù)；（2）求1到2025中智慧數(shù)的個數(shù)。（注：附加題答案及解析略，可根據(jù)競賽大綱進一步補充）試卷設(shè)計說明：覆蓋代數(shù)