2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)科學(xué)探究報告試卷一、圖形規(guī)律探究題（共30分）（一）基礎(chǔ)探究（15分）問題提出觀察下列圖形序列，回答問題：![圖形序列示意圖]（注：實際試卷中此處為圖形，現(xiàn)以文字描述替代：第1個圖形由1個正三角形組成，第2個圖形由4個正三角形組成，第3個圖形由9個正三角形組成，每個圖形中正三角形的邊長均為1cm）（1）寫出第n個圖形中包含的正三角形個數(shù)的表達式；（2）若第m個圖形的總面積為729cm2，求m的值；（3）在第5個圖形中，連接所有小正三角形的中心，形成的新圖形是何種多邊形？探究過程（1）通過列表分析圖形序號與正三角形個數(shù)的關(guān)系：|圖形序號|1|2|3|4|...|n||----------|---|---|---|---|-----|---||三角形個數(shù)|1|4|9|16|...|？|（2）計算單個正三角形面積：$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\times1^2=\frac{\sqrt{3}}{4}cm^2$，則第m個圖形總面積為$m^2\times\frac{\sqrt{3}}{4}=729$，解得$m=\sqrt{\frac{729\times4}{\sqrt{3}}}$（需化簡）。（3）通過尺規(guī)作圖或坐標(biāo)法分析中心連線的位置關(guān)系，發(fā)現(xiàn)各中心構(gòu)成對稱結(jié)構(gòu)。（二）拓展探究（15分）問題延伸將上述圖形中的正三角形替換為正方形，邊長仍為1cm，第1個圖形由1個正方形組成，第2個圖形由4個正方形組成（2×2排列），第3個圖形由9個正方形組成（3×3排列）。（1）求第n個圖形的周長表達式；（2）若用同樣邊長的正方形拼成長方形，能否使長方形面積與第6個正方形圖形面積相等且周長比其少8cm？若能，求出長方形的長和寬；若不能，說明理由。探究提示（1）第n個正方形圖形為n×n的正方形，周長$C=4n$；（2）第6個圖形面積為36cm2，設(shè)長方形長為x，寬為y，則$xy=36$，$2(x+y)=4×6-8=16$，聯(lián)立方程判斷是否有正整數(shù)解。二、數(shù)據(jù)分析探究題（共40分）（一）統(tǒng)計實踐（20分）問題背景某初中為了解學(xué)生每周體育鍛煉時間，隨機抽取200名學(xué)生進行調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表：鍛煉時間（小時）0≤t<22≤t<44≤t<66≤t<88≤t≤10頻數(shù)1030607030（1）補全頻數(shù)分布直方圖（注：實際試卷中需繪制圖形）；（2）計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)；（3）若該校共有1500名學(xué)生，估計每周鍛煉時間不少于6小時的學(xué)生人數(shù)。計算過程（2）平均數(shù)：$\bar{x}=\frac{1×10+3×30+5×60+7×70+9×30}{200}$中位數(shù)：第100和101個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，落在4≤t<6或6≤t<8區(qū)間眾數(shù)：出現(xiàn)頻數(shù)最高的區(qū)間為6≤t<8（二）模型建立（20分）問題探究某商店銷售一種進價為20元/件的商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價為x元/件時，每天銷售量為y件，且y與x滿足一次函數(shù)關(guān)系：當(dāng)x=30時，y=100；當(dāng)x=40時，y=80。（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若商店每天固定成本為1000元，求每天的利潤W與售價x的函數(shù)關(guān)系式，并求出利潤最大值；（3）若物價局規(guī)定該商品售價不得超過50元/件，求商店每天能獲得的最大利潤。建模步驟（1）設(shè)$y=kx+b$，代入（30,100）（40,80）得：$\begin{cases}30k+b=100\40k+b=80\end{cases}$，解得$k=-2$，$b=160$，即$y=-2x+160$。（2）利潤$W=(x-20)y-1000=(x-20)(-2x+160)-1000=-2x^2+200x-4200$，化為頂點式求最值。三、幾何綜合探究題（共30分）（一）動態(tài)幾何（15分）問題情境如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點P從點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度為1cm/s；同時點Q從點C出發(fā)沿CB方向向點B勻速運動，速度為2cm/s。設(shè)運動時間為t秒（0≤t≤4）。（1）用含t的代數(shù)式表示線段PC和CQ的長度；（2）當(dāng)t為何值時，△PCQ與△ACB相似？（3）在P、Q運動過程中，線段PQ的長度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，說明理由。關(guān)鍵思路（2）分兩種情況討論相似：$\frac{PC}{AC}=\frac{CQ}{BC}$或$\frac{PC}{BC}=\frac{CQ}{AC}$，即$\frac{6-t}{6}=\frac{2t}{8}$或$\frac{6-t}{8}=\frac{2t}{6}$。（3）PQ長度可表示為$\sqrt{(6-t)^2+(2t)^2}=\sqrt{5t^2-12t+36}$，利用二次函數(shù)求最值。（二）開放探究（15分）問題設(shè)計現(xiàn)有一塊矩形鐵皮，長24cm，寬18cm，在四個角各剪去一個相同的小正方形，然后將四邊折起，制作一個無蓋長方體盒子。請你設(shè)計一個方案，使盒子的容積盡可能大。要求：（1）設(shè)小正方形邊長為xcm，寫出盒子容積V與x的函數(shù)關(guān)系式，并注明x的取值范圍；（2）通過列表或描點作圖分析V隨x的變化趨勢；（3）估算x為何值時，容積V最大（精確到0.1cm）。探究提示（1）盒子長=24-2x，寬=18-2x，高=x，容積$V=(24-2x)(18-2x)x=4x^3-84x^2+432x$，x取值范圍為0<x<9。（2）列表計算x=1,2,3,4,5時的V值，發(fā)現(xiàn)V先增大后減小。（3）通過二次函數(shù)頂點或?qū)?shù)（高中知識，初中可通過逼近法）估算最大值點。四、跨學(xué)科綜合探究題（共20分）問題背景某數(shù)學(xué)興趣小組在測量學(xué)校旗桿高度時，采用了以下方法：在某一時刻測得旗桿影子長為10m，同時測得一根1.5m長的標(biāo)桿影子長為0.6m。（1）求旗桿的高度；（2）若此時太陽光線與地面夾角為α，求tanα的值；（3）若第二天同一時刻（太陽高度角相同），旗桿影子因地面坡度變化而變?yōu)?2m，且影子所在坡面與水平面夾角為30°，求此時旗桿實際高度是否變化？并說明理由?？鐚W(xué)科聯(lián)系（1）利用相似三角形性質(zhì)：$\frac{旗桿高度}{標(biāo)桿高度}=\frac{旗桿影長}{標(biāo)桿影長}$，即$\frac{h}{1.5}=\frac{10}{0.6}$。（2）tanα=對邊/鄰邊=旗桿高度/影長。（3）結(jié)合三角函數(shù)知識，影子長度隨坡面傾斜角變化，但旗桿高度不變，需計算坡面影長對應(yīng)的水平影長。五、實踐應(yīng)用題（共30分）問題情境某快遞公司為優(yōu)化配送路線，對A、B、C三個配送點進行調(diào)研。已知A、B、C在同一直線上，AB=10km，BC=5km，公司擬在直線AC上新建一個中轉(zhuǎn)點P，使P到A、B、C的距離之和最小。（1）畫出示意圖，確定P點的位置；（2）求距離之和的最小值；（3）若在A、B、C三點所在平面內(nèi)任取一點P，上述距離之和是否存在最小值？若存在，說明點P的位置特征；若不存在，舉例說明。方案設(shè)計（1）分情況討論P點位置：當(dāng)P在AB之間時，距離之和=PA+PB+PC=AB+BC=15km；當(dāng)P在BC之間時，距離之和=PA+PB+PC=AB+BC=15km，因此P在B點時距離之和最小。（3）平面內(nèi)三點構(gòu)成三角形時，費馬點到三點距離之和最??；若三點共線，則中間點為最優(yōu)解。六、數(shù)學(xué)文化探究題（共20分）歷史問題重現(xiàn)《九章算術(shù)》中有一題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，適與岸齊。問水深、葭長各幾何？”（注：丈、尺為古代長度單位，1丈=10尺，池方一丈指正方形池塘邊長為1丈）（1）用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言翻譯題目并畫出示意圖；（2）設(shè)水深為x尺，列出方程并求解；（3）若將池塘改為半徑為5尺的圓形，葭生在圓心處，其他條件不變，求水深和葭長。問題解決（2）池塘邊長10尺，中央到岸距離5尺，設(shè)水深x尺，葭長x+1尺，根據(jù)勾股定理：$x^2+5^2=(x+1)^2$，解得x=12尺，葭長13尺。七、創(chuàng)新探究題（共30分）問題提出定義一種新運算“⊕”：對于任意實數(shù)a、b，規(guī)定$a⊕b=\begin{cases}a^2-b&(a≥b)\b^2-a&(a<b)\end{cases}$（1）計算：3⊕(-2)，(-1)⊕4；（2）若x⊕3=10，求x的值；（3）設(shè)函數(shù)y1=x⊕m，y2=-x+4，若兩函數(shù)圖像有且只有一個交點，求m的取值范圍。探究過程（2）分情況討論：當(dāng)x≥3時，$x^2-3=10$，解得x=√13；當(dāng)x<3時，$3^2-x=10$，解得x=-1。（3）聯(lián)立方程：當(dāng)x≥m時，$x^2-m=-x+4$，即$x^2+x-(m+4)=0$；當(dāng)x<m時，$m^2-x=-x+4$，即$m^2=4$，m=±2。需結(jié)合判別式分析交點個數(shù)。八、實驗操作題（共30分）問題要求利用以下材料設(shè)計一個實驗，驗證“三角形內(nèi)角和定理”：材料：硬紙板、剪刀、量角器、直尺、鉛筆。（1）寫出實驗步驟；（2）記錄實驗數(shù)據(jù)（至少測量3個不同類型的三角形）；（3）分析實驗誤差產(chǎn)生的原因。實驗示例（1）步驟：①用直尺在硬紙板上畫銳角、直角、鈍角三角形各一個；②用剪刀剪下每個三角形的三個內(nèi)角；③將三個內(nèi)角頂點拼合在一起，觀察是否形成平角；④用量角器測量拼合后角的度數(shù)并記錄。（2）數(shù)據(jù)記錄表：|三角形類型|內(nèi)角1|內(nèi)角2|內(nèi)角3|內(nèi)角和測量值|理論值|誤差||------------|-------|-------|-------|--------------|--------|------||銳角三角形|60°|70°|50°|180°|180°|0