2.3等腰三角形的性質(zhì)定理考查題型一等腰三角形的相關(guān)概念1．等腰三角形的兩條邊長分別為2和4，則這個(gè)等腰三角形的周長為（

）A．8或10 B．8 C．10 D．11【答案】C【分析】分2是腰長與底邊兩種情況討論求解．【詳解】解：①2是腰長時(shí)，三角形的三邊分別為2、2、4，∵2+2=4，∴不能組成三角形；②2是底邊時(shí)，三角形的三邊分別為2、4、4，能組成三角形，周長=2+4+4=10，綜上所述，三角形的周長為10．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于要分情況討論并利用三角形的三邊關(guān)系判斷是否能組成三角形．2．（多選）在△ABC中，已知a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，則下列條件中，能判定△ABC是等腰三角形的是(

)A．a(chǎn)=5，b=1，c=5 B．a(chǎn):b:c=3:4:5C．∠A=40°，∠C=70° D．∠A:∠B:∠C=3:4:11【答案】AC【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及等腰三角形的性質(zhì)依次判斷即可．【詳解】解：A、∵a=c=5，∴△ABC是等腰三角形；B、∵a≠b≠c，∴△ABC不是等腰三角形；C、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=40°，∠C=70°，∴∠B=70°，∴△ABC是等腰三角形；D、設(shè)∠A=3x，∴3x+4x+11x=180°，解得x=10°，∴∠A=30°，∴△ABC不是等腰三角形；故選：AC．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的判定，正確掌握三角形內(nèi)角和定理及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考查題型二等腰三角形的性質(zhì)定理1（等邊對等角）3．已知等腰三角形一個(gè)角是70度，則它的頂角為（

）A．70 B．40 C．70或40 D．70或20【答案】C【分析】由題意知，分70度是頂角，70度是底角，兩種情況求解即可．【詳解】解：由題意知，分70度是頂角，70度是底角，兩種情況求解：①當(dāng)70度是頂角，頂角為70度；②當(dāng)70度是底角，則頂角為180°-2×70°=40°；∴頂角為70或40度，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形，三角形內(nèi)角和定理等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握．4．如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接CF．若∠A=50°，∠ABD=26°，則∠ACF的度數(shù)為（

）A．66° B．52° C．46° D．42°【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的定義得出∠CBD=∠ABD=26°，∠ABC=2∠ABD=52°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠ACB=180°-50°-52°=78°，根據(jù)垂直平分線可得FB=FC，根據(jù)等邊對等角可得∠FCB=∠CBD=26°，即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=26°，∠ABC=2∠ABD=52°，∴∠ACB=180°-50°-52°=78°，∵EF是BC的垂直平分線，∴FB=FC，∴∠FCB=∠CBD=26°，∴∠ACF=78°-26°=52°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)，求出FB=FC．5．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中線，邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)E，連接BE，交AD于點(diǎn)F．若∠C=66°，則∠AFE的度數(shù)為（

）

A．48° B．62° C．72° D．82°【答案】C【分析】由題意易得∠ABC=∠C=66°，AE=BE，則有∠ABE=∠BAC=48°，然后可得∠EBC=18°，進(jìn)而問題可求解．【詳解】解：∵AB=AC，AD是△ABC的中線，，∠C=66°，∴∠ABC=∠C=66°，AD⊥BC，即∠ADB=90°，∴∠BAC=180°-2∠C=48°，∵AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)E，∴AE=BE，∴∠ABE=∠BAC=48°，∴∠EBC=18°，∴∠AFE=∠BFD=90°-∠EBC=72°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．6．如圖，AD平分∠BAC，AB=AC，且AB∥CD，點(diǎn)E在線段AD上，BE的延長線交CD于點(diǎn)F，連接CE．(1)求證：△ACE(2)當(dāng)AC=AE，∠CAD=38°時(shí)，求∠DCE的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)33°【分析】（1）首先根據(jù)角平分線的概念得到∠CAE=∠BAE，然后證明出△ACE≌（2）首先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠CAE=∠BAE=38°，然后利用等腰三角形的概念和三角形內(nèi)角和定理得到∠ACE=∠AEC=71°，然后利用平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）∵AD平分∠BAC，，∴∠CAE=∠BAE，∵AC=AB，AE=AE，∴△ACE≌（2）∵△ACE≌∴∠CAE=∠BAE=38°，∵AC=AE，∴∠ACE=∠AEC=1∵AB∥CD，∴∠BAC+∠DCA=180°，∴∠DCA=104°，∴∠DCE=33°．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的概念，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)．7．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，DE，DF分別是∠ADB，∠ADC的平分線．求證：DE＝DF．【答案】見解析【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠ADB＝∠ADC＝90°，∠1＝∠2，再通過證明△ADE和△ADF全等，即可求解．【詳解】證明：如圖，∵AB＝AC，D為BC中點(diǎn)，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∠1＝∠2，∵DE、DF分別是∠ADB，∠ADC的平分線，∴∠ADE=12∠ADB=45°∴∠ADE＝∠ADF，在△ADE和△ADF中，∠1=∠2AD=AD∴△ADE≌△ADF（ASA），∴DF＝DE．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，涉及了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)．考查題型三等腰三角形的性質(zhì)定理2（三線合一）8．如圖，△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于D點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，DE=3cm，則BF=（）cm

A．4.8 B．6 C．5 D．6.4【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，三角形面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵△ABC中，AB=AC,AD⊥BC，∴AD是△ABC的中線，∴S△ABC∵S△ABC∴12∵AB=AC，∴12∴BF=6．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的三線合一性質(zhì)，三角形面積公式，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的高，點(diǎn)E、F是AD的三等分點(diǎn)，若△ABC的面積為12cm2，則圖中陰影部分的面積是cm

【答案】6【分析】根據(jù)等腰三角形是軸對稱圖形知，△CEF和△BEF的面積相等，所以陰影部分的面積是△ABC面積的一半．【詳解】解：∵△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的高，∴△ABC是軸對稱圖形，且直線AD是對稱軸，∴△CEF和△BEF的面積相等，∴圖中陰影部分的面積等于△ABD的面積，又∵AB=AC，AD是BC邊上的高，∴BD=CD，∴S△ABD∵△ABC的面積為12cm2∴圖中陰影部分的面積為12故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及軸對稱性質(zhì)；利用對稱發(fā)現(xiàn)△CEF和△BEF的面積相等是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，AD是BC邊上的高．線段AC的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接BE．

(1)試問：線段AE與BE的長相等嗎？請說明理由；(2)求∠EBD的度數(shù)．【答案】(1)相等，理由見解析(2)50°【分析】（1）連接CE，根據(jù)中垂線的性質(zhì)得到AE=CE,BE=CE，即可得到AE=BE；（2）利用等邊對等角，求出∠ABC的度數(shù)，三線合一，求出∠BAE的度數(shù)，等邊對等角得到∠ABE的度數(shù)，利用∠EBD=∠ABD-∠ABE，即可得解．【詳解】（1）解：線段AE與BE的長相等，理由如下：連接CE，

∵AB=AC，AD是BC邊上的高，∴BD=CD，∴AD為BC的垂直平分線，∵點(diǎn)E在AD上，∴BE=CE，又∵線段AC的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，∴AE=CE，∴AE=BE；（2）∵AB=AC，∠BAC=40°，∴∠ABC=1∵AD是BC邊上的高，∴AD平分∠BAC，∴∠BAE=1∵AE=BE，∴∠ABE=∠BAE=20°，∴∠EBD=∠ABD-∠ABE=50°．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)．熟練掌握等邊對等角，三線合一，中垂線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，是解題的關(guān)鍵．11．如圖，在折線段A-B-C中，BC可繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，AB=6，BC=2，線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，將線段AB分成兩部分，旋轉(zhuǎn)BC，PA，當(dāng)三條線段BC，BP，PA首尾順次相連構(gòu)成等腰三角形時(shí)，BP的長為（

）

A．3 B．2或3 C．2或4 D．2或3或4【答案】A【分析】分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系可求解．【詳解】解：當(dāng)AP=BP時(shí)，∵AP+BP=6，∴BP=3，當(dāng)AP=BC=2時(shí)，則BP=4，∵2+2=4，∴三條線段BC，BP，PA不能構(gòu)成三角形，當(dāng)BP=BC=2時(shí)，則AP=4，∵2+2=4，∴三條線段BC，BP，PA不能構(gòu)成三角形，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．12．在等邊三角形ABC的內(nèi)部，按如圖所示的方式放置了兩個(gè)全等的等邊△BDE和△FGH．若求五邊形DECHF的周長，則只需知道（）A．△ABC的周長 B．△AFH的周長C．四邊形FBGH的周長 D．四邊形ADEC的周長【答案】A【分析】證明△AFH≌△CHG（AAS），得到AF=CH最后根據(jù)周長定義表示即可可求解．【詳解】∵兩個(gè)全等的等邊△FGH和等邊三角形ABC∴△AFH≌△CHG（AAS）∴AF=CH∵兩個(gè)全等的等邊△BDE和△FGH．∴EC=AD,FH=BE=DE=BD∴五邊形DECHF的周長=DF+DE+CE+CH+HF=DF+BD+CE+AF+BE=(DF+BD+AF)+(CE+BE)=AB+BC∴只需知道△ABC的周長即可求出五邊形DECHF的周長故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在等邊△ABC中，D、E分別是AB、BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使BD=CE，AE、CD交于點(diǎn)F，下列結(jié)論：①△ACE≌△CBD；②∠AFD=60°A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)【答案】B【分析】由題意知AC=BC，∠ACE=∠CBD=60°，證明△ACE≌△CBDSAS，進(jìn)而可判斷①的正誤；由△ACE≌△CBDSAS可得∠CAE=∠BCD，由三角形外角的性質(zhì)可知∠AFD=∠CAF+∠ACF，∠AFD=∠ACF+∠BCD=60°，進(jìn)而可判斷②的正誤；由E是動(dòng)點(diǎn)，可知AC與2CE的值不一定相等，進(jìn)而可判斷【詳解】解：由題意知AC=BC，∠ACE=∠CBD=60°在△ACE和△CBD中，∵AC=CB∴△ACE≌△CBDSAS故①正確；由△ACE≌△CBDSAS可得∠CAE=∠BCD∵∠AFD=∠CAF+∠ACF，∴∠AFD=∠ACF+∠BCD=60°，故②正確；∵E是動(dòng)點(diǎn)，∴AC與2CE的值不一定相等，故③錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對知識的靈活運(yùn)用．14．如圖1所示的“三等分角儀”能三等分任意一個(gè)角．這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點(diǎn)相連并可繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)．C點(diǎn)固定，OC=CD=DE，點(diǎn)D，E可在槽中滑動(dòng)．如圖2，若∠BDE=84°，則∠CDE的度數(shù)是（

）A．65° B．68° C．66° D．70°【答案】B【分析】由等邊對等角即可得出∠DOE=∠ODC，∠【詳解】解：∵OC=CD=DE，∴∠COD=∠CDO，∠DCE=∠DEC，∵∠DCE=∠CDO+∠COD=2∠COD，∴∠DEC=2∠COD，∵∠COD+∠DEC=∠BDE，∴3∠COD=84°，∴∠COD=28°，∴∠DEC=∠DCE=56°，∴∠CDE=68°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．15．如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D是BC邊上異于B，C的任意一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．若BC邊上的高線AM=2，則DE+DF=．

【答案】2【分析】連接AD，等積法進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC=BC，連接AD，

則：S△ABC∵BC邊上的高線AM=2，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．∴12即：2BC=BC?DE+DF∴DE+DF=2；故答案為2．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是熟練掌握等積法求三角形的面積．16．如圖，已知BM平分∠ABC，AB=AF，AC平分∠BAF，點(diǎn)D在AM上，連接CD交BM于點(diǎn)N，若∠ADC=∠CBM，以下四個(gè)結(jié)論：①BE=EF；②∠FAC+∠ADC=90°；③∠DNM=23

【答案】①②④【分析】根據(jù)三線合一定理得到AC⊥BF，BE=EF，∠BAC=∠FAC，由此即可判斷①；證明△ABE≌△CBE得到∠ECB=∠EAB，進(jìn)而推出∠ECB=∠FAC，利用三角形內(nèi)角和定理可得∠FAC+∠ADC=90°，即可判斷②；由全等三角形的性質(zhì)可得，AE=CE，進(jìn)一步證明△AEN≌△CEN，得到∠ANE=∠CNE，即可推出∠DNM=∠ANE，即可判斷③；再證明∠CBM=∠ABF=∠AFB=∠ADC，由三角形外角的性質(zhì)即可得到∠M=∠FAN，即可判斷【詳解】解：∵AB=AF，AC平分∴AC⊥BF，BE=EF，∠BAC=∠FAC，故∴∠AEB=∠CEB=90°，∵BM平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，又∵BE=BE，∴△ABE≌△CBEASA∴∠ECB=∠EAB，∴∠ECB=∠FAC，∵∠ECB+∠CBM=90°，∠ADC=∠CBM，∴∠FAC+∠ADC=90°，故②正確；∵△ABE≌△CBE，∴AE=CE，又∵EN=EN，∴△AEN≌△CENSAS∴∠ANE=∠CNE，∵∠DNM=∠CNE，∴∠DNM=∠ANE，故③錯(cuò)誤；∵AB=AF，∴∠ABF=∠AFB，∴∠CBM=∠ABF=∠AFB=∠ADC，∵∠AFB=∠FAN+∠ANE，∴∠M=∠FAN，故④正確；故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三線合一定理，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．17．如圖，已知等邊三角形ABC的高為7cm，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F．則PD+PE+PF=【答案】7cm/7【分析】連接PA、PB、PC，根據(jù)△ABP、△BCP、△ACP的面積和等于△ABC的面積，由等邊三角形的三邊相等，即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接PA、PB、PC，作AB邊上的高CG，如圖所示：∵S∴12∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC，∴12∴PE+PD+PF=CG=7cm故答案為：7cm【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及三角形面積的計(jì)算方法；通過作輔助線，根據(jù)三角形面積相等得出結(jié)論是常用的方法．18．在△ABC中，AB=AC，AC邊上的中線BD把三角形的周長分成12cm和15【答案】三角形的各邊長為10cm、10cm【分析】由在△ABC中，AB=AC，AC邊上的中線BD把三角形的周長分成12cm和15cm兩部分，可得|AB-BC|=15-12=3cm，AB+BC+AC=2AB+BC=12+15=27cm，然后分別從【詳解】解：如圖，

∵AB=AC，BD是即AD=CD，∴|AB+AD-BC+CD若AB>BC，則AB-BC=3cm又∵2AB+BC=27cm聯(lián)立方程組:AB-BC=32AB+BC=27解得：AB=10cm10cm、若AB<BC，則BC-AB=3cm又∵2AB+BC=27cm聯(lián)立方程組B