04利用基本不等式解決多元最值問題【方法技巧與總結(jié)】利用基本不等式求解多元最值的常用技巧（1）互倒模型（2）平方和與積的轉(zhuǎn)換（3）條件等式求范圍（4）換元消元法【題型歸納目錄】題型一：互倒模型題型二：平方和與積的轉(zhuǎn)換題型三：條件等式求范圍題型四：換元消元法【典型例題】題型一：互倒模型例1．若，，則的最小值是（

）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】C【解析】因為，，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），所以的最小值是20．故選：C例2．設(shè)，那么的最小值是___________．【答案】16【解析】因，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，所以，當(dāng)時，取最小值16．故答案為：16例3．已知正實數(shù)，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為正實數(shù)，，故，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，故選：C例4．若正數(shù)a，b滿足1，則的最小值為__．【答案】16【解析】因為正數(shù)a，b滿足1，則有1，則有，1，即有，則有16，當(dāng)且僅當(dāng)即有b＝2a，又1，即有a，b＝3，取得最小值，且為16．故答案為：16．例5．已知實數(shù)，，則的最小值為___________．【答案】【解析】因為，，所以當(dāng)"取等號“綜上所述：的最小值為；故答案為：例6．已知，當(dāng)取到最小值時，___________．【答案】【解析】知，當(dāng)取到最小值時，由題意知：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，故當(dāng)取到最小值時，．故答案為：．例7．已知正數(shù)滿足，，則的最小值為__________．【答案】【解析】由，得，，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，所以當(dāng)時，的最小值為．故答案為：題型二：平方和與積的轉(zhuǎn)換例8．是不同時為0的實數(shù)，則的最大值為________．【答案】【解析】，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最大值為．故答案為：．例9．若實數(shù)m，n滿足，則的最小值是___________．【答案】【解析】解析：令，則，因為，所以．從而，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值為．故答案為：．例10．若實數(shù)滿足，則的最小值為__________．【答案】4【解析】，設(shè)，則，，，，等號在，即，或時成立．所以的最小值為4．故答案為：4例11．已知，則的最大值為______．【答案】【解析】當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立．當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立．因此，當(dāng)時，取得最大值，即．故答案為：．例12．若均為正實數(shù)，則的最大值是_______．【答案】【解析】因為均為正實數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．故答案為：．例13．已知，，，則的最大值為________．【答案】【解析】，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時，等號成立，，，的最大值為．故答案為：．例14．不等式對任意正數(shù)x，y，z恒成立，則a的最大值是__________．【答案】1【解析】因為，當(dāng)時取等號，所以的最大值是，即，解得，所以a的最大值是1．故答案為：例15．若，，且，則的最小值為（

）A．9 B．16 C．49 D．81【答案】D【解析】由題意得，得，解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．故選：D例16．已知實數(shù)，且，則的最大值為______．【答案】【解析】由，所以，又由，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以．故答案為：．例17．設(shè)且，則的最大值為_______【答案】【解析】由題意，由均值不等式，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故，即當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立故答案為：例18．已知正實數(shù)，，滿足，則的最大值為___________．【答案】【解析】∵，，為正實數(shù)，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，∴的最大值為．故答案為：例19．已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為________．【答案】12【解析】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，所以的最小值為，故答案為：．題型三：條件等式求范圍例20．設(shè)，則的最小值等于（）A．2 B．4 C． D．【答案】B【解析】因為，可得且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即等號成立，所以的最小值為．故選：B．例21．已知實數(shù)，滿足，則的最小值為__________．【答案】【解析】設(shè)，，，可得，則．當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故答案為：．例22．已知，，且，則的最小值為__________．【答案】【解析】因為所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以的最小值為．故答案為：例23．若正數(shù)a，b滿足，則的最小值是__．【答案】【解析】設(shè)，則，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，取得最小值．故答案為：．例24．若，且滿足，則的最小值為______．【答案】3【解析】由又，則所以當(dāng)且僅當(dāng)以及，即時取得等號．所以的最小值為3故答案為：3例25．已知正實數(shù)a，b，滿足，則的最大值為___．【答案】【解析】因為正實數(shù)，，滿足，則，因為，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，令，，則原式，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時取得最大值，故答案為：．例26．已知正實數(shù)a，b，c滿足，且，則c的最大值為___________．【答案】【解析】由，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等；又由可得，由可得，則，則c的最大值為．故答案為：．例27．已知，，且，則的最小值為___________．【答案】4【解析】由題得，所以．（當(dāng)且僅當(dāng)時取等）因為，所以的最小值為4．故答案為：4例28．若直線過點，則的最大值為___________．【答案】【解析】直線過點，則又，設(shè)，則由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．所以，即所以的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．故答案為：例29．已知，，且，則的最大值為___________．【答案】【解析】因為，，且，所以又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)、時取等號；故答案為：例30．已知a，b為正實數(shù)，且，則的最小值為_______．【答案】【解析】因為、且，所以當(dāng)僅當(dāng)時取等號，即解得或（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)、時取等號；故答案為：題型四：換元消元法例31．已知，，，則的最大值為___________．【答案】【解析】，當(dāng)時取等，所以，故令，則，所以，當(dāng)時，等號成立．所以的最大值為故答案為：例32．已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值是（

）A． B．3 C． D．【答案】A【解析】因為，所以，所以，所以，令，則，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，取等號，所以的最小值是．故選：A．例33．若正實數(shù)，滿足，則的最大值為______．【答案】【解析】因為正實數(shù)a，b滿足b+3a＝2ab，所以a＝，則＝＝＝﹣2（）2+，當(dāng)，即b＝2時取得最大值．故答案為：．例34．已知正實數(shù)x，y滿足：，則的最小值為_________．【答案】【解析】因為，所以，所以，所以，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，所以的最小值為．故答案為：．例35．若實數(shù)滿足，則的最大值為___________．【答案】【解析】令，則，即，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以．所以的最大值為．故答案為：．例36．的最大值為______．【答案】【解析】令，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．所以的最大值為．故答案為：．例37．設(shè)正實數(shù)、、滿足，當(dāng)取得最大值時，的最小值為______．【答案】【解析】正實數(shù)、、滿足，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，當(dāng)時，取得最大值，此時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．因此，的最小值為．故答案為：．例38．已知x，y＝R+，且滿足x2y6，若xy的最大值與最小值分別為M和m，M+m＝_____．【答案】【解析】∵x，y＝R+，設(shè)，則，∴∴12t＝（2t+2）x+（4t+1）y，∴18t≥（t+1）（4t+1）＝4t2+5t+1，∴4t2﹣13t+1≤0，∴，∵xy的最大值與最小值分別為M和m，∴M，m，∴M+m．例39．若實數(shù)滿足，則的最大值為________．【答案】【解析】由，得，設(shè)，其中．則，從而，記，則，不妨設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即最大值為．故答案為：．例40．已知，，則的最小值為____．