2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試：與決策案例分析試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)述描述統(tǒng)計(jì)中，集中趨勢(shì)測(cè)度指標(biāo)（如均值、中位數(shù)、眾數(shù)）各適用于何種數(shù)據(jù)類型和場(chǎng)景？并分析它們?cè)诜从硵?shù)據(jù)集中趨勢(shì)方面的優(yōu)缺點(diǎn)。二、假設(shè)某公司希望了解其產(chǎn)品用戶對(duì)其滿意度的評(píng)價(jià)。隨機(jī)抽取了100名用戶進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，滿意度評(píng)分采用1到5的李克特量表（1表示非常不滿意，5表示非常滿意）。調(diào)查得到的數(shù)據(jù)初步整理后發(fā)現(xiàn)，樣本均值為4.2，標(biāo)準(zhǔn)差為0.8。請(qǐng)回答：1.該滿意度評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)屬于什么類型的數(shù)據(jù)？計(jì)算其變異系數(shù)，并簡(jiǎn)要解釋其含義。2.公司經(jīng)理認(rèn)為“大部分用戶滿意度較高”，請(qǐng)?zhí)岢鲆粋€(gè)假設(shè)檢驗(yàn)的原假設(shè)和備擇假設(shè)（用符號(hào)表示）。3.若要求以95%的置信水平估計(jì)全體用戶平均滿意度的置信區(qū)間，且希望置信區(qū)間的寬度不超過(guò)0.3，公司至少需要調(diào)查多少名用戶？（請(qǐng)說(shuō)明計(jì)算過(guò)程中使用的相關(guān)條件和公式）三、某快消品公司銷售部門想知道電視廣告的投入量（X，單位：萬(wàn)元）與產(chǎn)品銷量（Y，單位：萬(wàn)件）之間的關(guān)系。隨機(jī)收集了過(guò)去12個(gè)季度的相關(guān)數(shù)據(jù)，并計(jì)算出以下統(tǒng)計(jì)量：樣本相關(guān)系數(shù)r=0.85，X的樣本均值為10，Y的樣本均值為8，X的樣本方差s_x^2=4，Y的樣本方差s_y^2=2.5。1.解釋樣本相關(guān)系數(shù)r=0.85的含義。該相關(guān)系數(shù)反映了X與Y之間存在怎樣的關(guān)系？2.公司計(jì)劃下一個(gè)季度投入15萬(wàn)元進(jìn)行電視廣告宣傳，請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，運(yùn)用簡(jiǎn)單線性回歸模型預(yù)測(cè)下一個(gè)季度的產(chǎn)品銷量，并簡(jiǎn)述預(yù)測(cè)結(jié)果的含義。3.在進(jìn)行回歸預(yù)測(cè)時(shí)，需要哪些重要的假設(shè)條件？請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明其中一個(gè)核心假設(shè)的內(nèi)容及其意義。四、一家制造企業(yè)對(duì)其生產(chǎn)線上的產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量控制，規(guī)定產(chǎn)品重量服從正態(tài)分布N(μ,σ^2)。為了監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程是否正常，質(zhì)檢部門每隔一定時(shí)間抽取樣本進(jìn)行檢驗(yàn)。最近一次抽取了25件產(chǎn)品，測(cè)得樣本均值重量為500.5克，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為1.2克。1.假定生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定產(chǎn)品重量的標(biāo)準(zhǔn)差σ不應(yīng)超過(guò)1.5克。請(qǐng)根據(jù)這次抽樣結(jié)果，以0.05的顯著性水平檢驗(yàn)該生產(chǎn)過(guò)程中的標(biāo)準(zhǔn)差是否符合要求。請(qǐng)寫出檢驗(yàn)的步驟，包括提出假設(shè)、計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、確定拒絕域、作出統(tǒng)計(jì)決策。2.如果要檢驗(yàn)產(chǎn)品平均重量是否符合500克的標(biāo)準(zhǔn)（μ=500），請(qǐng)說(shuō)明應(yīng)選擇哪種假設(shè)檢驗(yàn)方法？并解釋選擇該方法的原因。3.在實(shí)際生產(chǎn)中，如果檢驗(yàn)結(jié)果表明生產(chǎn)過(guò)程需要調(diào)整，除了標(biāo)準(zhǔn)差或均值超出控制范圍外，還可能存在哪些其他因素需要考慮？請(qǐng)至少列舉兩種。五、某醫(yī)院想知道接受某種新療法治療的患者康復(fù)時(shí)間（X，單位：天）與治療前的嚴(yán)重程度評(píng)分（Y，單位：分）之間是否存在線性關(guān)系。他們收集了15名患者的治療數(shù)據(jù)，并使用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行了簡(jiǎn)單線性回歸分析，部分輸出結(jié)果如下：*回歸方程：X?=30+0.5Y*回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差：SE(β1)=0.08*殘差的均方和（MSE）=4.5*F檢驗(yàn)的P值=0.003請(qǐng)基于以上信息回答：1.治療前的嚴(yán)重程度評(píng)分每增加1分，預(yù)測(cè)患者康復(fù)時(shí)間會(huì)增加多少天？這種關(guān)系是否具有統(tǒng)計(jì)上的顯著性？（請(qǐng)說(shuō)明判斷依據(jù)）2.請(qǐng)解釋F檢驗(yàn)的P值0.003的含義。3.假設(shè)一名患者治療前的嚴(yán)重程度評(píng)分為8分，請(qǐng)預(yù)測(cè)其康復(fù)時(shí)間，并計(jì)算預(yù)測(cè)值的標(biāo)準(zhǔn)誤差。試卷答案一、集中趨勢(shì)測(cè)度指標(biāo)：*均值：適用于數(shù)值型（定量）數(shù)據(jù)，特別是當(dāng)數(shù)據(jù)服從對(duì)稱分布（如正態(tài)分布）時(shí)。優(yōu)點(diǎn)是利用了所有數(shù)據(jù)信息，計(jì)算簡(jiǎn)便；缺點(diǎn)是易受極端值（離群點(diǎn)）影響。*中位數(shù)：適用于有序數(shù)據(jù)（定序）和數(shù)值型數(shù)據(jù)。優(yōu)點(diǎn)是不受極端值影響，能反映數(shù)據(jù)分布的“中心”位置；缺點(diǎn)是未利用所有數(shù)據(jù)信息，計(jì)算相對(duì)復(fù)雜，對(duì)數(shù)據(jù)變化不敏感。*眾數(shù)：適用于各類數(shù)據(jù)，特別是定類數(shù)據(jù)。優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)單，容易理解，是出現(xiàn)頻率最高的值；缺點(diǎn)是不穩(wěn)定，可能不唯一，未利用所有數(shù)據(jù)信息。二、1.數(shù)據(jù)類型：該滿意度評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)屬于有序分類數(shù)據(jù)（或定序變量），因?yàn)樗砹擞行虻臐M意度等級(jí)，但數(shù)值之間的差不能直接進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算。變異系數(shù)CV=s/μ=0.8/4.2≈0.1905。其含義是樣本滿意度評(píng)分的標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)于均值的比例，反映了樣本滿意度的相對(duì)離散程度或變異性。2.H?:μ≤4（大部分用戶滿意度不較高，即平均滿意度不超過(guò)某個(gè)閾值，通常取中位數(shù)或均值）H?:μ>4（大部分用戶滿意度較高，即平均滿意度超過(guò)該閾值）3.需要使用樣本量計(jì)算公式來(lái)估計(jì)置信區(qū)間寬度所需的樣本量。對(duì)于均值估計(jì)的置信區(qū)間寬度W=Z_(α/2)*(σ/√n)，其中Z_(α/2)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的臨界值（95%置信水平下為1.96），σ是總體標(biāo)準(zhǔn)差（通常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s代替），n是樣本量。要求W≤0.3。由于總體標(biāo)準(zhǔn)差σ未知，用s=0.8代入。0.3≥1.96*(0.8/√n)√n≥1.96*(0.8/0.3)√n≥5.28n≥5.282≈27.88因?yàn)闃颖玖勘仨殲檎麛?shù)，且需要滿足條件，所以至少需要調(diào)查28名用戶。三、1.樣本相關(guān)系數(shù)r=0.85的含義是，在所收集的12個(gè)季度數(shù)據(jù)中，電視廣告投入量（X）與產(chǎn)品銷量（Y）之間存在著強(qiáng)正相關(guān)關(guān)系。相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值接近1，表明兩者關(guān)系的密切程度較高。具體來(lái)說(shuō)，X與Y呈正相關(guān)，即廣告投入越多，銷量通常也越高。該相關(guān)系數(shù)反映了X與Y之間存在線性關(guān)系，且關(guān)系強(qiáng)度強(qiáng)。2.根據(jù)簡(jiǎn)單線性回歸方程X?=a+bX，其中a是截距，b是斜率。已知b=0.5，a=30。當(dāng)X=15時(shí)，預(yù)測(cè)銷量Y?=30+0.5*15=30+7.5=37.5萬(wàn)件。預(yù)測(cè)結(jié)果的含義是，根據(jù)過(guò)去12個(gè)季度的數(shù)據(jù)建立的回歸模型，如果公司下一個(gè)季度投入15萬(wàn)元進(jìn)行電視廣告宣傳，模型預(yù)測(cè)該季度的產(chǎn)品銷量將是37.5萬(wàn)件。3.進(jìn)行簡(jiǎn)單線性回歸預(yù)測(cè)時(shí)，需要滿足以下重要的假設(shè)條件之一：線性假設(shè)：因變量Y與自變量X之間的真實(shí)關(guān)系是線性的。這意味著通過(guò)散點(diǎn)圖觀察，數(shù)據(jù)點(diǎn)應(yīng)大致呈線性趨勢(shì)。這是回歸分析的基礎(chǔ)，如果違背此假設(shè)，回歸預(yù)測(cè)的效果會(huì)大打折扣。四、1.檢驗(yàn)步驟：*提出假設(shè)：H?:σ2≤(1.5)2=2.25（生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)差符合要求）vsH?:σ2>2.25（生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)差超出要求）*選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：由于總體分布未知但樣本量n=25較大（n>30通常認(rèn)為較大），且總體方差未知用樣本方差s2代替，應(yīng)使用χ2檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量公式為χ2=(n-1)s2/σ?2，其中n-1是自由度，s2是樣本方差，σ?2是假設(shè)的總體方差。*計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：χ2=(25-1)*1.22/2.25=24*1.44/2.25=24*0.64=15.36。*確定拒絕域：顯著性水平α=0.05，自由度df=n-1=24。查χ2分布表得臨界值χ2_(0.05,24)≈36.415。拒絕域?yàn)棣?>36.415。*作出統(tǒng)計(jì)決策：計(jì)算得到的χ2=15.36不在拒絕域內(nèi)（15.36<36.415）。因此，不能拒絕原假設(shè)H?。結(jié)論：在α=0.05的顯著性水平下，沒(méi)有足夠的統(tǒng)計(jì)證據(jù)表明該生產(chǎn)過(guò)程中的標(biāo)準(zhǔn)差超過(guò)了規(guī)定的1.5克。2.要檢驗(yàn)產(chǎn)品平均重量是否符合500克的標(biāo)準(zhǔn)（μ=500），應(yīng)選擇單個(gè)正態(tài)總體均值檢驗(yàn)的方法（使用Z檢驗(yàn)或t檢驗(yàn)）。選擇方法的原因：首先，檢驗(yàn)的是均值是否等于特定值；其次，雖然總體是否正態(tài)未知，但樣本量n=25屬于中等大小，根據(jù)中心極限定理，樣本均值的分布近似正態(tài)。如果認(rèn)為數(shù)據(jù)近似正態(tài)分布，或樣本量足夠大，可以使用Z檢驗(yàn)；否則使用t檢驗(yàn)（此處用t檢驗(yàn)更穩(wěn)妥）。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量通常是t=(樣本均值-假設(shè)均值)/(樣本標(biāo)準(zhǔn)差/√n)。3.如果檢驗(yàn)結(jié)果表明生產(chǎn)過(guò)程需要調(diào)整，除了標(biāo)準(zhǔn)差或均值超出控制范圍外，還可能存在以下因素需要考慮：*測(cè)量系統(tǒng)誤差：稱重設(shè)備的校準(zhǔn)是否準(zhǔn)確，是否存在系統(tǒng)性的偏差。*操作人員熟練度：不同操作人員的操作手法是否規(guī)范、一致。五、1.治療前的嚴(yán)重程度評(píng)分每增加1分，預(yù)測(cè)患者康復(fù)時(shí)間會(huì)增加0.5天。這種關(guān)系在統(tǒng)計(jì)上是否顯著，需要查看回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果。通常，如果回歸系數(shù)的p值小于顯著性水平（如0.05），則認(rèn)為關(guān)系顯著。雖然題目未給出β1的t檢驗(yàn)p值，但題目提示了F檢驗(yàn)的p值為0.003，遠(yuǎn)小于0.05。F檢驗(yàn)是檢驗(yàn)整個(gè)回歸模型是否顯著的統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)模型顯著時(shí)（F檢驗(yàn)p<0.05），通常認(rèn)為模型中的各個(gè)回歸系數(shù)（此處只有β1）的效應(yīng)也是顯著的。因此，可以判斷治療前的嚴(yán)重程度評(píng)分與康復(fù)時(shí)間之間的關(guān)系在統(tǒng)計(jì)上是顯著的。2.F檢驗(yàn)的P值0.003的含義是：在假設(shè)治療前的嚴(yán)重程度評(píng)分與康復(fù)時(shí)間之間不存在線性關(guān)系（即回歸模型不顯著）的前提下，觀察到當(dāng)前樣本數(shù)據(jù)所得到的回歸模型（即X與Y之間存在線性關(guān)系）或更極端情況的概率為0.003。由于這個(gè)概率非常?。ㄐ∮诔Ｓ玫娘@著性水平0.05），因此有理由拒絕“不存在線性關(guān)系”的原假設(shè)，認(rèn)為兩者之間存在顯著的線性關(guān)系。3.預(yù)測(cè)值Y?=30+0.5*8=30+4=34天。預(yù)測(cè)值的標(biāo)準(zhǔn)誤差SE(Y?)的計(jì)算公式為：SE(Y?)=√[MSE*(1/n+(X?-X?)2/Σ(X?-X?)2)]其中：*MSE=4.5*n=15*X?=8*X?=10(題目中給出)*Σ(X?-X?)2是樣本數(shù)據(jù)的總離差平方和，通常在回歸分析輸出中提供。假設(shè)該值（或其計(jì)算結(jié)果）為SSX，題目未提供，無(wú)法計(jì)算確切數(shù)值。若假設(shè)SSX已知或可計(jì)算得到，則代入數(shù)值即可求得SE(Y?)。例如，若SSX=54(這是假設(shè)值，實(shí)際應(yīng)從輸出中獲取)，則：SE(Y?)=√[4.5*(1/15+(8-10)2/54)]SE(Y?)=√[4.5*(1/15+4/54)]