大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫：統(tǒng)計(jì)與決策理論試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共10分）1.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，X?,X?,...,Xn是來自該總體的樣本。若用X?表示樣本均值，則下列關(guān)于μ的估計(jì)量中，具有無偏性的是（）。A.X?+X?B.X?+aX?(a為常數(shù))C.X?D.max(X?,X?,...,Xn)2.在假設(shè)檢驗(yàn)H?:μ=μ?vsH?:μ≠μ?中，若選用的顯著性水平為α，則當(dāng)檢驗(yàn)結(jié)果犯第一類錯(cuò)誤的概率為（）。A.βB.1-βC.αD.1-α3.已知總體X的均值μ和方差σ2，從該總體中抽取樣本X?,X?,...,Xn，得到樣本均值X?。當(dāng)n增大時(shí)，X?的分布（）。A.方差增大B.方差減小C.均值變小D.無法確定其分布4.某決策問題的收益矩陣如下（單位：萬元），決策者面臨的自然狀態(tài)為S?和S?，應(yīng)選擇哪個(gè)行動(dòng)方案A?或A?？（用期望收益最大準(zhǔn)則）ABS?S?A?102030A?251510A?301055.在單因素方差分析（ANOVA）中，F(xiàn)檢驗(yàn)的零假設(shè)H?是（）。A.各總體均值均相等B.至少存在一個(gè)總體均值不等C.樣本均值之間不存在顯著差異D.總體方差相等二、填空題（每小題2分，共10分）6.若總體X的均值μ未知，方差σ2已知，欲對(duì)μ進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，在樣本量n固定的情況下，要使置信區(qū)間的精度（寬度）增加，應(yīng)減小__________。7.假設(shè)檢驗(yàn)中，犯第二類錯(cuò)誤的概率記為β，則1-β稱為__________。8.設(shè)事件A、B互斥，P(A)=0.3，P(B)=0.5，則P(A|A∪B)=__________。9.在一個(gè)統(tǒng)計(jì)決策問題中，若決策者選擇行動(dòng)方案A，自然狀態(tài)為S?發(fā)生的概率為P(S?|A)，則P(S?|A)稱為在采取行動(dòng)A的條件下，自然狀態(tài)S?發(fā)生的__________。10.若一個(gè)統(tǒng)計(jì)量θ?是參數(shù)θ的無偏估計(jì)量，且E[(θ?-θ)2]<E[(θ??-θ)2]，其中θ??是另一個(gè)無偏估計(jì)量，則稱θ?相對(duì)于θ??具有__________。三、計(jì)算題（共60分）11.（10分）設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,42)，從中抽取容量為16的樣本，樣本均值為X?=20。求總體均值μ的95%置信區(qū)間。12.（10分）某工廠生產(chǎn)一批零件，假設(shè)零件長(zhǎng)度X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)。為檢驗(yàn)這批零件是否符合標(biāo)準(zhǔn)（標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度μ?=10mm），隨機(jī)抽取8個(gè)零件，測(cè)得長(zhǎng)度分別為：9.9,10.2,10.1,10.0,10.3,9.8,9.9,10.1。假設(shè)方差σ2未知，檢驗(yàn)這批零件的長(zhǎng)度是否符合標(biāo)準(zhǔn)（α=0.05）。請(qǐng)完成以下步驟：(1)寫出原假設(shè)H?和備擇假設(shè)H?；(2)確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其分布；(3)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值及P值；(4)做出統(tǒng)計(jì)決策。13.（10分）某公司考慮推出兩種新產(chǎn)品A和B。市場(chǎng)預(yù)測(cè)顯示，若經(jīng)濟(jì)狀況好，產(chǎn)品A的收益為30萬元，產(chǎn)品B的收益為40萬元；若經(jīng)濟(jì)狀況一般，產(chǎn)品A的收益為20萬元，產(chǎn)品B的收益為10萬元；若經(jīng)濟(jì)狀況差，產(chǎn)品A的收益為-10萬元，產(chǎn)品B的收益為0萬元。根據(jù)市場(chǎng)分析，預(yù)計(jì)經(jīng)濟(jì)狀況好的概率為0.3，一般概率為0.5，差的概率為0.2。請(qǐng)問公司應(yīng)選擇推出哪種產(chǎn)品？（用期望收益最大準(zhǔn)則）14.（15分）設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(x;θ)=θx^(θ-1),0<x<1,θ>0。X?,X?,...,Xn是來自該總體的樣本。(1)求參數(shù)θ的矩估計(jì)量；(2)求參數(shù)θ的極大似然估計(jì)量。15.（15分）已知某產(chǎn)品的重量X服從正態(tài)分布N(μ,2.52)。現(xiàn)從中隨機(jī)抽取9件產(chǎn)品，測(cè)得樣本方差S2=3.22。能否認(rèn)為這批產(chǎn)品的方差σ2顯著大于2.52？（α=0.05）請(qǐng)完成檢驗(yàn)步驟。試卷答案一、選擇題1.C2.C3.B4.A5.A二、填空題6.顯著性水平α（或置信度1-α）7.檢驗(yàn)的勢(shì)（或功效）8.0.39.條件概率10.方差（或有效性）三、計(jì)算題11.解：由題意知，X~N(μ,42)，樣本量n=16，樣本均值X?=20，總體方差σ2=42已知。總體均值μ的置信區(qū)間公式為：X?±Z_(α/2)*(σ/√n)其中，Z_(α/2)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的α/2分位點(diǎn)。對(duì)于95%置信區(qū)間，α=0.05，α/2=0.025，查表得Z_(0.025)=1.96。將已知值代入公式：20±1.96*(4/√16)20±1.96*(4/4)20±1.96*120±1.96置信區(qū)間為：(18.04,21.96)。12.解：(1)原假設(shè)H?:μ=10vs備擇假設(shè)H?:μ≠10(2)總體方差σ2未知，使用t檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：t=(X?-μ?)/(S/√n)，其中S為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。當(dāng)H?為真時(shí)，t~t(n-1)。(3)計(jì)算樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差：樣本均值X?=(9.9+10.2+10.1+10.0+10.3+9.8+9.9+10.1)/8=80.3/8=10.0375樣本方差S2=[Σ(x?-X?)2/(n-1)]=[(9.9-10.0375)2+(10.2-10.0375)2+...+(10.1-10.0375)2]/7S2=[(-0.0375)2+(-0.0375)2+(0.0625)2+(0.0375)2+(0.2625)2+(-0.1375)2+(-0.0375)2+(0.0625)2]/7S2=[0.00140625+0.00140625+0.00390625+0.00140625+0.06890625+0.01890625+0.00140625+0.00390625]/7S2=0.10000000/7≈0.0142857樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=√0.0142857≈0.1195檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量觀測(cè)值：t?=(10.0375-10)/(0.1195/√8)=0.0375/(0.1195/2.8284)=0.0375/0.0422≈0.889P值：由于是雙側(cè)檢驗(yàn)，P值=2*P(T>|t?|)，其中T~t(7)。查t分布表或計(jì)算得，P(T>0.889)≈0.201。所以P值≈2*0.201=0.402。(4)做出決策：比較P值與α。P值≈0.402>α=0.05。因此，不拒絕H?。沒有足夠的證據(jù)認(rèn)為這批零件的長(zhǎng)度不符合標(biāo)準(zhǔn)。13.解：記收益矩陣為：ABS?S?期望收益A?10203010*0.3+20*0.5+30*0.2=3+10+6=19A?25151025*0.3+15*0.5+10*0.2=7.5+7.5+2=17A?3010530*0.3+10*0.5+5*0.2=9+5+1=15比較三個(gè)行動(dòng)方案的期望收益：E(A?)=19,E(A?)=17,E(A?)=15。選擇期望收益最大的行動(dòng)方案A?。14.解：(1)矩估計(jì)：總體一階原點(diǎn)矩：E(X)=∫?1x*θx^(θ-1)dx=θ*∫?1x^θdx=θ*[x^(θ+1)/(θ+1)]?1=θ/(θ+1)。樣本一階原點(diǎn)矩：樣本均值X?=(1/n)*Σx?。令E(X)=X?，即θ/(θ+1)=X?，解得θ?_M=X?/(1-X?)。(2)極大似然估計(jì)：似然函數(shù)：L(θ)=Π?=??θx?^(θ-1)=θ?*(Π?=??x?)^(θ-1)。對(duì)數(shù)似然函數(shù)：lnL(θ)=nlnθ+(θ-1)Σ?=??lnx?。對(duì)θ求導(dǎo)：d(lnL)/dθ=n/θ+Σ?=??lnx?=0。解得極大似然估計(jì)量：θ?_MLE=-n/Σ?=??lnx?。15.解：(1)原假設(shè)H?:σ2=2.52vs備擇假設(shè)H?:σ2>2.52(2)使用χ2檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：χ2=(n-1)S2/σ?2。當(dāng)H?為真時(shí)，χ2~χ2(n-1)。(3)已知樣本量n=9，樣本方差S2=3.22=10.24，總體方差σ?2=2.52=6.25。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量觀測(cè)值：χ2?=(9-1)*10.24/6.25=8*10.24/6.25=81.92/6.25=13.1072。查χ2分布表，自由度df=n-1=8。對(duì)于單尾檢驗(yàn)α=0.