高級中學名校試卷PAGEPAGE1內(nèi)蒙古自治區(qū)錫林郭勒盟2024-2025學年高二上學期11月期中學業(yè)質(zhì)量測試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知三點共線，則（）A. B.6 C. D.2【答案】B【解析】由題可得，即，解得．故選：B.2.某工廠生產(chǎn)A，B，C,3種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量之比為.現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取1個容量為的樣本，若樣本中A種型號的產(chǎn)品有18件，則樣本容量（）A.40 B.60 C.80 D.100【答案】B【解析】分層抽樣抽樣比為，樣本中A種型號的產(chǎn)品有18件，則樣本中B,C種型號的產(chǎn)品有12件,30件.則樣本容量.故選：B.3.甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為，和棋的概率為，則乙不輸?shù)母怕蕿椋ǎ〢. B. C. D.【答案】A【解析】∵乙不輸與甲獲勝對立事件，∴乙不輸?shù)母怕适牵蔬x：A.4.如圖，空間四邊形中，，，，點在上，，點為中點，則等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，為中點，，，，所以.故選：B.5.已知點、，則線段的垂直平分線的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，線段的中點為，線段的垂直平分線的方程是，化為：，故選：A．6.已知某運動員每次射擊擊中目標的概率為80%.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計某運動員射擊4次，至少擊中3次的概率.先由計算器給出0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0，1表示沒有擊中目標，2，3，4，5，6，7，8，9表示擊中目標，以4個隨機數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：75270293714098570347437386366947761042811417469803716233261680456011366195977424根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計該射擊運動員射擊4次，至少擊中3次的概率為（）A.0.852 B.0.7 C.0.8 D.0.75【答案】D【解析】由已知的數(shù)表知，射擊運動員射擊4次，只擊中1次或2次的有7140，7610，1417，0371，6011，共5組，因此該射擊運動員射擊4次，至少擊中3次的有15組，所以該射擊運動員射擊4次，至少擊中3次的概率為.故選：D.7.已知，直線過定點，且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A. B.C.或 D.或【答案】A【解析】∵，，，則，，直線與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是．故選：A．8.現(xiàn)有7張分別標有的卡片，甲一次性從中隨機抽取5張卡片，抽到的卡片數(shù)字之和為，剩下的2張卡片數(shù)字之和為，則的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，故，而，所以，解得，所以求的概率即可，從7張卡片抽2張，基本事件有，，共有個基本事件，且設(shè)的概率為，符合題意的事件有，，共9種，所以，故D正確.故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得得部分分，有選錯得得0分.9.下列說法中正確的是（）A.用簡單隨機抽樣的方法從含有50個個體的總體中抽取一個容量為6的樣本，則個體被抽到的概率是B.，的夾角為鈍角的充要條件是C.數(shù)據(jù)13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的中位數(shù)是18D.若樣本數(shù)據(jù)的方差為1，則數(shù)據(jù)的方差為8【答案】AC【解析】對A：從含有50個個體的總體中抽取一個容量為6的樣本，則個體被抽到的概率是，故A正確；對B：由，可以得到反向，夾角不為鈍角，故B錯誤；對C：將10個數(shù)據(jù)按照從小到大順序排列為：12,13,14,15,17,19,23,24,27,30，又，故這10個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故C正確；對D：若樣本數(shù)據(jù)的方差為1，則數(shù)據(jù)的方差為，故D錯誤.故選：AC.10.已知直線l過點P（3，4）且與點A（－2，2），B（4，－2）等距離，則直線l的方程為（）A.2x+3y－18=0 B.2x－y－2=0C.3x－2y+18=0 D.3x－2y－1=0【答案】AB【解析】依題意，可設(shè)直線l：y－4=k（x－3）（k≠0），即kx－y+4－3k=0，則有，因此－5k+2=k+6或－5k+2=-－k+6），解得k=－或k=2，故直線l的方程為2x+3y－18=0或2x－y－2=0.故選：AB．11.如圖，棱長為2的正方體中，，，，則下列說法正確的是（）A.時，平面B.時，四面體的體積為定值C.時，，使得平面D.若三棱錐的外接球表面積為，則【答案】ABD【解析】對于A，當時，，即，而平面，平面，因此平面，故A正確；對于B，正方體中，當時，面積是定值，又，平面，平面，則平面，于是點到平面的距離是定值，因此四面體的體積為定值，故B正確；對于C，當時，，而，則，因此不垂直于，不存在，使得平面，故C錯誤；對于D，顯然平面，則三棱錐與以線段為棱長方體有相同的外接球，令球半徑為，則，球的表面積，解得，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知在平行四邊形中，，，，則點的坐標為____________．【答案】【解析】因為，，，所以直線的斜率，，設(shè)點的坐標為，因為四邊形為平行四邊形，所以，，所以且，故，解得，，所以點的坐標為.13.某同學進行投籃訓練，在甲?乙?丙三個不同的位置投中的概率分別為，該同學站在三個不同的位置各投籃一次，至少投中一次的概率為，則的值是______.【答案】【解析】由題意，，解得.14.如圖所示，若為平行四邊形所在平面外一點，為棱上的點，且，點在上，且，若，，，四點共面，則實數(shù)的值是______.【答案】【解析】根據(jù)題意可得：，又因為四點共面，故，解得.四、解答題（15題13分，16題和17題為15分，18和19題為17分，共77分）15.已知直角的直角頂點，且在軸上．（1）求點的坐標；（2）求斜邊中線的方程．解：（1）設(shè)頂點的坐標為，由題可得，解得，故點的坐標為．（2）由（1）可知斜邊的中點為，則斜邊的中線的斜率為，代入點斜式方程得．即.16.黃山原名“黟山”，因峰巖青黑，遙望蒼黛而名，后因傳說軒轅黃帝曾在此煉丹，故改名為“黃山”.黃山雄踞風景秀麗的安徽南部，是我國最著名的山岳風景區(qū)之一.為更好地提升旅游品質(zhì)，黃山風景區(qū)的工作人員隨機選擇100名游客對景區(qū)進行滿意度評分（滿分100分），根據(jù)評分，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求x的值；（2）估計這100名游客對景區(qū)滿意度評分的40%分位數(shù)（得數(shù)保留兩位小數(shù)）；（3）景區(qū)的工作人員采用按比例分層抽樣的方法從評分在的兩組中共抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人進行個別交流，求選取的2人評分分別在和內(nèi)各1人的概率.解：（1）由圖知：，可得.（2）由，所以分位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，令其為，則，解得.所以滿意度評分的分位數(shù)為83.33.（3）因為評分在的頻率分別為，則在中抽取人，設(shè)；在中抽取人，設(shè)為；從這6人中隨機抽取2人，則有：，，共有15個基本事件，設(shè)選取的2人評分分別在和內(nèi)各1人為事件，則有，共有8個基本事件，所以17.某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為，．試驗結(jié)果如下：試驗序號12345678910伸縮率545533551522575544541568596548伸縮率536527543530560533522550576536記，記的樣本平均數(shù)為，樣本方差為．（1）求，；（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果，則認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高）解：（1），，，的值分別為:，故.（2）由（1）知:，，故有,所以認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.18.，，三人參加知識闖關(guān)比賽，三人闖關(guān)成功與否相互獨立.已知闖關(guān)成功的概率是，，，三人闖關(guān)都成功的概率是，，，三人闖關(guān)都不成功的概率是.（1）求，兩人各自闖關(guān)成功的概率；（2）求，，三人中恰有兩人闖關(guān)成功的概率.解：（1）記三人各自闖關(guān)成功分別為事件，三人闖關(guān)成功與否得相互獨立，且滿足，解得，，所以，兩人各自闖關(guān)成功的概率都是.（2）設(shè)，，三人中恰有兩人闖關(guān)成功為事件，則，所以三人中恰有兩人闖關(guān)成功的概率為.19.如下圖，在中，，，D是AC中點，E、F分別是BA、BC邊上的動點，且；將沿EF折起，將點B折至點P的位置，得到四棱錐；（1）求證：；（2）若，二面角是直二面角，求二面角的正切值；（3）當時，求直線PE與平面ABC所成角的正弦值的取值范圍．（1）證明：因為，所以，即平面，平面，平面，所以（2）解：因為二面角直二面角，所以平面平面，平面平面，平面，平面，以分別為軸建立空間直角坐標系，設(shè)平面法向量為，，設(shè)平面法向量為，，令，得，所以，設(shè)二面角為，.，.（3）分別以反方向和方向分別為軸，過F做的垂線為z軸，設(shè)，，顯然，，，得出，則，則，根據(jù)翻折后勾股定理得，化簡得，因為構(gòu)成直角三角形，則，且，解得，設(shè)平面的法向量為，設(shè)直線PE與平面ABC所成角為，，則，令，，令，則，且，，根據(jù)對勾函數(shù)上單調(diào)遞減，且恒大于0，則函數(shù)在單調(diào)遞增，則，即，則，即正弦值的取值范圍.內(nèi)蒙古自治區(qū)錫林郭勒盟2024-2025學年高二上學期11月期中學業(yè)質(zhì)量測試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知三點共線，則（）A. B.6 C. D.2【答案】B【解析】由題可得，即，解得．故選：B.2.某工廠生產(chǎn)A，B，C,3種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量之比為.現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取1個容量為的樣本，若樣本中A種型號的產(chǎn)品有18件，則樣本容量（）A.40 B.60 C.80 D.100【答案】B【解析】分層抽樣抽樣比為，樣本中A種型號的產(chǎn)品有18件，則樣本中B,C種型號的產(chǎn)品有12件,30件.則樣本容量.故選：B.3.甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為，和棋的概率為，則乙不輸?shù)母怕蕿椋ǎ〢. B. C. D.【答案】A【解析】∵乙不輸與甲獲勝對立事件，∴乙不輸?shù)母怕适?，故選：A.4.如圖，空間四邊形中，，，，點在上，，點為中點，則等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，為中點，，，，所以.故選：B.5.已知點、，則線段的垂直平分線的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，線段的中點為，線段的垂直平分線的方程是，化為：，故選：A．6.已知某運動員每次射擊擊中目標的概率為80%.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計某運動員射擊4次，至少擊中3次的概率.先由計算器給出0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0，1表示沒有擊中目標，2，3，4，5，6，7，8，9表示擊中目標，以4個隨機數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：75270293714098570347437386366947761042811417469803716233261680456011366195977424根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計該射擊運動員射擊4次，至少擊中3次的概率為（）A.0.852 B.0.7 C.0.8 D.0.75【答案】D【解析】由已知的數(shù)表知，射擊運動員射擊4次，只擊中1次或2次的有7140，7610，1417，0371，6011，共5組，因此該射擊運動員射擊4次，至少擊中3次的有15組，所以該射擊運動員射擊4次，至少擊中3次的概率為.故選：D.7.已知，直線過定點，且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A. B.C.或 D.或【答案】A【解析】∵，，，則，，直線與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是．故選：A．8.現(xiàn)有7張分別標有的卡片，甲一次性從中隨機抽取5張卡片，抽到的卡片數(shù)字之和為，剩下的2張卡片數(shù)字之和為，則的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，故，而，所以，解得，所以求的概率即可，從7張卡片抽2張，基本事件有，，共有個基本事件，且設(shè)的概率為，符合題意的事件有，，共9種，所以，故D正確.故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得得部分分，有選錯得得0分.9.下列說法中正確的是（）A.用簡單隨機抽樣的方法從含有50個個體的總體中抽取一個容量為6的樣本，則個體被抽到的概率是B.，的夾角為鈍角的充要條件是C.數(shù)據(jù)13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的中位數(shù)是18D.若樣本數(shù)據(jù)的方差為1，則數(shù)據(jù)的方差為8【答案】AC【解析】對A：從含有50個個體的總體中抽取一個容量為6的樣本，則個體被抽到的概率是，故A正確；對B：由，可以得到反向，夾角不為鈍角，故B錯誤；對C：將10個數(shù)據(jù)按照從小到大順序排列為：12,13,14,15,17,19,23,24,27,30，又，故這10個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故C正確；對D：若樣本數(shù)據(jù)的方差為1，則數(shù)據(jù)的方差為，故D錯誤.故選：AC.10.已知直線l過點P（3，4）且與點A（－2，2），B（4，－2）等距離，則直線l的方程為（）A.2x+3y－18=0 B.2x－y－2=0C.3x－2y+18=0 D.3x－2y－1=0【答案】AB【解析】依題意，可設(shè)直線l：y－4=k（x－3）（k≠0），即kx－y+4－3k=0，則有，因此－5k+2=k+6或－5k+2=-－k+6），解得k=－或k=2，故直線l的方程為2x+3y－18=0或2x－y－2=0.故選：AB．11.如圖，棱長為2的正方體中，，，，則下列說法正確的是（）A.時，平面B.時，四面體的體積為定值C.時，，使得平面D.若三棱錐的外接球表面積為，則【答案】ABD【解析】對于A，當時，，即，而平面，平面，因此平面，故A正確；對于B，正方體中，當時，面積是定值，又，平面，平面，則平面，于是點到平面的距離是定值，因此四面體的體積為定值，故B正確；對于C，當時，，而，則，因此不垂直于，不存在，使得平面，故C錯誤；對于D，顯然平面，則三棱錐與以線段為棱長方體有相同的外接球，令球半徑為，則，球的表面積，解得，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知在平行四邊形中，，，，則點的坐標為____________．【答案】【解析】因為，，，所以直線的斜率，，設(shè)點的坐標為，因為四邊形為平行四邊形，所以，，所以且，故，解得，，所以點的坐標為.13.某同學進行投籃訓練，在甲?乙?丙三個不同的位置投中的概率分別為，該同學站在三個不同的位置各投籃一次，至少投中一次的概率為，則的值是______.【答案】【解析】由題意，，解得.14.如圖所示，若為平行四邊形所在平面外一點，為棱上的點，且，點在上，且，若，，，四點共面，則實數(shù)的值是______.【答案】【解析】根據(jù)題意可得：，又因為四點共面，故，解得.四、解答題（15題13分，16題和17題為15分，18和19題為17分，共77分）15.已知直角的直角頂點，且在軸上．（1）求點的坐標；（2）求斜邊中線的方程．解：（1）設(shè)頂點的坐標為，由題可得，解得，故點的坐標為．（2）由（1）可知斜邊的中點為，則斜邊的中線的斜率為，代入點斜式方程得．即.16.黃山原名“黟山”，因峰巖青黑，遙望蒼黛而名，后因傳說軒轅黃帝曾在此煉丹，故改名為“黃山”.黃山雄踞風景秀麗的安徽南部，是我國最著名的山岳風景區(qū)之一.為更好地提升旅游品質(zhì)，黃山風景區(qū)的工作人員隨機選擇100名游客對景區(qū)進行滿意度評分（滿分100分），根據(jù)評分，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求x的值；（2）估計這100名游客對景區(qū)滿意度評分的40%分位數(shù)（得數(shù)保留兩位小數(shù)）；（3）景區(qū)的工作人員采用按比例分層抽樣的方法從評分在的兩組中共抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人進行個別交流，求選取的2人評分分別在和內(nèi)各1人的概率.解：（1）由圖知：，可得.（2）由，所以分位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，令其為，則，解得.所以滿意度評分的分位數(shù)為83.33.（3）因為評分在的頻率分別為，則在中抽取人，設(shè)；在中抽取人，設(shè)為；從這6人中隨機抽取2人，則有：，，共有15個基本事件，設(shè)選取的2人評分分別在和內(nèi)各1人為事件，則有，共有8個基本事件，所以17.某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為，．試驗結(jié)果如下：試驗序號12345678910伸縮率545533551522575544541568596548伸縮率