高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省眉山市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.3【答案】B【解析】因?yàn)殡p曲線，所以，，則，所以.故選：B.2.某農(nóng)場共有300頭牛，其中甲品種牛30頭，乙品種牛90頭，丙品種牛180頭，現(xiàn)采用分層抽樣方法抽取60頭牛進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測，則抽取甲、乙、丙三個(gè)品種牛的頭數(shù)分別為（）A.6，18，36 B.6，20，34C.10，18，32 D.10，20，30【答案】A【解析】由題意知，抽樣比例為，則，所以抽取甲，乙，丙三個(gè)品種牛的頭數(shù)分別為.故選：A.3.經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】與直線垂直的直線的斜率為，又直線過點(diǎn)，所以直線方程為，整理得.故選：C.4.將一枚質(zhì)地均勻的正四面體教具連續(xù)拋擲次，第5次和第8次某一面朝下的概率分別記為，，則，的大小關(guān)系為（）A.，的大小由確定 B.C. D.【答案】D【解析】由題設(shè)及古典概率的性質(zhì)，對(duì)于任意一次某一面朝下的概率均為，不朝下的概率均為，所以.故選：D.5.已知圓，圓，則圓與圓的位置關(guān)系是（）A.外離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)含【答案】C【解析】由，則，半徑，由，則，半徑，所以，所以圓與圓的位置關(guān)系是相交.故選：C.6.已知空間向量，，，若，，共面，則m的值為（）A.1 B. C. D.2【答案】D【解析】因?yàn)?，，，且，，共面，所以，又，得到，解得，故選：D.7.某地區(qū)今年舉行了校園足球聯(lián)賽.賽季結(jié)束后的數(shù)據(jù)顯示：甲學(xué)校足球代表隊(duì)（下稱甲隊(duì)）每場比賽平均失球數(shù)是1.3，每場失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是1.2；乙學(xué)校足球代表隊(duì)（下稱乙隊(duì)）每場比賽平均失球數(shù)是1.9，每場失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是0.5.下列說法中正確的是（）A.平均來說乙隊(duì)比甲隊(duì)防守效果好B.甲隊(duì)比乙隊(duì)技術(shù)水平更穩(wěn)定C.甲隊(duì)在防守中有時(shí)表現(xiàn)較差，有時(shí)表現(xiàn)又非常好D.甲隊(duì)每場比賽必失球【答案】C【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，平均來說甲隊(duì)比乙隊(duì)防守效果好，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)BC：因?yàn)椋谊?duì)比甲隊(duì)技術(shù)水平更穩(wěn)定，故B錯(cuò)誤；且甲隊(duì)在防守中的波動(dòng)性較大，可知甲隊(duì)在防守中有時(shí)表現(xiàn)較差，有時(shí)表現(xiàn)又非常好，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：雖然甲隊(duì)每場比賽平均失球數(shù)是1.3，但不能確定每場比賽是否失球，故D錯(cuò)誤；故選：C.8.已知點(diǎn)集，分別表示曲線，，若，有四個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對(duì)，若，則，即，若，則，即，則由兩條射線：及組成；，即，①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)曲線，只有交點(diǎn)，不符；②當(dāng)時(shí)，有，令，可得，當(dāng)時(shí)，與必有交點(diǎn)、，當(dāng)時(shí)，與必有交點(diǎn)、-1,1，當(dāng)時(shí)，與只有交點(diǎn)；③令，若，此時(shí)該方程無解，不符；若，則，此時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)1,0；若，則，則與必有交點(diǎn)、，當(dāng)時(shí)，兩交點(diǎn)坐標(biāo)為、，則此時(shí)，有三個(gè)公共點(diǎn)，不符；則當(dāng)時(shí)，，有交點(diǎn)、、、，符合要求；故，有四個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某人連續(xù)投籃三次，每次投一球，記事件為“三次都投中”，事件為“三次都沒投中”，事件為“恰有二次投中”，事件.為“至少有二次投中”，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】設(shè)為三次投籃命中次，則，可得，所以，，，，故ACD正確，B錯(cuò)誤.故選：ACD.10.下列說法中，正確的是（）A.直線的一個(gè)方向向量為B.，，三點(diǎn)共線C.直線（其中）必過定點(diǎn)D.經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為【答案】ABC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)橹本€的斜率不存在，所以直線的一個(gè)方向向量為，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，即，所以，，三點(diǎn)共線，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：直線，即為，令，解得，所以直線（其中）必過定點(diǎn)，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：例如，可知不存在，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足直線與直線的斜率之積為，記的軌跡為，則下列描述正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，曲線是以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓B.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)所在曲線的焦點(diǎn)在軸上C.當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)的直線與曲線至少有一個(gè)公共點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)不同公共點(diǎn)，則【答案】BD【解析】設(shè)且，則，則且，當(dāng)，則曲線為且，即以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓（去掉點(diǎn)），A錯(cuò)；當(dāng)，則曲線，若，直線軸時(shí)，直線與曲線沒有公共點(diǎn)，C錯(cuò)；當(dāng)，曲線為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，聯(lián)立，整理得，顯然不可能有兩個(gè)交點(diǎn)，若時(shí)，顯然恒成立，所以直線與曲線有兩個(gè)不同公共點(diǎn)，B、D對(duì).故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，若與互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為_____.【答案】2【解析】由題設(shè)，由與互相垂直，則，所以.13.已知直線與直線平行（其中為實(shí)數(shù)），則它們之間的距離為_____.【答案】3【解析】因?yàn)橹本€與直線平行，則，解得，可知兩直線分別為，，符合題意，所以兩直線的距離為.14.已知三棱柱，點(diǎn)在內(nèi)，，，分別為三邊的一個(gè)三等分點(diǎn)，為面的一個(gè)法向量，且.若到面的距離為2，則_____.【答案】【解析】過點(diǎn)作平面于點(diǎn)，則，由三棱柱性質(zhì)可得平面平面，故，則，由、、平面，故又，，，則.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知橢圓長軸長為8，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）以的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，短軸為虛軸的雙曲線記為，求的方程及其漸近線方程.解：（1）由題意可知：，可得，則，所以橢圓的方程為.（2）由（1）可知：的頂點(diǎn)為，短軸長為，設(shè)雙曲線的實(shí)軸長為，虛軸長為，焦距為，由題意可知：，且焦點(diǎn)在x軸上，則，所以雙曲線的方程為，漸近線方程為.16.已知直線，圓（點(diǎn)為圓心）.（1）若直線與圓相切，求實(shí)數(shù)值；（2）當(dāng)時(shí)，判斷直線與圓是否相交于不同的兩點(diǎn)？如果相交于不同兩點(diǎn)，記這兩點(diǎn)為，，并求的面積，如果不相交，請(qǐng)說明理由.解：（1）由可得，即、半徑，由可得，由直線與圓相切，則有，化簡得，即或；（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離為，故直線與圓相交，即直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)，由，則，則.17.甲、乙兩人在沙灘邊進(jìn)行連續(xù)多輪走步比賽，甲、乙各有一個(gè)不透明的盒子，甲的盒子里面有2個(gè)紅球1個(gè)白球，乙的盒子里面有2個(gè)紅球3個(gè)白球，這些球只有顏色不同.每一輪比賽的規(guī)則是：甲、乙同時(shí)各自從自己的盒子里面摸出一球，如果甲摸到紅球，甲向前走一步，否則原地不動(dòng)；如果乙摸到白球，乙向前走一步，否則原地不動(dòng).各自摸球后都放回自己的盒子中.（1）經(jīng)過多輪比賽后，試估計(jì)甲、乙走的步數(shù)誰多？說明理由？（2）以頻率作為概率，試求2輪比賽后，乙走的步數(shù)比甲走的步數(shù)多的概率.解：（1）因?yàn)榧椎暮凶永锩嬗?個(gè)紅球1個(gè)白球，甲摸到紅球，甲向前走一步，所以每一輪甲前進(jìn)的概率為；因?yàn)橐业暮凶永锩嬗?個(gè)紅球3個(gè)白球，乙摸到白球，乙向前走一步，所以每一輪乙前進(jìn)的概率為；因?yàn)?，即每一輪甲前進(jìn)的概率都大于每一輪乙前進(jìn)的概率，所以經(jīng)過多輪比賽后，估計(jì)甲走的步數(shù)多.（2）若頻率作為概率，2輪比賽后，乙走的步數(shù)比甲走的步數(shù)多有三種情況：乙走兩步甲走一步，概率為；乙走兩步甲走零步，概率為；乙走一步甲走零步，概率為；綜上，2輪比賽后，乙走的步數(shù)比甲走的步數(shù)多的概率為18.如圖，等腰梯形的高為2，，，是上靠近的三等分點(diǎn)，如圖①所示，將沿折起到的位置，使得，如圖②所示，點(diǎn)在棱上.（1）求證：直線平面；（2）若是的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值；（3）若平面與平面所成的銳二面角為，求的值.（1）證明：在圖①中，過作，垂足為，則，可知點(diǎn)與點(diǎn)重合，即，在圖②中，可得，又因?yàn)?，，平面，所以直線平面.（2）解：由（1）可知：直線平面，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，若是的中點(diǎn)，則，可得，設(shè)平面的法向量為m=x1,令，則，可得，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）解：由（2）可知：，因?yàn)辄c(diǎn)在棱上，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量n=x2,令，則，可得，由題意可得：，整理可得，解得或（舍去），所以.19.已知拋物線的焦點(diǎn)為，第一象限內(nèi)的一點(diǎn)在拋物線上，且.（1）求拋物線的方程；（2）直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，求的面積（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（3）斜率分別為，的兩條直線都經(jīng)過點(diǎn)，且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，，若，求證：直線過定點(diǎn).解：（1）由拋物線的定義可得，則，解得，則拋物線的方程為.（2）由（1）的焦點(diǎn)F1,0，，則直線的方程為，即，聯(lián)立方程，解得或，即，所以的面積.（3）顯然直線的斜率不為0，則設(shè)方程為，Ax1,y聯(lián)立方程，消去x可得，則，可得，因?yàn)?，可得，即，整理可得，解得或，若，則直線：過定點(diǎn)，不合題意；若，則直線：，過定點(diǎn)，符合題意，綜上所述：直線過定點(diǎn).四川省眉山市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.3【答案】B【解析】因?yàn)殡p曲線，所以，，則，所以.故選：B.2.某農(nóng)場共有300頭牛，其中甲品種牛30頭，乙品種牛90頭，丙品種牛180頭，現(xiàn)采用分層抽樣方法抽取60頭牛進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測，則抽取甲、乙、丙三個(gè)品種牛的頭數(shù)分別為（）A.6，18，36 B.6，20，34C.10，18，32 D.10，20，30【答案】A【解析】由題意知，抽樣比例為，則，所以抽取甲，乙，丙三個(gè)品種牛的頭數(shù)分別為.故選：A.3.經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】與直線垂直的直線的斜率為，又直線過點(diǎn)，所以直線方程為，整理得.故選：C.4.將一枚質(zhì)地均勻的正四面體教具連續(xù)拋擲次，第5次和第8次某一面朝下的概率分別記為，，則，的大小關(guān)系為（）A.，的大小由確定 B.C. D.【答案】D【解析】由題設(shè)及古典概率的性質(zhì)，對(duì)于任意一次某一面朝下的概率均為，不朝下的概率均為，所以.故選：D.5.已知圓，圓，則圓與圓的位置關(guān)系是（）A.外離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)含【答案】C【解析】由，則，半徑，由，則，半徑，所以，所以圓與圓的位置關(guān)系是相交.故選：C.6.已知空間向量，，，若，，共面，則m的值為（）A.1 B. C. D.2【答案】D【解析】因?yàn)?，，，且，，共面，所以，又，得到，解得，故選：D.7.某地區(qū)今年舉行了校園足球聯(lián)賽.賽季結(jié)束后的數(shù)據(jù)顯示：甲學(xué)校足球代表隊(duì)（下稱甲隊(duì)）每場比賽平均失球數(shù)是1.3，每場失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是1.2；乙學(xué)校足球代表隊(duì)（下稱乙隊(duì)）每場比賽平均失球數(shù)是1.9，每場失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是0.5.下列說法中正確的是（）A.平均來說乙隊(duì)比甲隊(duì)防守效果好B.甲隊(duì)比乙隊(duì)技術(shù)水平更穩(wěn)定C.甲隊(duì)在防守中有時(shí)表現(xiàn)較差，有時(shí)表現(xiàn)又非常好D.甲隊(duì)每場比賽必失球【答案】C【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，平均來說甲隊(duì)比乙隊(duì)防守效果好，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)BC：因?yàn)?，乙?duì)比甲隊(duì)技術(shù)水平更穩(wěn)定，故B錯(cuò)誤；且甲隊(duì)在防守中的波動(dòng)性較大，可知甲隊(duì)在防守中有時(shí)表現(xiàn)較差，有時(shí)表現(xiàn)又非常好，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：雖然甲隊(duì)每場比賽平均失球數(shù)是1.3，但不能確定每場比賽是否失球，故D錯(cuò)誤；故選：C.8.已知點(diǎn)集，分別表示曲線，，若，有四個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對(duì)，若，則，即，若，則，即，則由兩條射線：及組成；，即，①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)曲線，只有交點(diǎn)，不符；②當(dāng)時(shí)，有，令，可得，當(dāng)時(shí)，與必有交點(diǎn)、，當(dāng)時(shí)，與必有交點(diǎn)、-1,1，當(dāng)時(shí)，與只有交點(diǎn)；③令，若，此時(shí)該方程無解，不符；若，則，此時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)1,0；若，則，則與必有交點(diǎn)、，當(dāng)時(shí)，兩交點(diǎn)坐標(biāo)為、，則此時(shí)，有三個(gè)公共點(diǎn)，不符；則當(dāng)時(shí)，，有交點(diǎn)、、、，符合要求；故，有四個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某人連續(xù)投籃三次，每次投一球，記事件為“三次都投中”，事件為“三次都沒投中”，事件為“恰有二次投中”，事件.為“至少有二次投中”，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】設(shè)為三次投籃命中次，則，可得，所以，，，，故ACD正確，B錯(cuò)誤.故選：ACD.10.下列說法中，正確的是（）A.直線的一個(gè)方向向量為B.，，三點(diǎn)共線C.直線（其中）必過定點(diǎn)D.經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為【答案】ABC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)橹本€的斜率不存在，所以直線的一個(gè)方向向量為，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，即，所以，，三點(diǎn)共線，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：直線，即為，令，解得，所以直線（其中）必過定點(diǎn)，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：例如，可知不存在，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足直線與直線的斜率之積為，記的軌跡為，則下列描述正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，曲線是以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓B.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)所在曲線的焦點(diǎn)在軸上C.當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)的直線與曲線至少有一個(gè)公共點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)不同公共點(diǎn)，則【答案】BD【解析】設(shè)且，則，則且，當(dāng)，則曲線為且，即以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓（去掉點(diǎn)），A錯(cuò)；當(dāng)，則曲線，若，直線軸時(shí)，直線與曲線沒有公共點(diǎn)，C錯(cuò)；當(dāng)，曲線為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，聯(lián)立，整理得，顯然不可能有兩個(gè)交點(diǎn)，若時(shí)，顯然恒成立，所以直線與曲線有兩個(gè)不同公共點(diǎn)，B、D對(duì).故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，若與互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為_____.【答案】2【解析】由題設(shè)，由與互相垂直，則，所以.13.已知直線與直線平行（其中為實(shí)數(shù)），則它們之間的距離為_____.【答案】3【解析】因?yàn)橹本€與直線平行，則，解得，可知兩直線分別為，，符合題意，所以兩直線的距離為.14.已知三棱柱，點(diǎn)在內(nèi)，，，分別為三邊的一個(gè)三等分點(diǎn)，為面的一個(gè)法向量，且.若到面的距離為2，則_____.【答案】【解析】過點(diǎn)作平面于點(diǎn)，則，由三棱柱性質(zhì)可得平面平面，故，則，由、、平面，故又，，，則.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知橢圓長軸長為8，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）以的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，短軸為虛軸的雙曲線記為，求的方程及其漸近線方程.解：（1）由題意可知：，可得，則，所以橢圓的方程為.（2）由（1）可知：的頂點(diǎn)為，短軸長為，設(shè)雙曲線的實(shí)軸長為，虛軸長為，焦距為，由題意可知：，且焦點(diǎn)在x軸上，則，所以雙曲線的方程為，漸近線方程為.16.已知直線，圓（點(diǎn)為圓心）.（1）若直線與圓相切，求實(shí)數(shù)值；（2）當(dāng)時(shí)，判斷直線與圓是否相交于不同的兩點(diǎn)？如果相交于不同兩點(diǎn)，記這兩點(diǎn)為，，并求的面積，如果不相交，請(qǐng)說明理由.解：（1）由可得，即、半徑，由可得，由直線與圓相切，則有，化簡得，即或；（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離為，故直線與圓相交，即直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)，由，則，則.17.甲、乙兩人在沙灘邊進(jìn)行連續(xù)多輪走步比賽，甲、乙各有一個(gè)不透明的盒子，甲的盒子里面有2個(gè)紅球1個(gè)白球，乙的盒子里面有2個(gè)紅球3個(gè)白球，這些球只有顏色不同.每一輪比賽的規(guī)則是：甲、乙同時(shí)各自從自己的盒子里面摸出一球，如果甲摸到紅球，甲向前走一步，否則原地不動(dòng)；如果乙摸到白球，乙向前走一步，否則原地不動(dòng).各自摸球后都放回自己的盒子中.（1）經(jīng)過多輪比賽后，試估計(jì)甲、乙走的步數(shù)誰多？說明理由？（2）以頻率作為概率，試求2輪比賽后，乙走的步數(shù)比甲走的步數(shù)多的概率.解：（1）因?yàn)榧椎暮凶永锩嬗?個(gè)紅球1個(gè)白球，甲摸到紅球，甲向前走一步，所以每一輪甲前進(jìn)的概率為；因?yàn)橐业暮凶永锩嬗?個(gè)紅球3個(gè)白球，乙摸到白球，乙向前走一步，所以每一輪乙前進(jìn)的概率為；因?yàn)椋?/p>