第16講正切、余切及其特殊角的銳角三角比的值（八大題型）學(xué)習(xí)目標(biāo)1、掌握正切、余切的概念；2、會(huì)求銳角的正切、余切的值；3、知道特殊角的銳角的正切、余切的值。4、掌握銳角的三角比綜合（意義、求值等）一、直角三角形中30°角的性質(zhì)（續(xù)）二、銳角的三角比—正切、余切Ⅰ、先看特殊情景：①在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30,則②在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60,則思考：對(duì)于一個(gè)直角三角形，如果給定了它的一個(gè)銳角的大小，那么它的對(duì)邊與鄰邊的比值是否是一個(gè)確定的值?Ⅱ、再看一般情景：如圖所示，任意畫一個(gè)銳角A,在角A的一邊上任意取點(diǎn)，例如取B1、B2、B3三點(diǎn)，再分別過這三個(gè)點(diǎn)向另一邊作垂線，垂足依次為點(diǎn)C1、C2、C3,從而得到三個(gè)直角三角形，即△AB1C1、△AB2C2和△AB3C3因?yàn)檫@三個(gè)直角三角形有公共的銳角A,所以△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3于是得由此可見，如果給定直角三角形的一個(gè)銳角，那么這個(gè)銳角的對(duì)邊與鄰邊的長(zhǎng)度的比值就是一個(gè)確定的數(shù).Ⅲ、如圖，當(dāng)直角三角形中一個(gè)銳角的大小變化時(shí)，這個(gè)銳角的對(duì)邊與鄰邊的長(zhǎng)度的比值隨著變化嗎?提示：比較∠DAC、∠EAC的對(duì)邊與鄰邊的比值來確定是否變化。Ⅳ、通過上面的討論，可以得到：如圖,在Rt△ABC中(∠C=90°),當(dāng)銳角A的大小確定后，不論Rt△ABC的邊長(zhǎng)怎樣變化，∠A的對(duì)邊BC與鄰邊AC的比值總是確定的，即我們把直角三角形中一個(gè)銳角的對(duì)邊與鄰邊的比叫做這個(gè)銳角的正弦.銳角A的正切記作tanA,同理，在Rt△ABC中(∠C=90°),當(dāng)銳角A的大小確定后，不論Rt△ABC的邊長(zhǎng)怎樣變化，∠A的鄰邊BC與斜邊AB的比值也總是確定的我們把直角三角形中一個(gè)銳角的鄰邊與對(duì)邊的比叫做這個(gè)銳角的余弦.銳角A的余切記作cotA,由正切、余切的意義可以得到，Ⅴ、一個(gè)銳角的正切、余切、正弦、余弦統(tǒng)稱為這個(gè)銳角的三角比任何一個(gè)銳角的三角比的值都是正實(shí)數(shù)，其中正弦和余弦的值小于1(理由上一講已學(xué))。銳角A的三角比tanA、cotA、sinA、cosA中，tanA>0,cotA>0;0<sinA<1,0<cosA<1.銳角的三角比的特殊角的值—正弦、余弦、正切、余切（含上一講）Ⅰ、模型引入Ⅱ、特殊角的三角比值利用三角比的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角比值，歸納如下：銳角cot30°45°1160°【方法規(guī)律】(1)通過該表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角比值，它的另一個(gè)應(yīng)用就是：如果知道了一個(gè)銳角的三角比值，就可以求出這個(gè)銳角的度數(shù)，例如：若，則銳角．(2)仔細(xì)研究表中數(shù)值的規(guī)律會(huì)發(fā)現(xiàn)：、、的值依次為、、，而、、的值的順序正好相反，、、的值依次增大，其變化規(guī)律可以總結(jié)為：①正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而增大(或減小)②余弦、余切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而減小(或增大)．Ⅲ、銳角三角比之間的關(guān)系如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余關(guān)系：，；tanA=cot(90°-∠A)=cotB,tanB=cot(90°-∠B)=cotA.(2)平方關(guān)系：；(3)倒數(shù)關(guān)系：或；(4)商的關(guān)系：Ⅳ、一些非數(shù)學(xué)專業(yè)術(shù)語，通俗的理解或記憶方法①核心思想：畫直角三角形模型②在（銳角三角比的）比值中正、余定分子，弦、切定關(guān)系。Ⅴ、邊、角互化以銳角A的正切為例，在我們學(xué)習(xí)了特殊角的銳角三角比之后，它應(yīng)該改成一個(gè)雙向箭頭（即互推關(guān)系）所以【即學(xué)即練1】中，，下列說法正確的是（

）A．的余切值為 B．的對(duì)邊與鄰邊之比為C．的余弦值 D．的正弦值不確定【答案】D【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解答即可．【解析】解：∵中，，∴的余切值為，∵不一定是直角三角形，∴的對(duì)邊與鄰邊之比不一定為，的余弦值不一定為，的正弦值不確定故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，掌握定義是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練2】在中，，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可．【解析】解：∵在中，，，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正切的定義，解題關(guān)鍵是理解三角函數(shù)的定義．【即學(xué)即練3】填空：；；，．【答案】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值直接求解．【解析】解：；；；．故答案為：；1；；．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練4】滿足的銳角的度數(shù)是．【答案】/30度【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解可得．【解析】解：∵∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)，熟練掌握、、的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練5】在中，，，，那么．【答案】【分析】本題考查了已知正切求邊長(zhǎng)，根據(jù)正切的定義，即可求解．【解析】解：如圖所示，在中，，，，∴∴,故答案為：．題型1：正切、余切的概念【典例1】．在直角三角形中，各邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大到原來的3倍，則銳角A的三角函數(shù)值（

）A．都擴(kuò)大到原來的3倍 B．都縮小為原來的3倍C．都保持原來的數(shù)值不變 D．有的變大，有的縮小【答案】C【分析】理解銳角三角函數(shù)的概念：銳角三角函數(shù)值即為直角三角形中邊的比值．【解析】解：根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，可知在直角三角形中，各邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大3倍，銳角的三角函數(shù)值不變．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)，要能理解銳角三角函數(shù)的概念，明白三角函數(shù)值與邊的長(zhǎng)度無關(guān)．【典例2】．在中，C=90°，tanA=3，tanB=【答案】【分析】根據(jù)解直角三角形，由，即可得到tanB.【解析】解：在中，C=90°，∴，∴.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握正切值等于對(duì)邊比鄰邊.【典例3】．在中，∠C=90°，AB=13，AC=5，．【答案】【分析】先根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，再利用余切公式．【解析】解：中，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理以及余切定理，掌握這兩個(gè)定理是解題的關(guān)鍵．【典例4】．已知在中，∠C=90°，AC=3，AB=4，那么tanA=【答案】【分析】先利用勾股定理計(jì)算BC的長(zhǎng)度，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義可求得tanA的值.【解析】如圖，在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=3，AB=4∴根據(jù)勾股定理.∴.故填.【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，解決本題需注意①熟記正切的計(jì)算方法是解決本題的關(guān)鍵；②可先根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖象，這樣方便正確找出對(duì)應(yīng)的線段.【典例5】．在Rt△ABC中，∠C=90o，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)銳角A的鄰邊a與對(duì)邊b的比叫做∠A的余切，記作cotA．【解析】解：∵∠C=90°，∴=，故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是掌握余切定義．題型2：正切、余切的特殊角的三角比的值【典例6】．在中，，，，求，和的值．【答案】，，．【分析】先利用勾股定理計(jì)算出b的值，然后根據(jù)正弦、余弦和正切的定義求解．【解析】解：，所以，，．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義．【典例7】．計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)的混合運(yùn)算即可求解．【解析】解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查特殊三角函數(shù)的混合運(yùn)算，理解并掌握三角函數(shù)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．【典例8】．計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)即可得到答案．【解析】解：．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，分母有理化，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．【典例9】．計(jì)算：．【答案】【分析】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)的混合運(yùn)算，先將特殊角的三角函數(shù)值代入，然后進(jìn)行計(jì)算即可；牢記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．【解析】解：．【典例10】．計(jì)算：．【答案】【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算即可．本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．【解析】解：原式．【典例11】．計(jì)算：【答案】2【分析】分別把特殊角的三角函數(shù)值代入，再分別計(jì)算，結(jié)合分母有理化，合并化簡(jiǎn)即可解題．【解析】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，分母有理化等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．題型3：已知正切、余切的特殊角的三角比的值，求該角【典例12】．如果，那么銳角度．【答案】45【分析】根據(jù)三角函數(shù)的值，求角的度數(shù).【解析】解：∵，為銳角，∴，故答案為：45．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)，熟記特殊角的三角函數(shù)值，是解題的關(guān)鍵．【典例13】．在中，若，則．【答案】【分析】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出，，進(jìn)而結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得出答案．【解析】解：，，，則．故答案為：．【典例14】．已知銳角滿足，則銳用的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查銳角三角函數(shù)中特殊三角函數(shù)值，利用整體思想，一個(gè)銳角的正切值等于，那么這個(gè)角等于，直接計(jì)算即可求解．【解析】解：∵，∴，∴，故選：．【典例15】．李紅同學(xué)遇到了這樣一道題：，你猜想銳角α的度數(shù)應(yīng)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解即可．【解析】解：∴∴∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．題型4：判斷三角形的形狀【典例16】．△ABC中，∠A、∠B均為銳角，且（tanA﹣）2＋|2cosB﹣1|＝0，則△ABC的形狀是．【答案】等邊三角形【分析】直接利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值得出各角度數(shù)，即可得出答案．【解析】解：，，，則，，故，，則，即的形狀是等邊三角形．故答案為：等邊三角形．【點(diǎn)睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．【典例17】．在中，若，，都是銳角，則是三角形．【答案】等腰直角【分析】此題考查了已知三角函數(shù)值求角，涉及了絕對(duì)值和平方的非負(fù)性，解題的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．根據(jù)絕對(duì)值和平方的非負(fù)性可得，，求得，即可求解．【解析】解：由可得，即，解得：，則，∴為等腰直角三角形，故答案為：等腰直角．題型5：已知一個(gè)銳角三角比的值，求另一個(gè)三角比的值【典例18】．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cos∠A=，那么cot∠A=．【答案】【解析】如圖所示：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，cos∠A＝＝，∴設(shè)AC=2x，則AB=3x，∴由勾股定理得到：BC=，∴cot∠A=.故答案是：.【典例19】．在RtΔABC中，∠，，那么的值為．【答案】【分析】一個(gè)角的余切值等于這個(gè)角的余角的正切值，據(jù)此作答即可．【解析】∵∠C=90°，∴∠A和∠B互余，∴cotB=.故答案為.【點(diǎn)睛】此題考查互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵在于掌握其定義題型6：比較大小關(guān)系【典例20】．下列不等式，成立的是(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值比較即可．【解析】解：特殊角的三角函數(shù)值如下表所示：角度三角函數(shù)名由表格可知：選項(xiàng)A錯(cuò)誤，正確應(yīng)為：；選項(xiàng)B錯(cuò)誤，正確應(yīng)為：；選項(xiàng)C錯(cuò)誤，正確應(yīng)為：；選項(xiàng)D正確，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角三角函數(shù)值和比較它們的大小，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．也可以利用結(jié)論來判斷，判斷依據(jù)：一個(gè)銳角的正弦值和正切值隨著角度的增大而增大，一個(gè)銳角的余弦值和余切值隨著角度的增大而減?。镜淅?1】．令a=sin60°，b=cos45°，c=tan30°，則它們之間的大小關(guān)系是（

）A．c<b<a B．b<c<a C．b<a<c D．a(chǎn)<c<b【答案】A【分析】分別求出a、b、c所對(duì)應(yīng)的值，然后比較它們的大小即可．【解析】a=sin60°=,b=cos45°=,c=tan30°=，∵<<，∴c<b<a.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角函數(shù)，熟練掌握特殊角度的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.【典例22】．已知實(shí)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別求出各三角函數(shù)的值，然后比較他們的大小即可.【解析】解：，∵，∴，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要是考查特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握特殊角的所有三角函數(shù)值，所以要牢記特殊角的三角函數(shù)值，另外還考查了實(shí)數(shù)比較大小.【典例23】．中，，，，則（

）

A．，且B．，且C．，且D．，且【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形中正弦、余弦、正切的定義分別求值，即可得到答案．【解析】解：在中，，，∴，∵，，，，∴，，故選B．題型7：銳角三角比之間的關(guān)系及綜合辨析【典例24】．在中，，、、分別為、、的對(duì)邊，下列各式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查三角函數(shù)的知識(shí)，熟記正弦、余弦和正切的定義是解題的關(guān)鍵．正弦是對(duì)邊比斜邊，余弦是鄰邊比斜邊，正切是對(duì)邊比鄰邊，據(jù)此可判斷．【解析】解：如下圖，A.，故該選項(xiàng)不成立，不符合題意；B.，故該選項(xiàng)不成立，不符合題意；C.，故該選項(xiàng)不成立，不符合題意；D.，故該選項(xiàng)成立，符合題意．故選：D．【典例25】．⊿ABC中，∠C=90°，下列關(guān)系中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義就可以解決．【解析】解：如圖所示，Rt△ABC中，設(shè)AC=b，BC=a，AB=c．根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義：A、∵tanA=，cotA=，，∴，故成立；B、∵tanA=，cotB=，，∴，故不成立；C、∵tanA=，cotB=，∴，故不成立；D、∵cotA=，tanB=，∴，故不成立；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形中兩銳角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合圖形容易求解．【典例26】．對(duì)于銳角，下列等式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系逐一判斷即可．【解析】解：A．，故本選項(xiàng)正確；B．，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選A．【點(diǎn)睛】此題考查的是同角的三角函數(shù)關(guān)系，掌握同角的三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．【典例27】．如圖，在中，，，，，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了三角函數(shù)的相關(guān)定義，根據(jù)正弦，余弦，正切的定義一一判斷即可．【解析】解：．，正確，故該選項(xiàng)不符合題意；．，正確，故該選項(xiàng)不符合題意；．，正確，故該選項(xiàng)不符合題意；．，原表示方法錯(cuò)誤，故該選項(xiàng)符合題意；故選：D．【典例28】．在中，，，，分別是，，的對(duì)邊，有下列關(guān)系式：①；②；③；④，其中正確的有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】B【分析】本題考查銳角的三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)銳角的三角函數(shù)的定義分別表示出、、，從而逐一判斷即可得．【解析】解：如圖，∵，∴，故①錯(cuò)誤；∵，∴，故②正確、④錯(cuò)誤；∵，∴，故③正確，∴正確的有個(gè)．故選：B．

【典例29】．嘉嘉在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果：，，，，．據(jù)此，嘉嘉猜想：對(duì)于任意銳角，，若，均有．(1)當(dāng)，時(shí)，驗(yàn)證是否成立？(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，請(qǐng)結(jié)合如圖所示給予證明，其中所對(duì)的邊為，所對(duì)的邊為，斜邊為；若不成立，請(qǐng)舉出一個(gè)反例；(3)利用上面的證明方法，直接寫出與，之間的關(guān)系．【答案】(1)成立，見解析(2)成立，見解析(3)【分析】（1）直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算驗(yàn)證即可；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的定義列出，，結(jié)合勾股定理整理化簡(jiǎn)即可證得結(jié)論；（3）根據(jù)正切函數(shù)的定義列出表達(dá)式，然后結(jié)合中，，，再變形代入整理即可得出結(jié)論．【解析】（1）解：∵，，∴，結(jié)論成立；（2）解：成立．理由如下：在中，，且，∴，故結(jié)論成立；（3）解：，理由如下：在中，，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查余角之間的三角函數(shù)關(guān)系，以及同角三角函數(shù)關(guān)系的推理證明，理解三角函數(shù)的基本定義，靈活變形構(gòu)造是解題關(guān)鍵．題型8：用計(jì)算器計(jì)算銳角的三角比【典例30】．已知下列銳角三角函數(shù)值，用計(jì)算器求其相應(yīng)銳角的度數(shù)：（1），；（2），；（3），．【答案】（1），；（2），；（3），【分析】利用計(jì)算器完成即可．【解析】（1）由計(jì)算器可得：，；（2）由計(jì)算器可得：，；（3）由計(jì)算器可得：，【點(diǎn)睛】本題考查了在已知三角函數(shù)值的情況下用計(jì)算器求銳角，關(guān)鍵是會(huì)使用計(jì)算器．【典例31】．若tan，利用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算的度數(shù)，下列按鍵順序正確的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】本題考查了計(jì)算器的使用方法，牢記計(jì)算器的按鍵順序是解題的關(guān)鍵；首先找到的按鍵符號(hào)，即鍵，然后根據(jù)鍵的使用方法，結(jié)合題目，即可得出答案．【解析】在計(jì)算器中按下，然后找到的按鍵符號(hào)，即鍵按下鍵，再按鍵，A項(xiàng)符合題意故選：A．【典例32】．利用數(shù)學(xué)課本上的計(jì)算器計(jì)算，正確的按鍵順序是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】本題主要考查了計(jì)算器-三角函數(shù)，根據(jù)計(jì)算器的使用方法，可得答案．【解析】解：利用數(shù)學(xué)課本上的計(jì)算器計(jì)算，按鍵順序是故選：B.【典例33】．利用計(jì)算器求值時(shí)，若按鍵順序?yàn)閯t輸出結(jié)果為．【答案】【分析】本題主要考查了求特殊角三角函數(shù)值，求一個(gè)數(shù)的立方根，根據(jù)題意可得計(jì)算的式子為，據(jù)此求解即可．【解析】解：由題意得，計(jì)算器輸出的結(jié)果為，故答案為：．【典例34】．用教材中的計(jì)算器按下列順序依次按鍵：，屏幕上顯示．【答案】【分析】本題考查了計(jì)算器的基礎(chǔ)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是分析出按鍵中所求的問題．根據(jù)按鍵的顯示，求的是余弦是的角的度數(shù)，按余弦的值寫出度數(shù)即可．【解析】解：∵余弦是的角的度數(shù)是，故答案為：．【典例35】．運(yùn)用計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，按鍵順序如下

，則計(jì)算器顯示的結(jié)果是．【答案】【分析】根據(jù)計(jì)算器的按鍵順序，寫出計(jì)算的式子，然后求值．【解析】根據(jù)題意得式子為化簡(jiǎn)得故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了計(jì)算器的應(yīng)用，根據(jù)按鍵順序正確寫出計(jì)算式子．一．選擇題1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，則∠B的正切值等于（）A． B． C． D．【分析】直接利用正切的定義求解．【解析】解：∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴tanB＝＝．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義：銳角A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．2．如果把Rt△ABC的三邊長(zhǎng)度都擴(kuò)大2倍，那么銳角A的四個(gè)三角比的值（）A．都擴(kuò)大到原來的2倍 B．都縮小到原來的 C．都沒有變化 D．都不能確定【分析】根據(jù)三角形三邊擴(kuò)大相同的倍數(shù)，可得邊的比不變，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，可得答案．【解析】解：如果把Rt△ABC的三邊長(zhǎng)度都擴(kuò)大2倍，銳角A不變，銳角三角函數(shù)值不變，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)，注意銳角不變，銳角三角函數(shù)值不變．3．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則tanA的值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)定義求出即可．【解析】解：如圖所示：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴tanA＝＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了銳角三角函數(shù)定義，正確把握其定義是解題關(guān)鍵．4．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，那么下列三角比的值是的是（）A．sinA B．cosA C．tanA D．cotA【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的正弦，余弦，正切，余切的定義判斷即可．【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握銳角三角函數(shù)的正弦，余弦，正切，余切的區(qū)別．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC等于（）A．a(chǎn)?tanα B．a(chǎn)?cotα C． D．【分析】畫出圖形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出即可．【解析】解：cot∠A＝，∴AC＝BC?cotA＝a?cotA，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力．6．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么下列等式正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求得答案．【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，那么sinA＝＝，則A不符合題意；cosA＝＝，則B不符合題意；tanA＝＝，則C不符合題意；cotA＝＝，則D符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，此為基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．7．已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，那么下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【分析】由題意可得AC＝4，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求得答案．【解析】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，∴AC＝＝4，∴sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，cotA＝＝，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，此為基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．8．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，則下列各式中正確的是（）A．sinA＝ B．cotA＝ C．cosB＝ D．tanB＝3【分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算得，根據(jù)銳角三角函數(shù)分別進(jìn)行計(jì)算即可得．【解析】解：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，則，∴，，，，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識(shí)點(diǎn)．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別表示∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．a(chǎn)＝bcotA B．a(chǎn)＝csinA C． D．b＝atanB【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義就可以求解．【解析】解：∵由銳角三角函數(shù)的定義可知sinA＝，cosA＝，cotA＝，tanB＝，∴a＝csinA，c＝，a＝，b＝atanB，故A選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，比較簡(jiǎn)單，是基礎(chǔ)題．10．以下與tan30°大小相等的是（）A．cos60° B．cot60° C．cot30° D．tan60°【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值分別求出各個(gè)選項(xiàng)中特殊角的三角函數(shù)值，比較大小即可得到答案．【解析】解：tan30°＝，cot60°＝，則與tan30°大小相等的是cot60°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記60°的正切值、余切值是解題的關(guān)鍵．11．在△ABC中，若cosA＝，tanB＝，則這個(gè)三角形一定是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．鈍角三角形 D．銳角三角形【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得出∠A，∠B的度數(shù)，進(jìn)而得出三角形的形狀．【解析】解：∵cosA＝，tanB＝，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∴∠C＝75°，則這個(gè)三角形一定是銳角三角形．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．12．下列各式中正確的個(gè)數(shù)是（）①②tan60°＝cot30°③④．A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行判定即可．【解析】解：①cos45°＝，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；②因?yàn)閠an60°＝，cot30°＝，所以tan60°＝cot30°；故本選項(xiàng)正確；③sinα＝，則α＝30°，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；④tan60°＝＝＝；故本選項(xiàng)正確；綜上所述，正確的說法有2個(gè)；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值．解答④時(shí)，要充分利用三角函數(shù)的定義．二．填空題13．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，則∠A的余切值為．【分析】直接根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解答即可．【解析】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，∴∠A的余切值＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．14．在△ABC中，∠C＝90°，，BC＝1，則cotA＝．【分析】先根據(jù)勾股定理求出AC的值，再求cotA即可．【解析】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，，BC＝1，∴，∴，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理和銳角三角函數(shù)的概念，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，則∠A的正弦等于∠A的對(duì)邊比斜邊，∠A的余弦等于∠A的鄰邊比斜邊，∠A的正切等于∠A的對(duì)邊比鄰邊．∠A的余切等于∠A的鄰邊比對(duì)邊，，，，．15．已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，則tanA＝．【分析】先根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)，再由直角三角形中銳角三角函數(shù)的定義解答．【解析】解：∵△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，∴BC＝＝12．∴tanA＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義．16．在△ABC中，∠C＝90°，如果BC＝3，tanA＝，那么AC＝．【分析】根據(jù)tanA＝，于是得到＝，即可求出AC．【解析】解：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，∵tanA＝＝，∴AC＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，涉及的知識(shí)有：銳角三角函數(shù)定義，利用了方程的思想，熟練掌握定義及定理是解本題的關(guān)鍵．17．在△ABC中，∠C＝90°，如果cotA＝3，AC＝6，那么BC＝．【分析】利用銳角三角函數(shù)的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，cotA＝3，AC＝6，∴BC＝＝＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．18．tan45°+cos60°＝．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值直接求解即可，特別記住tan45°＝1，cos60°＝．【解析】解：原式＝1+＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，牢記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．19．計(jì)算：＝．【分析】把特殊角的三角函數(shù)值，代入原式即可計(jì)算【解析】解：原式＝＝﹣．故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵是要熟記特殊角的三角函數(shù)值，20．用min{a、b、c}表示這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)，則min{sin30°、cos45°、tan30°}＝．【分析】先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出sin30°、cos45°、tan30°的值，再比較其大小即可．【解析】解：sin30°＝，cos45°＝，tan30°＝，∵≈1.4，≈1.7，∴≈0.7，≈0.54．∵0.7＞0.54＞0.5，∴＞＞，即cos45°＞tan30°＞sin30°，∴min{sin30°、cos45°、tan30°}＝sin30°．故答案為：sin30°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角度的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵．三．解答題21．計(jì)算：．【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解析】解：＝+×＝﹣1+＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．22．計(jì)算：．【分析】利用特殊銳角的三角函數(shù)值計(jì)算即可．【解析】解：原式＝+﹣（）2＝++1﹣＝2+．【點(diǎn)評(píng)】本題考查特殊的銳角三角函數(shù)值，此為基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．23．計(jì)算：+cot260°【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)而分別代入求出答案．【解析】解：原式＝+（）2＝+＝．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．24．計(jì)算：．【分析】根據(jù)特殊角度三角函數(shù)、平方差公式、二次根式的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【解析】解：＝＝＝＝＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)、二次根式、乘法公式的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)、二次根式的性質(zhì)，從而完成求解．25．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，求tanB的值．【分析】根據(jù)勾股定理求出AC，由即可求解．【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，由勾股定理得．則．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是求角的正切值．26．設(shè)Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，若b＝6，c＝10，求sinA、cosA和tanA．【分析】直接利用勾股定理得出a的值，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案．【解析】解：如圖所示：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，b＝6，c＝10，∴a＝＝8，∴sinA＝＝＝；cosA＝＝＝；tanA＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，正確掌握邊角關(guān)系