第21講銳角的三角比單元綜合檢測(cè)（難點(diǎn)）一、單選題1．如果，那么與的差（

）．A．大于 B．小于 C．等于 D．不能確定【答案】D【分析】利用銳角三角函數(shù)的增減性分類討論，即可得到答案．【解析】解：當(dāng)時(shí)，，，，；當(dāng)時(shí)，，，，；當(dāng)，，，，，綜上所述，與的差不能確定，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性，解題關(guān)鍵是掌握在之間（不包括和），角度變大，正弦值、正切值也隨之變大，余弦值隨之變?。⒁夥诸愑懻摚?．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AB=m，∠A=，那么CD的長(zhǎng)為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】此題根據(jù)題意作圖根據(jù)銳角三角函數(shù)表示出AC，再表示出CD即可求出結(jié)果．【解析】解：根據(jù)題意作圖如下：由題意知：AB=m，∠A=，∴，∴，即，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，主要涉及到正弦和余弦，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊是解題關(guān)鍵．3．如圖，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，將沿直線翻折，使得點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊上．若，則的長(zhǎng)度是（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)折疊性質(zhì)得到AF=AD=4，∠DAE=∠FAE=15°，∠D=∠AFE=90°，進(jìn)而得到∠AFB=30°，解Rt△ABF，求出，進(jìn)而求出CF=，求出∠EFC=60°，解Rt△CEF，即可求解．【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=4，由折疊可知，AF=AD=4，∠DAE=∠FAE=15°，∠D=∠AFE=90°，∴∠BAF=∠BAD-∠DAE∠FAE=60°，∵∠B=90°，∴∠AFB=30°，∴,∴CF=BC-BF=，∵∠AFB=30°，∠AFE=90°，∴∠EFC=60°，∴在Rt△CEF中，．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊問(wèn)題，解直角三角形等知識(shí)，理解矩形與折疊性質(zhì)，根據(jù)特殊角三角形函數(shù)值解直角三角形是解題關(guān)鍵．4．如圖，某大樓DE樓頂掛著“眾志成城，抗擊疫情”的大型宣傳牌，為了測(cè)量宣傳牌的高度CD，小江從樓底點(diǎn)E向前行走30米到達(dá)點(diǎn)A，在A處測(cè)得宣傳牌下端D的仰角為60°．小江再沿斜坡AB行走26米到達(dá)點(diǎn)B，在點(diǎn)B測(cè)得宣傳牌的上端C的仰角為43°，已知斜坡AB的坡度i＝1：2.4，點(diǎn)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，CD⊥AE，宣傳牌CD的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，≈1.73）A．8.3米 B．8.5米 C．8.7米 D．8.9米【答案】A【分析】過(guò)B分別作AE、DE的垂線，設(shè)垂足為F、G．分別在Rt△ABF和Rt△ADE中，通過(guò)解直角三角形求出BF、AF、DE的長(zhǎng)，再求出EF即BG的長(zhǎng)；在Rt△CBG中求出CG的長(zhǎng)，根據(jù)CD=CG+GE-DE即可求出宣傳牌的高度．【解析】解：過(guò)B作BF⊥AE，交EA的延長(zhǎng)線于F，作BG⊥DE于G．Rt△ABF中，i=tan∠BAF=＝，AB=26米，∴BF=10（米），AF=24（米），∴BG=AF+AE=54（米），Rt△BGC中，∠CBG=43°，∴CG=BG?tan43°≈54×0.93=50.22（米），Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=30米，∴DE=AE=30（米），∴CD=CG+GE-DE=50.22+10-30≈8.3（米）．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了仰角、坡度的定義，能夠正確地構(gòu)建出直角三角形，將實(shí)際問(wèn)題化歸為解直角三角形的問(wèn)題是解答此類題的關(guān)鍵．5．如圖，在等腰三角形中．，．點(diǎn)D，E在邊上，點(diǎn)F，G分別在和邊上．若四邊形為正方形，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．作于，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得，求出，表示出正方形和的面積，即可求解．【解析】解：作于，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，設(shè)，在中，，，∵，，，，．故選：B．6．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，，把沿著AC翻折得到，若，則線段DE的長(zhǎng)度（

）A． B． C． D．275【答案】B【分析】作DM⊥CE，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠ACE=∠ACB，BC=EC，然后結(jié)合已知條件求出DM和EM的長(zhǎng)度，最后在Rt△EDM中運(yùn)用勾股定理求解即可．【解析】如圖所示，作DM⊥CE于M點(diǎn)，∵∠ABC＝90°，，∴，則∠CAB=30°，∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴CD∥AB，∴∠ACD=∠CAB=30°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得：∠ACE=∠ACB=60°，，∴∠ECD=30°，設(shè)DM=x，則CD=2x，MC=x，∴EM=EC-MC=-x，∵，∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是上述分式方程的解，∴，，∴在Rt△EDM中，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的翻折問(wèn)題，涉及到勾股定理，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，理解并熟練運(yùn)用正切函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．二、填空題7．如圖，AD是△ABC的角平分線，過(guò)點(diǎn)C作AD的垂線交邊AB于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)O，當(dāng)CE為△ABC邊AB上的中線，且CE=AD時(shí)，則．【答案】【分析】過(guò)E點(diǎn)作EF∥AD，對(duì)應(yīng)邊成比例，令A(yù)D=CE=8k，則OD=2k，OA=6k，作CH⊥AE于點(diǎn)H，由勾股定理求出AC，在△ACE中用等面積法求出CH，從而得出答案．【解析】如圖，作EF∥AD交BC于點(diǎn)F，∵AD⊥AE，AD平分∠CAB，∴O是CD中點(diǎn)，，∵CE是△ABC的中線，∴E為AB中點(diǎn)，，∵AD=CE，令A(yù)D=CE=8k，則OE=OC=4k=EF，OD=2k，OA=6k，在Rt△ACO中，AC=，∵AO垂直平分CE，∴AC=AE=；過(guò)C點(diǎn)作AH⊥AE交AE于點(diǎn)H，在△ACE中，通過(guò)等面積法可得：，∴CH=，在Rt△ACH中，；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握性質(zhì)之間的線段和角度轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．8．如圖，和都是等邊三角形，點(diǎn)D是的重心，那么．【答案】【分析】如圖，延長(zhǎng)交于F，由題意得，，則，由，可得，計(jì)算求解即可．【解析】解：如圖，延長(zhǎng)交于F，∵點(diǎn)D是的重心，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∵和都是等邊三角形，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了重心，等邊三角形的性質(zhì)，正弦函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．9．如圖，已知與相似，，，，，連接，交邊于點(diǎn)，那么線段的長(zhǎng)是．【答案】【分析】此題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)和勾股定理，過(guò)作于點(diǎn)，構(gòu)造相似三角形，再通過(guò)性質(zhì)即可求解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用．【解析】如圖，過(guò)作于點(diǎn)，在中，由勾股定理得：∵與相似，，，∴，即，∴，在中，，∴，，在中，由勾股定理得：，∵，∴，∴，∴，∴．10．如圖，△ABC中，，，，將三角形繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C落在直線AB上的點(diǎn)處，點(diǎn)B落在點(diǎn)處，若C、B、恰好在一直線上，則AB的長(zhǎng)為．【答案】【分析】作于點(diǎn)，作于點(diǎn)．則，設(shè)，，則，，即可利用表示出的長(zhǎng)，在直角中利用勾股定理求得的值，進(jìn)而求得，得到的長(zhǎng)．【解析】解：作于點(diǎn)，作于點(diǎn)．則．，．設(shè)，，則，，在直角△中，，則，，，，，．則，解得：．又中，即，解得：，則，．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確理解旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，作出輔助線，得到和的關(guān)系．11．如圖，在等邊內(nèi)有一點(diǎn)，，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使與重合，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)，則的余弦值為．【答案】/0.9【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明是等邊三角形和得：AD=DE=AE=5，CE=BD=6，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CD，垂足為H．設(shè)DH=x，則CH=4-x．由勾股定理得出62-（4-x）2=52-x2，求出DH，CH的長(zhǎng)，由銳角三角函數(shù)的定義可得出答案．【解析】解：∵是等邊三角形∴AB=AC，∵繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且與重合，∴，AD=AE∴是等邊三角形，∴，∵∴又AB=AC，AD=AE∴∴過(guò)點(diǎn)作，垂足為．設(shè)，則．由勾股定理得：，即，解得：，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．如圖，某飛機(jī)于空中處探測(cè)到某地面目標(biāo)在點(diǎn)處，此時(shí)飛行高度米，從飛機(jī)上看到點(diǎn)的俯角為飛機(jī)保持飛行高度不變，且與地面目標(biāo)分別在兩條平行直線上同向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)飛機(jī)飛行米到達(dá)點(diǎn)時(shí)，地面目標(biāo)此時(shí)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處，從點(diǎn)看到點(diǎn)的仰角為，則地面目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的距離約為米．（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】【分析】根據(jù)題意可得，AC=1200m，，，，，，如圖所述，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，根據(jù)正切的計(jì)算方法可求出的值，在中根據(jù)角的正切值可求出的值，由此即可求解．【解析】解：根據(jù)題意可得，AC=1200m，，，，，，∴如圖所述，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，即，且，，∴，∴四邊形是矩形，即，，在，AC=1200m，，∴，則，∴，在中，，，∴，則，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查運(yùn)用仰俯角的正切值計(jì)算邊的長(zhǎng)度，掌握構(gòu)成直角三角形，三角函數(shù)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．13．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)，將矩形繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)A恰好落在直線上的點(diǎn)處，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】或【分析】分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)A在上時(shí)：連接作于H，證明得到即可得到答案；②當(dāng)點(diǎn)A在延長(zhǎng)線上時(shí)：過(guò)點(diǎn)作軸，連接，根據(jù)對(duì)頂角相等和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，再根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得出，然后利用勾股定理求得即可得出答案．【解析】解：①當(dāng)點(diǎn)A在上時(shí)：連接作于H，如圖所示，由題意知：則由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，在和中∴點(diǎn)的坐標(biāo)為②當(dāng)點(diǎn)A在延長(zhǎng)線上時(shí)：過(guò)點(diǎn)作軸，連接，如圖由①知，由旋轉(zhuǎn)可知，，，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．14．如圖，正方形中，，為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)作，分別交邊、于點(diǎn)、．連接，如果是以為底邊的等腰三角形，那么．【答案】【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，利用已知條件通過(guò)添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．延長(zhǎng)交于點(diǎn)A′，過(guò)點(diǎn)F作于H，易證，得出；利用勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而得出．利用互余角的三角函數(shù)的關(guān)系，得出，在和中利用的值列出方程，即可求得結(jié)論．【解析】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)A′，過(guò)點(diǎn)F作于H，∵是正方形，∴，∴．在和中，．∴．∴．∵E為邊的中點(diǎn)，∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．設(shè)，則．∴．在中，，∴．在中，，∴．∴．∴．故答案為：．15．定義：如果三角形有兩個(gè)內(nèi)角的差為，那么這樣的三角形叫做準(zhǔn)直角三角形．已知在直角中，，，，如圖，如果點(diǎn)在邊上，且是準(zhǔn)直角三角形，那么．【答案】或．【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，利用分類討論思想解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可求解【解析】當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)D作于H，在中，，，，∴，∵，，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，當(dāng)時(shí)，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，綜上所述：或；16．如圖，在菱形中，，，如果將菱形繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)恰好落在菱形的初始邊上的點(diǎn)處，那么點(diǎn)到直線的距離為．【答案】3【分析】由旋轉(zhuǎn)、菱形的性質(zhì)可知，，則，，，，根據(jù)E到直線的距離為，計(jì)算求解即可．【解析】解：如圖，菱形繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后為菱形，由旋轉(zhuǎn)、菱形的性質(zhì)可知，，∴，，∴，∴，∴到直線的距離為．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定理、三角函數(shù)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)相關(guān)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．17．如圖1，含和角的兩塊三角板和疊合在一起，邊與重合，cm，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，邊與相交于點(diǎn)，現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度（如圖2），設(shè)邊與相交于點(diǎn)Q，則當(dāng)從到的變化過(guò)程中，點(diǎn)Q移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)變化，解直角三角形，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度畫(huà)出圖形，在變化的過(guò)程中，Q點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與垂直時(shí)，與的交點(diǎn)處，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【解析】解：當(dāng)從到的變化過(guò)程中，如圖所示，，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始向方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，的移動(dòng)到最大距離，此時(shí)，在中，，，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)開(kāi)始離開(kāi)點(diǎn)向點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，在中，，，點(diǎn)返回運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為，點(diǎn)Q移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為，故答案為：．18．如圖，是等腰直角三角形，，，點(diǎn)分別在邊上，且，已知是等邊三角形，且點(diǎn)在形內(nèi)，點(diǎn)是的重心，那么線段的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形重心的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，連接并延長(zhǎng)交于，連接，連接并延長(zhǎng)交于，由點(diǎn)是的重心，可得分別為的中點(diǎn)，進(jìn)而由是等邊三角形可得，，，設(shè)，則，解得，又證明得是等腰直角三角形，得到，點(diǎn)四點(diǎn)共線，即得平分，平分，延長(zhǎng)交于，則垂直平分，由勾股定理可得，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，，得到，根據(jù)點(diǎn)在形內(nèi)，，可得，得到，又根據(jù)可得，由，，即可求出線段的取值范圍，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【解析】解：如圖，連接并延長(zhǎng)交于，連接，連接并延長(zhǎng)交于，∵點(diǎn)是的重心，∴分別為的中點(diǎn)，∵是等邊三角形，∴，，，設(shè)，則，在中，，∴，∵，∴，∵是等腰直角三角形，∴是等腰直角三角形，∴，∴點(diǎn)四點(diǎn)共線，∴平分，平分，延長(zhǎng)交于，則垂直平分，∵，，∴，∴，同理可得，∴，在中，，∴，∵點(diǎn)在形內(nèi)，∴，∴，∴，又∵，∴，∵，，∴，∴，故答案為：．三、解答題19．如圖，已知是矩形的對(duì)角線，，交延長(zhǎng)線于，交于，交于.(1)求證：點(diǎn)是的重心；(2)如果，求的正弦值.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題主要考查重心的判定，三角函數(shù)的定義，熟練掌握求正弦值的方法是解題的關(guān)鍵．（1）證明是的中線，是的中線即可得到結(jié)論．（2）根據(jù)重心的性質(zhì)得到，求出的值，再根據(jù)勾股定理求出答案即可．【解析】（1）證明：矩形，，，四邊形是平行四邊形，，是的中線，，，是的中線，點(diǎn)是的重心；（2）解：點(diǎn)是的重心，，，，，，，，，，在中，，．20．如圖，在中，，，垂足為點(diǎn)D，，垂足為點(diǎn)，和相交于點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)A作，交邊延長(zhǎng)線于點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)垂直得出，再由對(duì)頂角相等及等量代換確定，利用等角對(duì)等邊得出，再由全等三角形的判定和性質(zhì)即可證明；（2）過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)H，根據(jù)平行線的性質(zhì)及垂直的定義得出，確定，再由相似三角形的判定和性質(zhì)得出，利用等量代換確定，再由余弦函數(shù)的定義進(jìn)行等量代換即可證明【解析】（1）證明：∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)H，如圖所示：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】題目主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形及相似三角形的判定和性質(zhì)，余弦函數(shù)的定義等，理解題意，作出輔助線求解是解題關(guān)鍵．21．小明為測(cè)量河對(duì)岸大樓的高度，利用量角器和鉛錘自制了一個(gè)簡(jiǎn)易測(cè)角儀，如圖1所示．測(cè)量方法：如圖2，人眼在點(diǎn)觀察所測(cè)物體最高點(diǎn)，量角器零刻度線上兩點(diǎn)均在視線上，將鉛錘懸掛在量角器的中心點(diǎn)．當(dāng)鉛錘靜止時(shí)，測(cè)得視線與鉛垂線所夾的角為，且此時(shí)的仰角為．實(shí)踐操作：如圖3，小明利用上述工具測(cè)量河對(duì)岸垂直于水平地面的大樓的高度．他先站在水平地面的點(diǎn)處，視線為，此時(shí)測(cè)角儀上視線與鉛垂線的夾角為；然后他向前走10米靠近大樓站在水平地面的點(diǎn)處，視線為，此時(shí)測(cè)角儀上視線與鉛垂線的夾角為．問(wèn)題解決：(1)請(qǐng)用含的代數(shù)式表示仰角；(2)如果在同一平面內(nèi)，小明的眼睛到水平地面的距離為1.6米，求大樓的高度．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】(1)(2)米【分析】本題考查了解直角三角形?仰角俯角問(wèn)題，列代數(shù)式，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）延長(zhǎng)交于L，根據(jù)題意可得：，從而可得：，然后利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，根據(jù)題意可得：米，米，然后設(shè)米，分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出和的長(zhǎng)，從而列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解析】（1）解：如圖：延長(zhǎng)交于L，由題意得：∴，∵，∴∴；（2）解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，由題意得：，設(shè)米，在中，，∴（米），在中，，∴（米），∵，∴解得：∴米，∴米，∴大樓EF的高度為米．22．在中，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接．(1)如圖1，若，，求線段的長(zhǎng)．(2)如圖2，以為邊在上方作等邊，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，求證：．【答案】(1)(2)見(jiàn)詳解【分析】（1）在中，由，，可得，，即得；（2）取的中點(diǎn)，連接，證明為等邊三角形，得，，可得，有，故，在上截取，連接，可證，得，，有，，可得，知，，從而，．【解析】（1）解：在中，，∵∠B=60°，，，，，；（2）證明：取的中點(diǎn)，連接，如圖：在中，點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，，，為等邊三角形，，，，為等邊三角形，，，，，，在和中，，，，，，在上截取，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，，又，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合應(yīng)用，解直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半，等邊三角形的判定與性質(zhì)，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)，對(duì)稱變換等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．23．在菱形中，，點(diǎn)在射線上，連接、．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，求的正切值；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，連接與邊交于點(diǎn)，如果，的面積等于，求的長(zhǎng)；(3)當(dāng)點(diǎn)在邊上，與交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，如果，與以點(diǎn)、、所組成的三角形相似，求的長(zhǎng)．【答案】(1)的正切值是(2)(3)【分析】（1）如圖，連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合已知判定是等邊三角形，證明，后利用正切函數(shù)計(jì)算即可；（2）取的中點(diǎn)M，連接，結(jié)合(1)的解答，利用平行線的性質(zhì)，三角形面積的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理計(jì)算即可；（3）過(guò)作點(diǎn)，垂足為，判定相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，結(jié)合等腰三角形的判定和性質(zhì)，列出方程解答即可．【解析】（1）解：連接，∵四邊形是菱形，∴，，∵，∴是等邊三角形，∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴，，∴，

又，∴，

設(shè)，∴，，在中，，∴的正切值是．（2）解：取的中點(diǎn)M，連接，由（1）可知：，，∵，∴，∴由勾股定理得：，∵，∴，∵的面積等于∴∵與是同高的，設(shè)這個(gè)高為，∴，∵，∴，∴，∴在中，，∴，∴．（3）過(guò)作點(diǎn)，垂足為由（1）得：是等邊三角形，∴，∵，∴，，∴∵，∴，∵與以點(diǎn)、G、組成的三角形相似∴點(diǎn)只能與點(diǎn)G對(duì)應(yīng)，∴，∴，∴，設(shè)，則，在中，，∴，∵，∴∵，∴，∴，解得：，（舍去，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，正切函數(shù)，勾股定理，解方程，熟練掌握正切函數(shù)，三角形相似，勾股定理是解題的關(guān)鍵．24．在直角梯形中，，的平分線交邊于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線段上，射線與梯形的邊相交于點(diǎn)G．(1)如圖1，如果點(diǎn)G與A重合，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，如果點(diǎn)G在邊上，聯(lián)結(jié)，當(dāng)，且時(shí)，求的值；(3)當(dāng)F是中點(diǎn)，且時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)4(2)(3)的長(zhǎng)為5或【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，利用直角梯形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)求得，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理求得，利用勾股定理求得，利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得到，則；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，利用(1)的結(jié)論，勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)求得，再利用等腰直角三角形的判定與特殊角的三角函數(shù)值解答即可；（3）利用分類討論的方法分兩種情況討論解答：①當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可；②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，利用勾股定理求得，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可．【解析】（1）解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，∵，∴，∵，∴四邊形為矩形，，，，，，，；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，由（1）知：，，，∵，為等腰直角三角形，（3）①當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖，由（1）知：，∵是中點(diǎn)，在和中，，，∴，∴；②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，連接，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，如圖，由（1）知：，∵是中點(diǎn)，∴，∴為的垂直平分線，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，∴，∴，設(shè)，則，，∴，∴，∴，綜上，的長(zhǎng)為5或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角梯形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質(zhì)，過(guò)梯形的上底的一點(diǎn)作高線是解決此類問(wèn)題常添加的輔助線．25．如圖1，梯形中，，，．一個(gè)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作，交折線段于點(diǎn)，以為邊向右作正方形，點(diǎn)在射線上，當(dāng)點(diǎn)