2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)未解之謎探索試卷一、選擇題（每題3分，共30分）完美數(shù)猜想：已知6和28是偶數(shù)完美數(shù)（真因數(shù)之和等于自身），下列關(guān)于奇數(shù)完美數(shù)的說(shuō)法正確的是（）A.已發(fā)現(xiàn)最小的奇數(shù)完美數(shù)是945B.奇數(shù)完美數(shù)一定能被3整除C.目前尚未發(fā)現(xiàn)任何奇數(shù)完美數(shù)D.若存在奇數(shù)完美數(shù)，其個(gè)位數(shù)字必為53x+1問(wèn)題：對(duì)任意正整數(shù)n按規(guī)則變換：若n為偶數(shù)則除以2，若n為奇數(shù)則乘3加1。例如n=7時(shí)，序列為7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1。下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.該序列最終會(huì)進(jìn)入“4→2→1”循環(huán)B.所有正整數(shù)都遵循這一規(guī)律C.目前已驗(yàn)證到101?以內(nèi)的數(shù)均符合規(guī)律D.該問(wèn)題又稱角谷猜想回文數(shù)謎題：將正整數(shù)與其逆序數(shù)相加，重復(fù)操作直至得到回文數(shù)。例如69→69+96=165→165+561=726→726+627=1353→1353+3531=4884（回文數(shù)）。但有一個(gè)三位數(shù)始終無(wú)法得到回文數(shù)，它是（）A.196B.169C.189D.179楊輝三角數(shù)字頻率：在楊輝三角中，除數(shù)字1外出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是3003，共出現(xiàn)8次。根據(jù)辛馬斯特猜想，正整數(shù)在楊輝三角中出現(xiàn)次數(shù)的上限可能是（）A.8B.10C.12D.無(wú)窮多吉爾布雷斯猜想：對(duì)質(zhì)數(shù)數(shù)列2,3,5,7,11,13...依次作差得1,2,2,4,2...，再對(duì)新數(shù)列作差，重復(fù)操作后每行首項(xiàng)均為1。若將質(zhì)數(shù)數(shù)列改為斐波那契數(shù)列（1,1,2,3,5,8...），首次出現(xiàn)非1首項(xiàng)的行數(shù)是（）A.第3行B.第5行C.第7行D.始終為1分解整數(shù)難題：已知n是兩個(gè)素?cái)?shù)p、q的乘積（n=pq），下列方法中分解效率最低的是（）A.試除法B.費(fèi)馬因式分解法C.PollardRho算法D.輾轉(zhuǎn)相除法分圓域類數(shù)問(wèn)題：庫(kù)默-范迪弗猜想指出“奇素?cái)?shù)p不能整除p次分圓域極大實(shí)子域的類數(shù)”。若p=3時(shí)該猜想成立，則下列結(jié)論正確的是（）A.3次分圓域的類數(shù)為1B.√-3在該數(shù)域中可唯一分解C.類數(shù)越大表示唯一分解性越強(qiáng)D.分圓域包含所有1的p次根非負(fù)數(shù)和謎題：若a2+b2+c2=ab+bc+ca，且a,b,c均為正整數(shù)，則a,b,c的關(guān)系是（）A.至少有兩個(gè)數(shù)相等B.a=b=cC.成等差數(shù)列D.成等比數(shù)列極值問(wèn)題拓展：在半徑為5的圓內(nèi)接三角形中，面積最大的三角形周長(zhǎng)可能是（）A.15B.12√3C.10√3D.無(wú)法確定二次函數(shù)綜合：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)(1,2),(2,3),(3,6)三點(diǎn)，若存在整數(shù)m使得am2+bm+c=4048，則m的值可能是（）A.63B.64C.65D.66二、填空題（每題4分，共20分）完美數(shù)拓展：已知偶數(shù)完美數(shù)公式為N=2^(p-1)(2^p-1)，其中2^p-1為梅森素?cái)?shù)。當(dāng)p=5時(shí)，N=______。3x+1問(wèn)題變種：定義新規(guī)則“若n為偶數(shù)則減1，若n為奇數(shù)則加1”，則從n=5出發(fā)的序列最終會(huì)進(jìn)入循環(huán)______。楊輝三角數(shù)字規(guī)律：數(shù)字120在楊輝三角中出現(xiàn)的行數(shù)（從0開始計(jì)數(shù)）為______（至少寫出3個(gè)）?；匚臄?shù)構(gòu)造：用1,2,3,4組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，能通過(guò)“正逆相加”操作最快得到回文數(shù)的是______。因式分解挑戰(zhàn)：若x3+y3=2025，且x,y為正整數(shù)，則|x-y|=______。三、解答題（共50分）1.完美數(shù)性質(zhì)探究（10分）（1）驗(yàn)證28是否為完美數(shù)，并寫出其所有真因數(shù)。（2）若存在奇數(shù)完美數(shù)，試推測(cè)其個(gè)位數(shù)字不可能是哪些？解析：（1）28的真因數(shù)為1,2,4,7,14，和為1+2+4+7+14=28，故為完美數(shù)。（2）奇數(shù)完美數(shù)的個(gè)位數(shù)字不可能是1,3,7,9（根據(jù)歐拉定理，奇數(shù)完美數(shù)必形如4k+1，且質(zhì)因數(shù)分解中至少有一個(gè)素?cái)?shù)冪次為4m+1）。2.3x+1問(wèn)題模擬（12分）對(duì)n=17按規(guī)則生成序列，并回答：（1）序列中出現(xiàn)的最大數(shù)是多少？（2）達(dá)到1所需的步數(shù)是多少？解析：序列：17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1（1）最大數(shù)為52；（2）共12步。3.幾何與極值綜合（14分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(0,3)，B(4,0)，C為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC,BC。（1）求△ABC面積的最大值；（2）若△ABC為等腰三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）拓展：在拋物線y=-x2+6x上是否存在點(diǎn)D，使得四邊形ABCD為平行四邊形？解析：（1）當(dāng)C在x軸負(fù)半軸無(wú)限遠(yuǎn)處時(shí)，面積趨于無(wú)窮大，但根據(jù)初中知識(shí)，若限定C在坐標(biāo)軸上，則面積最大值為6（C與原點(diǎn)重合時(shí)）；（2）C點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,0),(0,0),(8,0),(25/8,0)；（3）存在，D點(diǎn)坐標(biāo)為(4,8)或(0,-8)。4.數(shù)論與代數(shù)綜合（14分）（1）證明：若n為正整數(shù)，則n?-n能被10整除；（2）已知x+y=1，x2+y2=3，求x?+y?的值；（3）猜想：對(duì)于任意正整數(shù)k，方程x2+y2=z^k是否總有正整數(shù)解？舉例說(shuō)明。解析：（1）n?-n=n(n?-1)=(n-1)n(n+1)(n2+1)，包含連續(xù)兩偶數(shù)及5的倍數(shù)，故能被10整除；（2）x?+y?=11；（3）當(dāng)k=3時(shí)，x=3,y=4,z=5是一組解，但k=7時(shí)是否存在解仍未可知（費(fèi)馬大定理已證明對(duì)n≥3無(wú)正整數(shù)解）。四、開放探索題（共20分）楊輝三角數(shù)字之謎（1）統(tǒng)計(jì)數(shù)字210在楊輝三角中出現(xiàn)的次數(shù)，并寫出其所在位置（行數(shù)，列數(shù)）；（2）設(shè)計(jì)一個(gè)新的數(shù)字規(guī)律問(wèn)題，要求結(jié)合楊輝三角與斐波那契數(shù)列；（3）查閱資料，簡(jiǎn)述辛馬斯特猜想的最新研究進(jìn)展（至少列舉兩個(gè)研究成果）。提示：（1）210在楊輝三角中出現(xiàn)4次，分別位于(10,3),(10,7),(14,6),(14,8)；（2）例如：“在楊輝三角中，每行第二個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，第三個(gè)數(shù)構(gòu)成二階等差數(shù)列，問(wèn)第k個(gè)數(shù)列的公差是多少