2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)問題解決能力測試試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）某商店將進(jìn)價(jià)為80元的商品按100元出售時(shí)，每天可售出20件。若該商品每降價(jià)1元，日銷量則增加2件。為了獲得最大利潤，每件商品應(yīng)降價(jià)（）A.5元B.10元C.15元D.20元如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，以CD為直徑作圓O，則圓O的半徑為（）A.4B.5C.2.5D.3已知關(guān)于x的方程x2-（m+2）x+2m=0的兩個(gè)根恰好是等腰三角形的兩條邊長，則該三角形的周長為（）A.8或10B.8或12C.10或12D.6或10某校為了解學(xué)生每周體育鍛煉時(shí)間，隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時(shí)）：|鍛煉時(shí)間|4|5|6|7|8||----------|---|---|---|---|---||人數(shù)|5|15|18|10|2|則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A.6，6B.6，5C.5，6D.5，5若點(diǎn)A（-2，y?），B（-1，y?），C（3，y?）在反比例函數(shù)y=k/x（k<0）的圖像上，則y?，y?，y?的大小關(guān)系是（）A.y?<y?<y?B.y?<y?<y?C.y?<y?<y?D.y?<y?<y?如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，連接BE并延長交CD的延長線于點(diǎn)F。若△DEF的面積為1，則平行四邊形ABCD的面積為（）A.4B.6C.8D.12某工廠計(jì)劃生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共100件，已知生產(chǎn)一件A產(chǎn)品需甲材料3kg、乙材料2kg，生產(chǎn)一件B產(chǎn)品需甲材料1kg、乙材料4kg?，F(xiàn)有甲材料200kg，乙材料240kg，設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，則x的取值范圍是（）A.30≤x≤40B.40≤x≤50C.50≤x≤60D.60≤x≤70計(jì)算（2+√3）2?2?·（2-√3）2?2?的結(jié)果是（）A.2+√3B.2-√3C.1D.-1如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點(diǎn)P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，將△ABP沿AP折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B'。當(dāng)點(diǎn)B'落在矩形的對角線上時(shí)，BP的長為（）A.2或3B.2或4C.3或4D.2或5二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖所示，下列結(jié)論：①abc>0；②2a+b=0；③a+b+c<0；④b2-4ac>0。其中正確的有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）分解因式：x3y-4xy3=________。若關(guān)于x的不等式組{2x-a<1，x-2b>3}的解集為-1<x<1，則（a+1）（b-1）=________。如圖，在扇形AOB中，OA=6，∠AOB=120°，以O(shè)B為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為________（結(jié)果保留π）。一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球和1個(gè)黑球，這些球除顏色外無其他差別。從中隨機(jī)摸出2個(gè)球，則摸出的2個(gè)球顏色不同的概率是________。如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'B'C，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A'與點(diǎn)B之間的距離為________。已知一列數(shù)：1，-3，5，-7，9，-11，…，按此規(guī)律排列，則第2025個(gè)數(shù)是________。三、解答題（本大題共8小題，共80分）17.（8分）計(jì)算：（-1）2?2?+√12-4cos30°+|1-√3|。18.（8分）先化簡，再求值：（x-1-3/x+1）÷（x2+4x+4/x+1），其中x是方程x2-2x-3=0的根。19.（10分）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作圓O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F。（1）求證：DF是圓O的切線；（2）若∠BAC=60°，AB=4，求DF的長。20.（10分）某學(xué)校為改善辦學(xué)條件，計(jì)劃采購A、B兩種型號的空調(diào)。已知采購1臺(tái)A型空調(diào)和3臺(tái)B型空調(diào)共需費(fèi)用12000元；采購2臺(tái)A型空調(diào)和1臺(tái)B型空調(diào)共需費(fèi)用11000元。（1）求A、B兩種型號空調(diào)每臺(tái)的采購費(fèi)用分別是多少元？（2）若學(xué)校計(jì)劃采購A、B兩種型號空調(diào)共30臺(tái)，且A型空調(diào)的臺(tái)數(shù)不少于B型空調(diào)的一半，兩種型號空調(diào)的采購總費(fèi)用不超過130000元，該校共有哪幾種采購方案？21.（10分）如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖像與x軸交于點(diǎn)A（-4，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，3），與反比例函數(shù)y=m/x（x>0）的圖像交于點(diǎn)C（4，n）。（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P是反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)，若△PAB的面積為15，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。22.（12分）為響應(yīng)“綠色出行”號召，某社區(qū)開展“共享單車使用情況”調(diào)查。隨機(jī)抽取部分居民，統(tǒng)計(jì)其一周內(nèi)使用共享單車的次數(shù)，結(jié)果如下：|使用次數(shù)|0|1-3|4-6|7-9|10次及以上||----------|---|-----|-----|-----|------------||人數(shù)|10|15|25|30|20|（1）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖（畫圖要求：標(biāo)出頻數(shù)，坐標(biāo)軸刻度均勻）；（2）若該社區(qū)共有居民2000人，估計(jì)一周內(nèi)使用共享單車“7-9次”的居民人數(shù)；（3）為了進(jìn)一步了解使用情況，從“10次及以上”的居民中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行訪談，其中有1名男性和1名女性，求恰好抽到1男1女的概率。23.（12分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE，將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接CF并延長交AE的延長線于點(diǎn)G。（1）求證：AG⊥CF；（2）若AB=4，BE=1，求CG的長；（3）在（2）的條件下，連接DF，求△DFG的面積。24.（12分）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）。（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線BC于點(diǎn)E。當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，求線段PE的最大值；（3）點(diǎn)Q是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q，使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（注：實(shí)際試卷中不呈現(xiàn)，此處僅為說明完整性）A2.C3.C4.A5.A6.C7.B8.B9.A10.Dxy(x+2y)(x-2y)12.-413.3π+3√314.11/1515.2√316.4049原式=-1+2√3-4×(√3/2)+(√3-1)=-2+√3化簡得(x-2)/(x+2)，x=3時(shí)原式=1/519.（1）連接OD，證明OD⊥DF；（2）DF=√320.（1）A型3000元，B型3000元；（2）3種方案：A型10臺(tái)B型20臺(tái)，A型11臺(tái)B型19臺(tái)，A型12臺(tái)B型18臺(tái)21.（1）一次函數(shù)y=(3/4)x+3，反比例函數(shù)y=14/x；（2）P（2，7）或（14，1）22.（2）600人；（3）2/323.（2）CG=16√17/17；（3）S△DFG=128/1724.（1）y=-x2+2x+3；（2）PE最大值=9/4；（3）Q（1，4），（1，-1），（1，1+√3），（1，1-√