第20講代數(shù)幾何雙管齊下動(dòng)靜互變不再難求

一、攻略方向

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，基本思想就是數(shù)形結(jié)合,利用數(shù)形結(jié)合思想可以

進(jìn)行直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的討論、直線與圓錐曲線位置關(guān)系的討論，諸如解析幾何中的

對(duì)稱問(wèn)題，定點(diǎn)、定值問(wèn)題，最值與范圍問(wèn)題以及軌跡探求都離不開數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用.

在求解解析幾何綜合題的過(guò)程中要防止兩個(gè)易犯的錯(cuò)誤傾向.一種傾向是認(rèn)為既然用代數(shù)的方

法，一上來(lái)就設(shè)坐標(biāo)、列方程，對(duì)圖形的特征缺乏必要的分析，導(dǎo)致列出的方程或方程組超級(jí)復(fù)

雜，運(yùn)算量太大.如果對(duì)幾何圖形進(jìn)行細(xì)致的分析，挖掘隱含條件，往往能找到一種代數(shù)幾何雙管

齊下的解法，所以在用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題時(shí)，圖形特征應(yīng)始終在關(guān)注的視野內(nèi).另一種傾向是

認(rèn)為題中講的動(dòng)與靜是孤立不變的.實(shí)際上動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)是相對(duì)的，是有關(guān)聯(lián)的，解題中，可運(yùn)用矛

盾轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)，視動(dòng)態(tài)為靜態(tài)，局部固定某些變量，以減少變?cè)獋€(gè)數(shù)，達(dá)到解題的目的;也可視靜

態(tài)為動(dòng)態(tài)，用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)分析解決問(wèn)題;還可以“動(dòng)靜互易”，從而使已知與未知、條件與結(jié)論的聯(lián)

系變得更為清晰、從而達(dá)到化難為易解決難題的目的.真可謂：

解析本原未自圖形，

化數(shù)幾何雙管齊下.

動(dòng)靜互變不再難求，

善于轉(zhuǎn)化開的視野.

二、例題展示

X2V2--------

例1、已知點(diǎn)A、8是雙曲線二-\二1右支上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的

22

取值范圍是.

解題策略本例是以原點(diǎn)為起點(diǎn)，雙曲線右支上兩動(dòng)點(diǎn)為終點(diǎn)的向量數(shù)量積的取值范圍的探究，看

問(wèn)題的視角不同可以有多種解法.

策略一

從聯(lián)立直線A8與雙曲線方程出發(fā)，消元后利用韋達(dá)定理表示出數(shù)量積，利用判別式和放縮法求其

取值范圍.有兩點(diǎn)必須注意，若引立直線A3的斜率左為參數(shù)，則需討論k不存在的情況;對(duì)于

力、區(qū)兩點(diǎn)坐標(biāo)，用設(shè)而不求的方法是一種常見的解題策略

策略二

設(shè)點(diǎn)A3坐標(biāo)代入雙曲線方程后兩式相乘、再配方結(jié)合不等式求。4。8的范圍，運(yùn)用的是“點(diǎn)

差法”

策略三

設(shè)點(diǎn)4、8坐標(biāo)求后由兩點(diǎn)在雙曲線右支上，消元利用二元均值不等式在橫坐標(biāo)的取值

范圍內(nèi)求解

策略四

對(duì)雙動(dòng)點(diǎn)A、B采取“一定一動(dòng)”原則，結(jié)合極限思想求其取值范圍

策略五

運(yùn)用三角換元法即雙曲線參數(shù)方程使原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題，由雙曲線右支確定相應(yīng)范圍，

這是一種橫向化歸的解題方法

22

工-上=1

解法一：當(dāng)A8的斜率存在時(shí)，設(shè)岫：)，=心■+人則由22得，

y=kx+b

(1-^2)x2-2^x-/r-2=0

2kb_b2+2

由韋達(dá)定理得X+x2=

由A8是雙曲線右支上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)得公7>o,

2

/.OA-OB=XyX2+y]y2=中2+(3+〃)(5+〃)=(4?+妨(內(nèi)+x2)+Z?

/,+22k2b2[22k2+2r4r

=(1+KF-----A—+/?-=———=2+——>2

\)k2-\k2-\P-1P-1

三-二=1

當(dāng)陽(yáng)8不存在時(shí)，聯(lián)立，22'

x=m

2

則OAOB=x}x2+y\y2=irf+2-/n=2.

綜上，0A0B..2,即04?。8的取值范圍為[2,+8).

解法二：設(shè)4（X］,y）、B（x2,y2）.

則OAOB=XjX2+y\y2=x{x2.Jx：-2.Jx；_2

=xyx2--2(x；+x；)+4..x/2-一-馬+4=x}x2-\xix2-2|

又；x11s>/2,JijXjJ?,OA-OBx}x2"(^X2-2)=2

即04?。8的取值范圍為［2,+oo）.

解法三:設(shè)4（%,3）,5（程豆），則x”y；=2,石-貢=2,

兩式相乘得（52-弁）（月一只）=4,即x；4+代￡=4+/；￡+4才，

等式兩邊同時(shí)加上2X}X2X必得（X々+Jiy2）2=4+（芭%+y/）2??4.

故04?。6=方9+y%??2，即。4-0B的取值范圍為［2,+oo）,

解法四：A8兩點(diǎn)是雙曲線右支上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，由動(dòng)與靜的相對(duì)性.采取“一靜一動(dòng)”的原則，不妨

先在。點(diǎn)確定的情況下，讓A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最小值.然后讓8點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，即取最小值的最小值.

如圖20-1所示，不妨設(shè)直線0B:y二仙伏〈0）.

顯然點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到雙曲線在點(diǎn)A處的切線（即AC）與OB垂直時(shí)，此時(shí)。4在0B上的投影達(dá)到最小

值.

此時(shí)切線AC的方程為x+ky-而丁=0,

故0A在08上的投影等于點(diǎn)0到直線AC的距離為

/.0A0B..2,即04-。8的取值范圍為［2,+8）.

解法五:igA(V2seca,V2tana),^(x^sec/?,V2tan/?).

「icnccrc22sinasinp_1+sinasin夕

OA?OB=2secasec￡+2tanatan力=-----------+-----------=2x---------------.

cosacospcostzcosftcosacosfi

1+sinasin尸.A?.

y---------------,貝IJycospcos?—sinps\na—1

cos(7cosp

.Jy2cos2/+sin20..1,即y2cos2/?+sin20腌y21.

vyIS),.-.yi,:.OAOB=2)f>2,即。4?。8的取值范圍為［2,+8).

例2、已知拋物線C：V=2九過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線/交。于兩點(diǎn)，圓M是以線段A8為直徑

的圓.

(1)求證:坐標(biāo)原點(diǎn)。在圓M上；

⑵設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)24,-2)求直線/與圓M的方程.

解題策略：第⑴問(wèn)，證明原點(diǎn)。在圓歷上，必須緊緊抓住與圓相關(guān)的性質(zhì)進(jìn)行推理.第⑵問(wèn)通常

從⑴中已證的結(jié)論出發(fā)，結(jié)合P點(diǎn)坐標(biāo)求解.

第Q）問(wèn)

策略一

設(shè)出I的方程，與拋物線方程聯(lián)立，證明及八的8=-1

策略二

設(shè)A3兩點(diǎn)坐標(biāo)為一元形式，由定點(diǎn)（2,0）與4、8三點(diǎn)共線代040B證其值為零

策略三

利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進(jìn)行證明

策略四

求出以為直徑的圓方程，驗(yàn)證原點(diǎn)。滿足該方程

第⑵問(wèn)

策略一

根據(jù)Q)的結(jié)論及。點(diǎn)坐標(biāo)求出圓的方程

策略二

利用滿足條件的曲線系來(lái)解，該解法別開生面，妙不可言

(1)證法一：設(shè)4(%，3]),6(1,為)，/：%=%+2.

由＜、"'可得產(chǎn)一2m，-4=0,貝iJyK=-4?

y~=2x

又占=方,工2=/，故&&=(、；2)=4.

因此Q4的斜率與OB的斜率之積2?&=?=-1.

%x24

'.OALOB,故坐標(biāo)原點(diǎn)。在圓M上.

/2\r2\/2\/2

證法..設(shè)02,0),人仁,町[去為)則AQ=°吟，一町如干一早一%

由A、Q、3三點(diǎn)共線得AQ//8Q,

則—2)、+好=—2y+平，整理得(y_%)(y%+4)=0.

由于y豐力?從而y%+4=°,

進(jìn)而QA?OB=+y%=(竽M)=0

故坐標(biāo)原點(diǎn)。在M上.

證法三：設(shè)以西方卜川松當(dāng)》法中點(diǎn)加5,先),

依題意有，犬=2內(nèi)，尺=2%.

兩式相減可得(X-%)(y+)=2(%—w)，

當(dāng)王/電時(shí)，Al--=——,

%一占y+%%

1,

???直線/的方程為y=—(1-2)與V=2x聯(lián)立，消去X,

>0

得K-2y))'-4=0,二X+%=2%,%y2=-4

22

?'-IA81=y/(x,-x2)-b(yl-y2)=J1+需，+'2)一)。2=J+需

/),；+16=2,(火+1卜；+4)

又IOM1=&+y；=J(y：+2/+N：=7>O+5>O+4=J(y：+i)(y：+4)

:.\OM\=-\AB\

2

當(dāng)X[="2時(shí)，此時(shí)42,2),B(2,-2).

則圓心M(2,0),/JOM|=2,|AB|=4,則|OM|=|AB|

故坐標(biāo)原點(diǎn)。在圓M圓.

證法四：?「直線/的斜率不為零，故可設(shè)直線/的方程為工="少+2,

設(shè)4(%,X),3(0必)，則P一2兀

x=my+2,

22

消去x得y-2"9一4二0,△=4/77+16>0,y+y2=2，n,yy2=-4

22

2

x1+x2=my\+2+my2+2=2m+4,x1x2=，J=4

4(X，)，J,B(w，%)為直徑端點(diǎn)的圓M的方程為

(x-^)(x-x2)+(y-y,)(y-y2)=0,

即Y+)，一(%十七)X一(y1+%)y+百%十y%=。，

化簡(jiǎn)得M的方程為V+/-(2>+4卜-2g，=0,

顯然原點(diǎn)0(0,0)的坐標(biāo)滿足方程f+)，一(2/+4b-2娥=0,

一?坐標(biāo)原點(diǎn)。在圓上.

⑵解法一：由⑴的證法一可得了1+必=2〃2,司+工2=加())+)'2)+4=2〃22+4,

故圓心M的坐標(biāo)為"+2,陽(yáng)）,圓M的半徑r=+2）+m".

由于圓M過(guò)點(diǎn)P(4,-2),因此AP?8P=0,

(5-4)(蒼-4)+(乂+2)(%+2)=0

即內(nèi)為-4(%+%)+乂%+2()[+%)+2。=。.

由(1)的證法一可得日必=T中2=4,「.2m2-m-l=0,

解得m=1或〃2=-'.

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，直線/的方程為工—）」2=0,圓心M的坐標(biāo)為（3,1）,

圓M的半徑為亞，圓M的方程為（工-3）2+（y-l）2=10.

當(dāng)初=一（時(shí)，直線/的方程為2x+y—4=0,

圓心M的坐標(biāo)為圓M的半徑為孥，

（42J4

（9丫（1V85

圓M的方程為X—+—=—.

I4；I2；16

解法二：設(shè)圓〃的方程為（y-日+2Z）（y+入+M+2（2x-y2）=o.

則圓用的方程為（）」%十2A）（y十匕）十2（2人一丁）=0

即公/十（丸—1）/一2（爐+4）工一26=0,因而％2=4-1.

又圓M過(guò)點(diǎn)（4,一2）,/.4?+（丸—1）.（-2）2-2（爐+X）?4-24-2）=0.

化簡(jiǎn)得4=2公+表-1.

k=]k=-2

「…，，解得

z=2k~+k—\,A,=22=5.

時(shí)，圓M的方程是f+y2-6x-2y=0,

直線/的方程是x-y-2=0;

、.9

時(shí)，圓A7的方程是丁+尸2-x+y=0,

直線/的方程是2x+y-4=0.

22

例3已知斜率為2的直線/與腌圓C:一+邑=1交于AB兩點(diǎn)，線段A8的中點(diǎn)為

43

M(l9m)(m>0)

(1)求證:％<一不；

⑵設(shè)”為橢圓C的右焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且尸產(chǎn)十e4+郎=0,求證：

|必|,|尸口,|必|成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差.

解題策略：對(duì)于第⑴問(wèn)，利用直線的斜率、直線與橢圓的位置關(guān)系及中點(diǎn)，得到一個(gè)關(guān)于〃?次的

關(guān)系式，當(dāng)然要得到這個(gè)關(guān)系式的方法是很多的，比如點(diǎn)差法、方程組結(jié)合韋達(dá)定理法、對(duì)

稱橢圓法，利用直線的參數(shù)方程等，然后根據(jù)〃?的取值范圍即可求解，各種解法都是在數(shù)形

結(jié)合的過(guò)程中進(jìn)行;對(duì)于第⑵問(wèn)，利用題中的向量關(guān)系，表示出，點(diǎn)P的坐標(biāo)及各線段的長(zhǎng)度

即可證明，也可利用焦半徑公式或三角形重心的性質(zhì)可證明.總之，代數(shù)幾何雙管齊下，動(dòng)靜

互變順利獲證.

第⑴問(wèn)

策略一

運(yùn)用設(shè)而不求、點(diǎn)差法，抓住點(diǎn)在橢圓內(nèi)部解不等式得左的取值范圍

策略二

聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消元運(yùn)用韋達(dá)定理代人△>0求得人的取值范圍

策略三

運(yùn)用對(duì)稱橢圓，以形助數(shù)、簡(jiǎn)捷獲證

策略四

利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求得斜率人與〃?的關(guān)系式，由點(diǎn)M(l,〃z)在橢圓內(nèi)得到關(guān)于

，"的不等式，把上述關(guān)系式代人得關(guān)于A的不等式解之即可

第⑵問(wèn)

策略一

利用幾何關(guān)系求幾何量驗(yàn)證I出1,1尸尸1,1尸臼的關(guān)系是否符合等差數(shù)列定義，根據(jù)等差數(shù)列定義結(jié)

3

合⑴的證法一所得2=-「，，求出公差

策略二

利用橢圓的焦半徑公式求幾何量驗(yàn)證I必I、|々|、1Ml的關(guān)系，并求出公差

策略三

利用三角形重心，注意到M為43中點(diǎn)，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，得AB所在直線方程，之后同策略二

（1）證法一：（點(diǎn)差法）設(shè)A（菁，y）,8（%,%），

則％94+白1,兩式相成

并由9=%得上a+0?攵=0.

%!-x243

由題設(shè)知百：/=],3:%二加于是％=一

224m

點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，可得（十3-<1,解得0<〃2<],故人<—/?

證法二：（韋達(dá)定理法）設(shè)/的方程為>:依+〃，與橢圓C聯(lián)立，

2

得（4公+3）f+8knx+4Z?-12=0

設(shè)4（大,y）,8（冷y2）,則由△>0,4代+3>川，

-8kn

(1)百+/二

4尸+3

4k2+3

⑵則〃=，?=Y+%=———=2m,vm>(),.,.〃>()或攵<0.

4k4/+3

‘4?十3、2??

由⑴⑵得4/+3>k2>—,vk<0,.,.k<—.

、一以,42

證法三：（對(duì)稱橢圓法）對(duì)原橢圓作關(guān)于M（l,〃z）對(duì)稱的橢圓為

（2-x）+（2m-y）=1詼橢圓方程相減可得1+券》二1+《相2

即為公共弦A8所在的直線方程，故攵=-丁-.

又點(diǎn)在橢圓C內(nèi)部可得z+g<1,可得0<根<不.

/.k=-------<——

4m2

證法四：（利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義）

X=1+ZC0S0,

設(shè)/的參數(shù)方程為1.八（。為/的傾斜角，/為參數(shù)）.

y=m+/sin，

代人橢圓C中得（3COY/?+4sin20）r+（6cos^+8/nsin0），-9+4〃，=0.設(shè)八4是點(diǎn)A、笈對(duì)

應(yīng)的參數(shù)，例是線段回中點(diǎn)，

3

知％+t2=0^―（6cos0+87nsin^）=0,tan=一一—.

4機(jī)

?2,3、3?

點(diǎn)在橢圓。內(nèi)，可得了+-丁<〃z0,7,k=--—<.

43V2）4m2

⑵解法一：（利用幾何關(guān)系求幾何量）由題意得/（1,0）,設(shè)尸（七,丹），貝岫。+g+用=（）得

（七一1,%）+（%-1/）+（七一1,%）=（°，°），

由（1）的證法一及題設(shè)得七=3—（5+工2）=1，、3=一（X+%）=-<0,

又點(diǎn)P在C上，?.一〃=（,從而「（1,一?），1尸尸1=5.

于是?用?=ja-1）。父=/2_1）2+3（1）=2—5

同理，|FB|=2-，.

——1

:\FA\+\FB\=4--（*+±）=3

故2|FPHFA|+|FB|,即FAIJFPIJFBI成等差數(shù)列.

設(shè)該數(shù)列的公差為d,則2MHiFB|-1FA||二萬(wàn)年-xj=5］（%+工J-以尼

33

將m=二代人⑴的證法一所得的人二一六中，得女=-1.

44/7?

7

???直線/的方程為y=-x+：,代人橢圓C的方程，

4

11QM1

并整理得7/-141+:=0,故%+毛=2,%々=彳；，代人⑴式解得1刈二一之一.

3國(guó)通

???該數(shù)列的公差為

2828

解法二：（利用焦半徑公式）

FP+FA+FB=0,.'.FP=-2FM

14w23

M(l,〃?)，:.P(l,-2m),???點(diǎn)P在橢圓上且機(jī)>0,.+---=1,/.m=-

434

37

代入⑴的證法一可知"=一嬴,..."=一'直線/的方程為:尸一+后

7

直線/的方程與橢圓方程聯(lián)立.得）2、消去），化簡(jiǎn)得28d—56x+l=o,則有

土+匚1'

43

2+々一2,酒一表

入焦半徑公式I月4|=。一夕］,|產(chǎn)例=。一%，

可得|必|+|所|=2a—e(玉+々)=4—1=3,

3一—一一

又???|尸P