幾何光學(xué)

§1幾何光學(xué)基礎(chǔ)

1、光的直線傳播：光在同一均勻介質(zhì)中沿直線傳播。

2、光的獨(dú)立傳播：兒束先在交錯(cuò)時(shí)互不阻礙，仍按原來(lái)各自的方向傳播.

3、光的反射定律：

①反射光線、入射光線和法線在同一平面內(nèi)；

②反射光線和入射光線分居法線兩側(cè)；

③反射角等于入射角。

4、光的折射定律：

①折射光線、入射光線和法線在同一平面內(nèi)；

②折射光線和入射光線分居法線兩側(cè)；

③入射角匕與折射角%滿足/sinz,=n2sini2；

④當(dāng)光由光密介質(zhì)向光疏介質(zhì)中傳播，且入射角不小于啕界角C時(shí)，將發(fā)生全面反射現(xiàn)象

（折射率為勺的光密介質(zhì)對(duì)折射率為人日勺光疏介質(zhì)的臨界角sinC=^-）o

幾何光學(xué)

§2光的反射

2.1組合平面鏡成像

組合平面鏡：由兩個(gè)以上的平面鏡構(gòu)成H勺光學(xué)系統(tǒng)叫做組

合平面鏡,射向組合平面境的光線往往要在平面鏡之間發(fā)

生多次反射，因而會(huì)出現(xiàn)生成復(fù)像的現(xiàn)象。先看一種較簡(jiǎn)

樸的現(xiàn)象，兩面互相垂直H勺平面鏡（交于。點(diǎn)）鏡間放一

點(diǎn)光源S（圖1）,S發(fā)出時(shí)光線通過(guò)兩個(gè)平面鏡反射后形

成了加、S：S3三個(gè)虛像。用幾何的措施不難證明：這

SSSS

和

和

S232和

、

三個(gè)虛像都位于以。為圓心、OS為半徑U勺圓上，而且S和、

之間都以平面鏡（或它們的延長(zhǎng)線）保持著對(duì)稱關(guān)系。用這個(gè)措施我們可以輕易地確定較復(fù)

雜的狀況中復(fù)像H勺個(gè)數(shù)和位置。

兩面平面鏡4。和B0成60。角放置（圖2）,用上述

規(guī)律，很輕易確定像的位置：①以O(shè)為圓心、OS為

半徑作圓；②過(guò)S做A。和8。的垂線與圓交于加和

S2；③過(guò)S］和$2作和AO的垂線與圓交于$3和

§4；④過(guò)$3和作AO和BOR勺垂線與圓交于§5,

S|~$5便是s在兩平面鏡中的I5個(gè)像。

雙鏡面反射。如圖3,兩鏡面間夾角〃=15。，04=10?！ǎ?，A點(diǎn)發(fā)出的I垂直于勺光線射向匕

如圖4所示，光線經(jīng)。第一次反射的反射線為8C,根據(jù)

平面反射的對(duì)稱性，BC'=BC，且NB0C'=a。上述4,8,均在同一直線上，因

此光線在八L2之間的反復(fù)反射就跟光線沿ABC直線傳播等效。設(shè)N'是光線第〃次反

射的入射點(diǎn)，且該次反射線不再射到另一種鏡面上，則〃值應(yīng)滿足H勺關(guān)系是

na<90°<(n+\)a，n<--=6。取n=5,Z=75°?總旅程

AN'=OAtg5a=37.3cm。

,-I

2.2全反射：全反射光從密度媒質(zhì)1射向光疏媒質(zhì)2,當(dāng)入射角不小于臨界角sin〃"時(shí),

光線發(fā)生全反射。

全反射現(xiàn)象有重要H勺實(shí)用意義，如現(xiàn)代通訊H勺重要構(gòu)成剖

分一光導(dǎo)纖維，就是運(yùn)用光的全反射現(xiàn)象。圖5是光導(dǎo)

B

纖維11勺示意圖。AB為其端面.，纖維內(nèi)芯材料的折射率

圖s

定律可知，米尺刻度必須通過(guò)平面鏡反射后，反射光線進(jìn)入人的眼睛，人才會(huì)看到米尺刻度

的像?？梢酝ㄟ^(guò)兩種措施來(lái)解這個(gè)問(wèn)題。

解法一：相對(duì)于平面鏡AB作出人眼S的像夕。連接Sa并延長(zhǎng)交平面鏡于點(diǎn)C,連接夕與

點(diǎn)C并延長(zhǎng)交米尺于點(diǎn)E,點(diǎn)E就是人眼看到H勺米尺刻度的最左端；連接§力并延長(zhǎng)

交米尺＜2于點(diǎn)F,且S方與平面鏡交于D，連接S與點(diǎn)D,則點(diǎn)F就是人眼看到的米尺

刻度的最右端。E與F之間的米尺刻度就是人眼可看到部分，如圖7所示。

解法二：根據(jù)平面鏡成像的對(duì)稱性，作米尺片鳥(niǎo)及屏的像，分別是及MN'，，、

〃的像分別為,如圖8所示。連接Sa交AB于點(diǎn)C,延長(zhǎng)并交"o'于點(diǎn)￡；'過(guò)點(diǎn)￡

作片乙(A8)口勺垂線，交于點(diǎn)E,此點(diǎn)就是人眼看到的米尺刻度的I最左端；連接S//交A8

于點(diǎn)D,延長(zhǎng)并交p；p1于點(diǎn)F'，過(guò)點(diǎn)尸'作68(A8)的垂線q?交于點(diǎn)F,點(diǎn)尸就是

人眼看到日勺米尺刻度的最右端。E尸部分就是人眼通過(guò)平面鏡可看見(jiàn)H勺米尺部分。

點(diǎn)評(píng)：平面鏡成像I肉特點(diǎn)是物勺像具有對(duì)稱性。在波及到平面鏡的問(wèn)題中，運(yùn)用這一特點(diǎn)常

能使問(wèn)題得以簡(jiǎn)潔明晰的處理。

例2、兩個(gè)平面鏡之間的夾角為45。、60。、120。。而物體總是放在平面鏡的角等分線上。試

分別求出像的個(gè)數(shù)。

分析：由第一?面鏡生成的像，構(gòu)成第二面鏡B勺物，這個(gè)物由第二面鏡所成的像，又成為第一

面鏡的物，如此反復(fù)卜.去以至無(wú)窮。在特定條件下通過(guò)有限次循環(huán)，兩鏡所成像重疊，像日勺

數(shù)目不再增多，就有確定的像口勺個(gè)數(shù)。

解：設(shè)兩平面鏡A和8%)夾角為2。，物P處在他們的角等分線上，如圖9(a)所示。以兩

鏡交線通過(guò)的。點(diǎn)為圓心，0P為半徑作一輔助圓，所有像點(diǎn)都在此圓周上。由平面鏡A成

的像用八…表達(dá)，由平面鏡B成H勺像用鳥(niǎo)，巴…表達(dá)。由圖不難得出：《，鳥(niǎo)…在圓弧

上的角位置為(2k+1)仇2，2…在圓弧上區(qū)1角位置為27一(2%一1)夕。其中k的取值為

k=l,2,...若通過(guò)4次反射，八成的像與B成的像重疊，則(2%+1)，=2"—(2Z—1)。即

k=—

20

當(dāng)2,=45"=工時(shí)，k=4,有7個(gè)像，如圖9(a)所示：

4

當(dāng)20=60"=工時(shí)，k=3,有5個(gè)像，如圖9(b)所示；

3

當(dāng)20=120”=女時(shí)，k=L5,不是整數(shù)，從圖9(d)可直接看出，物戶經(jīng)鏡A成的像在

3

鏡B面上，經(jīng)鏡8成口勺像則在鏡A面上，因此有兩個(gè)像。

例3、要在一張照片上同步拍攝物體正面和幾種不一樣側(cè)面的像，可以在物體的背面放兩個(gè)

直立的大平面鏡AO和8。,使物體和它對(duì)兩個(gè)平面鏡所成“勺像都攝入照像機(jī)，如圖10所示。

圖中帶箭頭的圓圈?代表種人II勺頭部(其尺寸遠(yuǎn)不不小丁OC的K度)，白色半圓代表人

的臉部，此人正面對(duì)著攝影機(jī)的鏡頭；有斜線的半圓代表腦后的頭發(fā)；箭頭表達(dá)頭頂上口勺帽

子，圖II為俯視圖，若兩平面鏡日勺夾角NAOB=72。，設(shè)人頭的中心恰好位于角平分線OC

上，且攝影機(jī)到人的距離遠(yuǎn)不小于到平面鏡的距離。

I、試在圖11中標(biāo)出PH勺所有像的方位示意圖。

2、在方框中畫(huà)出照片上得到的所有口勺像（分別用空白和斜線表達(dá)臉和頭發(fā)，用箭頭表達(dá)頭

頂上的帽子）。本題只規(guī)定畫(huà)出示意圖，但須力爭(zhēng)精確。

6■「

——

RHin向11

解：本題U勺答案如圖12、13所示。

」態(tài)C

圖13

圖12

例4、五角樓是光學(xué)儀器中常用的一種元件，如圖14所示。棱鏡用玻璃制成，BC、CD兩

平面高度拋光，AB,?！陜善矫娓叨葤伖夂箦冦y。

試證明：經(jīng)8C面入射的光線，不管其方向怎

只要它能經(jīng)歷兩次反射（在A8與OE面上），

V4

之對(duì)應(yīng)的由C。面出射時(shí)光線，必與入射光線垂直。

解：如圖15所示，以i表達(dá)入射角,i，表達(dá)反射角，「表達(dá)折

射角，次序則如下標(biāo)注明。光線自透明表面的。點(diǎn)入射，在棱鏡內(nèi)反射兩次，由CD面的e

點(diǎn)出射?？梢钥吹贸?，在DE面/、Jb點(diǎn)；入射角為八二勺+22.5"，反射角為

i；=4=0十22.5°。在四動(dòng)形中，。=90"-i；-90"-/]-22.5。=67.5"-rx

而￡二360"-2x112.50—a=1350_（67.50—八）二67.5〃+（

于是，i；=，3=90"_/=22.5"_。

在附中Ncdb=1800_a+/）_"+/）=180。_2&+22.5°）-2（22.5"-八）=90"

這就證明了：進(jìn)入棱鏡內(nèi)的第一條光線ab總是與第三條光線ce互相垂直。

由于棱鏡的C角是直角，,i=360°-270O-Ndec=90O-/dec=i1。設(shè)棱鏡的折射率為〃，根據(jù)折

射定律有sin%=nsin（sin〃=nsinz4。*.,r]=z4,.'.r4=Z,總是成立的,而與棱鏡折射

率的大小及入射角匕日勺大小無(wú)關(guān)。只要光路符合上面的規(guī)定，由BC面H勺法線與。。面口勺法

線垂直，又有匕=公,.?.出射光線總是與入射光線垂直，即光線通過(guò)這種棱鏡，有恒定的I偏

轉(zhuǎn)角——90。。

例6、橫截面為矩形H勺玻璃棒被彎成如圖16所示的形狀，一束平行光垂直地射入平表面A

上。試確定通過(guò)表面A進(jìn)入的光全部從表面B射出口勺以/的最小值。己知玻璃的折射為1.5。

分析：如圖17所示，從人外側(cè)入射的光線在外側(cè)圓界面上的入射角較從八內(nèi)側(cè)入射的光線

入射角要大，最內(nèi)側(cè)的入射光在外側(cè)圓界面上的入射角a最小。假如最內(nèi)側(cè)光在界面上恰好

發(fā)生全反射，并且反射光線又剛好與內(nèi)側(cè)圓相切，則其他H勺光都能保證不僅在外側(cè)圓界面上，

而且在后續(xù)過(guò)程中都可以發(fā)生全反射，并且不與內(nèi)側(cè)圓相交。因此，抓住最內(nèi)側(cè)光線進(jìn)行分

析，便其滿足對(duì)應(yīng)條件即可。

解：當(dāng)最內(nèi)側(cè)光的入射角a不小于或等于反射臨界角時(shí)，入射光線可全部從8表面射出而

沒(méi)有光線從其他地方透出。即規(guī)定sinaN」，而sina=—^-，因此一5一之即

nR+dR+dn

。故⑶=_L=，=2

dn-\1"人M〃-11.5-1

點(diǎn)評(píng)：對(duì)全反射問(wèn)題，掌握全反射產(chǎn)生的條件是基礎(chǔ)，而詳細(xì)分析臨界條件即“邊界光線”

的體現(xiàn)是處理此類問(wèn)題的關(guān)鍵。

例7、一般光纖是一種可傳播光的圓柱形細(xì)絲，由具有圓形截面H勺纖芯A和包層4構(gòu)成，4

的折射率不不小于A口勺折射率，光纖口勺端面與圓柱體的軸垂直，由一端面射入時(shí)光在很長(zhǎng)

的光纖中傳播時(shí)，在纖芯4和包層8的分界面上發(fā)生多次全反射。目前運(yùn)用一般光纖測(cè)量

流體尸的折射率。試驗(yàn)措施如下：讓光纖H勺一端（出射端）浸在流體尸中。令與光纖軸平

行的單色平行光束經(jīng)凸透鏡折射后會(huì)聚在光纖入射端面II勺中心。。經(jīng)端面折射進(jìn)入光纖，在

光纖中傳播。由于O點(diǎn)出發(fā)日勺光束為圓錐形，已知其邊緣光線和軸的夾角為“。，如圖18

所示。最終光從另一端面出射進(jìn)入流體兒在距出射端面4處放置一垂直于光纖軸的毛玻璃

屏。，在D上出現(xiàn)一圓形光斑，測(cè)出其直徑為4,然后移動(dòng)光屏D至距光纖出射端面力2處,

再測(cè)出圓形光斑口勺直徑12,如圖19所示。

（1）若已知A和8的折射率分別為心與〃八求被測(cè)流體尸的折射率〃/書(shū)體現(xiàn)式。

（2）若〃A、和〃。均為未知量，怎樣通過(guò)進(jìn)一步H勺試驗(yàn)以測(cè)出％?時(shí)值？

分析：光線在光纖中傳播時(shí)，只有在纖芯A與包層8的分界面上發(fā)生全反射的光線才能射

出光纖的端面.，據(jù)此我們可以作出對(duì)應(yīng)的光路圖，根據(jù)光的折射定律及幾何關(guān)系，最終可求

出〃F。

解：（1）由于光纖內(nèi)所有光線都從軸上的。點(diǎn)出發(fā)，在光纖中傳播的光線都與軸相交，位

于通過(guò)軸的縱剖面內(nèi)，圖20為縱面內(nèi)的光路圖。

設(shè)由。點(diǎn)發(fā)出的與軸的夾角為a的光線，射至兒8分界面的入射角為i,反射角也為i,該

光線在光纖中多次反射時(shí)的入射角均為i,射至出射端面時(shí)的入射角為a。若該光線折射后

的I折射角為。，則由幾何關(guān)系和折射定可得j+a=90°①*sina=〃尸sin。②。當(dāng)，不小

于全反射臨界角1時(shí)將發(fā)生全反射，沒(méi)有光能損失，對(duì)應(yīng)時(shí)光線將以不變的光強(qiáng)射向出射端

面。而的光線則因在發(fā)生反射時(shí)有部分光線通過(guò)折射進(jìn)入從反射光強(qiáng)伴隨反射次數(shù)

的增大而越來(lái)越弱，以致在未到達(dá)出射端面之前就已經(jīng)衰減為零了。因而能射向出射端面口勺

光線的川勺數(shù)值一定不小于或等于I,,/；.時(shí)值由下式?jīng)Q定：叫sin心=〃,③

與J對(duì)應(yīng)口勺a值為a,=900-/c@

22

當(dāng)%，即sina（）＞sinac=coszc=-sinic=-（—）"時(shí)，

或nAsin%＞J"；二忌時(shí)，由°發(fā)出的光束中，只有aW《的光線才滿足，之心的條件下，

才能射向端面，此時(shí)出射湍面處a的最大值為=4=90°-?、?/p>

若%＜/，即〃%sin時(shí)，則由。發(fā)出的光線都能滿足，＞小日勺條件，因而

都能射向端面，此時(shí)出射端面處a的最大值為/小?

端面處入射角a最大時(shí)，折射角0也達(dá)最大值，設(shè)為久小，

由②式可知勺sin6>max=nAsin《皿⑦

叫sin”。⑧

由⑥、⑦式可得，當(dāng)&＜今時(shí)，〃F

sin%

由③至⑦式可得，當(dāng)旬時(shí)，〃〃二〃八cosi。=、〃；一〃1⑨

Sin^maxSin￡ax

-2_&

X的數(shù)值可由圖21上的幾何關(guān)系求得為sin〃二—2⑩

z也-—4）/21+（色-4）2

2

于是nFH勺體現(xiàn)式應(yīng)為nF=nAsinaJ———+(/?2-h])/—~—-(tz0<crc)

vK2J2

(11)

吃「?…）3

2

（2）可將輸出端介質(zhì)改為空氣，光源保持不變，按同樣手續(xù)再做一次測(cè)量，可測(cè)得%、4、

d：、d；，這里打撇的量與前面未打撤的量意義相似。已知空氣H勺折射率等于【，故有

、/［@-4）/21+（區(qū)-/療⑴）

當(dāng)a。＜時(shí)，1=nAsincr0

（題一〃）/2

J［（w-4）/21+（〃一;產(chǎn)（⑷

當(dāng)42%時(shí)1=標(biāo)金J

（4一4'）/2

2

d「d\

+（〃2尸

將（11）（12）兩式分別與（13）（14）相除，均得娘一磯2

〃F

d「dJ［（W-d；）/2『+—；）

（15）此成果合用于由為任何值的狀況。

幾何光學(xué)

§3光的折射

3.1多層介質(zhì)折射

R

切

如圖1:多層介質(zhì)折射率分別為〃…則由折射定律得:

nxsinZj=n2sini2=?-?=nksinik

3.2平面折射的視深

如圖2,在水中深度為/?處有一發(fā)光點(diǎn)。作。。垂直上水的，求射出水面折射線的延長(zhǎng)線

與。。交點(diǎn)。的深度/與入射角，的關(guān)系。設(shè)水相對(duì)于空氣口勺折射率為〃=9,由折射定

3

律得〃sini=sini,。令OM=%，則x=d?tgi=d'-，gi'，于是d'=d,——')

tgincosi

上式表明，由Q發(fā)出的不一樣光線，折射后的延長(zhǎng)線不再交于同一點(diǎn)，但對(duì)于那些靠近法

線方向的光線，i=0，則sin2j=o，35，=1于是"'=四。這時(shí)/與入射角i無(wú)關(guān)，即

n

折射線日勺延長(zhǎng)線近似地交于同一點(diǎn)o,，其深度是原光點(diǎn)深度的。

n4

如圖3所示，MN反射率較低的一種表面，PQ是背面鍍層反射率很高的另一種表面，一般

照鏡子靠鍍銀層反射成像，在一定條件下可以看到四個(gè)像。若人離鏡距離乙玻璃折射率〃,

玻璃厚度d,求MN成的兩個(gè)像間口勺距離。

圖中S為物點(diǎn)，戶是經(jīng)MN反射口勺像，若S「S2，S3依次表達(dá)MN面折射，。。面反射和MN

面再折射成像，由視深公式得0田=〃qs，02s2=。2$|=QE+d，0戶2="0S，

=\+—＞故兩像間距離為

s=OG+QSz=QS?-gS'

nnn

3.3棱鏡的折射與色散

入射光線經(jīng)棱鏡折射后變化了方向，出射光線與入射光線之間日勺夾角稱為偏向角，由圖4

的幾何關(guān)系知b=(…2)+&_/)=%+,-a。其中sin4=nsini?,sinz；=〃sini[①

當(dāng),；，a很小時(shí)，”應(yīng)2，應(yīng)；=，；即5=(H-1)a

厚度不計(jì)頂角a很小日勺三棱鏡稱之為光楔，對(duì)近軸光線而言，B與入射角人?小無(wú)關(guān)，各成像

光線經(jīng)光楔后都偏折同樣為角度8,因此作光楔折射成像光路圖時(shí)可畫(huà)成一使光線產(chǎn)生偏折

角的薄平板，圖5。設(shè)物點(diǎn)S離光楔L則像點(diǎn)￡在S的正上方。h=/b=(n-l)a〃?=A>

<n-l)al.②當(dāng)棱鏡中折射光線相對(duì)于頂角a對(duì)稱成等接三角形時(shí)，.=/，"二4,

sin，；=sinz7=nsin—>b=2arcsin(〃sinq)-a或=/zsint這為棱鏡的最小

2222

偏向角5,此式可用來(lái)測(cè)棱鏡U勺折射率。

由于同一種介質(zhì)對(duì)不一樣色光有不一樣的折射率，多種色光的偏折角不一樣，因此白光

通過(guò)棱鏡折射后產(chǎn)生色散現(xiàn)象。虹和竟是太陽(yáng)被大氣中H勺小水滴折射和反射形成的色散現(xiàn)

象。陽(yáng)光在水滴上經(jīng)兩次折射和一次反射如圖6。形成內(nèi)紫外紅H勺虹；陽(yáng)光經(jīng)小滴兩次折射

和兩次反射如圖7,形成內(nèi)紅外紫口勺霓。由于竟通過(guò)一次反射，因此光線較弱，不輕易看?到。

(51NBrl

3.4費(fèi)馬原理

費(fèi)馬原理指出，光在指定的兩點(diǎn)之間傳播，實(shí)際H勺光程總是為最大或保持恒定，這里的

光程是指光在某種均勻介質(zhì)中通過(guò)日勺旅程和該種媒質(zhì)口勺折射率的乘積。

費(fèi)馬原理是幾何光學(xué)中的一種十分重要的基本原理,從寬?cǎi)R原理可以推導(dǎo)出幾何光學(xué)中

的諸多重要規(guī)律。例如光時(shí)育線傳播、反射定律，折射定律，都可以從光，程極小推出。假如

反射面是一種旋轉(zhuǎn)橢球面，而點(diǎn)光源置于其一種焦點(diǎn)上，所有反射光線都通過(guò)另一種焦點(diǎn)，

所有反射光線都通過(guò)另一種焦點(diǎn)，便是光程恒定的一種例子。此外，透鏡對(duì)光線的折射作用,

也是很經(jīng)典“勺。

一平凸透鏡口勺折射率為"，放置在空氣中，透鏡面孔的半徑為R。

在透鏡外主光軸上取一點(diǎn)尸，°F,=『（圖8）。當(dāng)平行光沿

主光軸入射時(shí)，為使所有光線均會(huì)聚于b'點(diǎn)。試問(wèn)：

（1）透鏡凸面應(yīng)取什么形狀？圖8

（2）透鏡頂點(diǎn)A與點(diǎn)。相距多少？

（3）對(duì)透鏡的孔徑￡有何限制?

解：根據(jù)費(fèi)馬原理，以平行光入射并會(huì)聚的所有光線應(yīng)有相等的光程，即最邊緣的光

線3戶與任一條光線NMb'H勺光程應(yīng)相等。由此可以確定凸面的方程。

（1）取。一5y坐標(biāo)系如圖，由光線39和NA/UH勺等光程性，得

，tr+J（/'-x）2+y2=J/，2+R2

整頓后，得到任一點(diǎn)My）的坐標(biāo)x,y應(yīng)滿足的方程為

,2nf〃77再次-廣丫2（礦-JL+R2）2

5-1）尤------------------=------------------

〃~一］n"-1

\7

令_nyjf-+R2-f\硬‘_、//△+”,則上式成為

”。一〃2_|"〃—

（〃2一］）（犬一/）2一）,2=/這是雙曲線的方程，由旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，透鏡日勺凸面應(yīng)是旋轉(zhuǎn)雙曲

面O

（2）透鏡頂點(diǎn)A的位置應(yīng)滿足（/_［）（4_/）2=Q2

或者〃仃2+R2r.可見(jiàn)，對(duì)『一定的〃和廣，X由R決定。

V^T―1

（3）因點(diǎn)尸在透鏡外，即/0廣，這是對(duì)RH勺限制條件，有Jr'+N—r"尸

；?-1

即規(guī)定_］『

討論：在極限情形，即二T/'時(shí)，有：/_卜+（〃21）尸一，_/

n-\

即點(diǎn)A與點(diǎn)尸，重疊。又因X。=a=0o故透鏡凸面的雙曲線方程變?yōu)?/p>

n2-1

r，

（〃2_1）（x_/，）2_/=0即y=±y［n-\（X-f）

雙曲線退化成過(guò)點(diǎn)尸IJ勺兩條直線，即這時(shí)透鏡的凸面變成認(rèn)為產(chǎn)

頂點(diǎn)的圓錐面，如圖9所示?？紤]任意一條入射光線MN,由折射

1

定律有〃sin0=sinOt,由幾何關(guān)系sin6>=cos。=...

xf，2+R2

故.。"萬(wàn)餐T

即所有入射歐I平行光線折射后均沿圓錐面到達(dá)點(diǎn)F'，此時(shí)的I角夕就是全反射的臨界角。

例題講解:

例1、半徑為R的半圓柱形玻璃磚，橫截面如圖10所示。。為

圓心。已知玻璃的折射率為‘2。當(dāng)光由玻璃射向空氣時(shí)，發(fā)生

全反射的臨界角為45。，一束與MN平面成45°的平行光束射到

玻璃磚11勺半圓柱面上，經(jīng)玻璃折射后，有部分光能從MN平面上射出。求能從MN平面射出

時(shí)光束11勺寬度為多少？

分析：如圖11所小。進(jìn)入玻璃中日勺光線①垂直半球面，沿半徑方向直達(dá)球心，且入射角等

于臨界角，恰好在。點(diǎn)發(fā)生全反射，光線①左側(cè)的光線經(jīng)球面折射后，射在MN上的入射

角都不小于臨界角，在MN上發(fā)生全反射，不能從射出，光線①右側(cè)一直到與球面恰好

相切的光線③范圍上的光線經(jīng)光球面折射后，在MN面上的入射角均不不小于臨界角，都能

從面上射出，它們?cè)贛NJL的出射寬度即是所規(guī)定口勺。

解：圖11中，3。為沿半徑方向入射的光線，在。點(diǎn)恰好發(fā)生全反射，入射光線③在C點(diǎn)

與球面相切，此時(shí)入射角j=9(y,折射角為r,則有sini=〃sinLsinr=?=滅，

n2

即廠=45°。這表達(dá)在。點(diǎn)折射時(shí)光線將垂直MN射出，與MN相交于E點(diǎn)。MN面上OE

RIs

討論：假如平行光束是以45。角從空氣射到半圓柱日勺平面表面上，如圖12所示，此時(shí)從半

圓柱面上出射日勺光束范圍是多大？見(jiàn)圖13所示，由折身定律sin45，=J^sinr，得

sin〃='，廠=30°，即所有折射光線與垂直線的夾角均為30。?？紤]在七點(diǎn)發(fā)生折射H勺折

2、

射光線EA,假如此光線忖］好在A點(diǎn)發(fā)生全反射，則有小由ZEAO=sin900,而〃=拒，

即有NEAO=45°，因EA與平行，因此NE4O=NAO8=45°，因此

8=180°-45°-60,=75"，即射向A點(diǎn)左邊MA區(qū)域的折射光（0<45°）因在半圓柱

面上的入射角均不小于4￡。的臨界角而發(fā)生全反射不能從半圓柱面上射出，而A點(diǎn)右邊的光

線（夕>45°）則由小不小于臨界角而能射出，伴隨山角日勺增大，當(dāng)N/00=45°時(shí)，將在

。點(diǎn)再一次到達(dá)臨界角而發(fā)生全反射，此時(shí)NFOC=15。故知可以從半圓柱球面上出射H勺

光束范圍限制在AC區(qū)域上，對(duì)應(yīng)的角度為75,165°。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)的作出光路圖并抓住對(duì)邊界光線的分析是解答問(wèn)題的兩個(gè)重要方向。

例2、給定一厚度為d的平行平板，其折射率按下式變化〃（幻二」^

1----

r

一束光在O點(diǎn)由空氣垂直入射平板，并在A點(diǎn)以角a出射（圖14）。求A點(diǎn)的折射率恒，

并確定A點(diǎn)W、J位置及平板厚度。（設(shè)〃（）=1.2,r=13c〃?,a=30）0

解：首先考慮光的路線（圖15）。對(duì)于通過(guò)一系列不一樣折射率的平行平板的透射光，可以

應(yīng)用斯涅耳定律也2二"，空屋二叢…更簡(jiǎn)樸的形式是

sinp2〃|sin片〃2

n,sin1=n2sin=nisin夕3=…這個(gè)公式對(duì)任意薄層都是成立歐U在我們改T情形里，

折射率只沿A-軸變化,即〃xsin瓦=常數(shù)

在本題中，垂直光束從折射率為no的點(diǎn)入射，即應(yīng)=〃0,乩=90”為常數(shù)，于是在平板內(nèi)

任一點(diǎn)有〃、.sin氏二〃0，〃、與勺關(guān)系已知，因此沿平板中的光束為

.々〃0[xr-x

sm/7v=-^-=1——=----

仁rr

圖（16）表明光束的J途徑是一種半徑為XC=rH勺圓，從而有空二二二sin￡

XCx

目前我們已懂得光日勺途徑，就有可能找到問(wèn)題的解答。按折射定律，當(dāng)光在A點(diǎn)射出F寸，

sina_sina

有〃八因?yàn)閟inPR=〃（），故有sin。,

sin(90-fiA)cospAnA

=+sin2a

1”1.2

在本題情形%=1.3,根據(jù)〃八一2—一工，得出A點(diǎn)的x坐標(biāo)為x=/c〃?。

八1---

13

光線的軌跡方程為）,2+（]+x）2=f,2。代入x=/cw,得到平板厚度為產(chǎn)"二5皿

例3、圖17表達(dá)一種盛有折射率為〃的液體口勺槽，槽的中部扣著一種對(duì)稱屋脊形的薄壁透

明罩人，D,B,頂角為20,罩內(nèi)為空氣，整個(gè)罩子浸沒(méi)在液體中，槽底人8的中點(diǎn)處有一

種亮點(diǎn)C。祈求出：位于液面上方圖標(biāo)平面內(nèi)H勺眼睛從側(cè)面觀測(cè)可看到亮點(diǎn)的條件。

解：本題可用圖示平面內(nèi)的光線進(jìn)行分析，并只討論從右側(cè)觀測(cè)的情形。如圖18所示，由

亮點(diǎn)發(fā)出日勺任一光線CP將通過(guò)兩次折射而從液面射出。由折射定律，按圖上標(biāo)識(shí)日勺各有關(guān)

角度有sina="sin/?（1）sin/=—sin^（2）其中（5（萬(wàn)/2，加工4/2（夕+0）（3）

n

假如液內(nèi)光線入射到液面上時(shí)發(fā)生全反射，就沒(méi)有從液面射出口勺折射光線。全反射臨界角Y?

應(yīng)滿足條件siny,=1/H,可見(jiàn)光線CP經(jīng)折射后能從液面射出從而可被觀測(cè)到的條件為

/</（4）或sin/=l/〃（5）

目前計(jì)算siny，運(yùn)用（3）式可得sin/=cos（/7+e）=cos/7cose-sin/7sin0

由（1）式可得cos￡=J1一（隨4）=—yjn2-sin2a

由此〃sin/=cos^J/?2-sin2or一〃sincsin0

又由（1）式〃siny=cos°J〃2—sip?a—"sinasing（6）

由圖及（1）、（2）式，或由（6）式均可看出，a越大則），越小。因此，假如與a值最大的

光線對(duì)應(yīng)的y設(shè)為y,“>九，則任何光線都不能射出液面。反之，只要匕“《九，這部分光

線就能射出液面，從液面上方可以觀測(cè)到亮點(diǎn)。由此極端狀況即可求出本題規(guī)定的J條件。

自C點(diǎn)發(fā)出H勺a值最大的光線是極靠近COH勺光線，它被03面折射后進(jìn)入液體，由（6）

式可知與之對(duì)應(yīng)的a=乃/2-。，〃siny,“=cos叭-cos2（p-cos0sin°<1

能觀測(cè)到亮點(diǎn)的條件為〃sin九1v1，即cosoj”?—cos?cp-cosQsincp<1

」:式山與成cosed/-cos2(p<1+cos°sine

取平方cos?(p(n2-cos2(p)<1+2cos^sin^>+cos2^(1-cos2(p)

222

化簡(jiǎn)后得(〃2_cos°)vi+2cos『sin0=cos^>+sin+2cos^>sin(p

故面-l)cos2(p<(cos夕+sin。)2，平方并化簡(jiǎn)可得tan。>7A?2-1-1

這就是在液面上方從側(cè)面合適H勺方向能看到亮點(diǎn)時(shí)〃與中之間應(yīng)滿足條件。

例4、如圖19所示，兩個(gè)頂角分別為%=60和=30"的棱鏡膠合

瓦

a%=%H——

在一起（△c=9（r）。折射率由下式給出：牙；

公一=。2十H點(diǎn)，其中%=1.皿=10'，〃吃

42

a2=1.3也=5x107?/n

1、確定使得從任何方向入射的光線在通過(guò)AC面時(shí)不發(fā)生折射的波長(zhǎng)2。。確定此情形H勺折

射率可和“2八

2、畫(huà)出入射角相似的、波長(zhǎng)為“紅、％和“藍(lán)的三種不一樣光線的途徑。

3、確定組合棱鏡的最小偏向角。

4、計(jì)算平行于DC入射且在離開(kāi)組合棱鏡時(shí)仍平行于0cH勺光線的波長(zhǎng)。

解：1、假如〃1=&,則從不一樣方向到達(dá)AC面的波長(zhǎng)為4H勺光線就不折射，即

%H—7=a,4—?因而％=J瓦=500〃〃?，在此情形下nt-n2=1.5。

益益、4一四

2、對(duì)波長(zhǎng)比4長(zhǎng)的紅光，々和％均不不小于1.5。反之，對(duì)波長(zhǎng)比4短的藍(lán)光，兩個(gè)折

射率均比1.5要大。目前研究折射率在AC面上怎樣變化。我們已懂得，對(duì)波長(zhǎng)為久的光,

n2/n}=1o

假如考慮波長(zhǎng)為兒「而不是人）口勺光，則由于4>>，因此n2/?1>1-同理，對(duì)藍(lán)光有

4/修<1。目前我們就能畫(huà)出光線穿過(guò)組合棱鏡的途徑了（圖20）。

3、對(duì)波長(zhǎng)為久的光，組合棱鏡可看作頂角為30。、折射率為〃=/.5口勺單一棱鏡。

我們懂得，最小偏向在對(duì)稱折射時(shí)發(fā)生，即在圖21中的a角相等時(shí)發(fā)生。根據(jù)折射定律，

=咚=1.5.因而a=22°50'，偏向角為0="一30°=15Z0'

sin15

4、運(yùn)用圖22中的數(shù)據(jù)，可以寫(xiě)出電1即_=〃；*in⑹一嘰消去a后得

sina1sin30"]

=詔+%+1，經(jīng)變換后得（3〃；_冠_電-1）24+（6/仇一2地）萬(wàn)+3b：-b;=0

這是42的二次方程。求解得出；[=1.18”

例5、玻璃圓柱形容器的壁有一定口勺厚度，內(nèi)裝一種在紫外線照射下會(huì)發(fā)出綠色熒光的液體,

即液體中的每一點(diǎn)都可以成為綠色光源。已知玻璃對(duì)綠光的折射率為々，液體對(duì)綠光的折

射率為〃2。當(dāng)容器壁的內(nèi)、外半徑之比七K為多少時(shí)，在容器側(cè)面能看到容器壁厚為零？

分析：所謂“從容器側(cè)面能看到容器壁厚為零”，是指眼在容器截面位置看到綠光從C點(diǎn)處

沿容器外壁曰勺切線方向射出，即本題所描述為折射角為90。打勺臨界折射。因?yàn)轭}中未給出721、

%的大小關(guān)系，故需要分別討論。

解：(1)當(dāng)〃1<〃，時(shí)，因?yàn)槭且?guī)定r：R的I最小值，因此當(dāng)修時(shí)，應(yīng)考慮的J是圖1?3?23

中48C。這樣一種臨界狀況，其中8c光線與容器內(nèi)壁相切，CD光線和容器外壁相切，即

兩次都是臨界折射，此時(shí)應(yīng)該有型且=-!-

sin90

設(shè)此時(shí)容器內(nèi)壁半杼為7,在直角二角形ACO中,sini?=々/我0當(dāng)rvq時(shí),。處不可

能發(fā)生臨界折射，即不可能看到壁厚為零；當(dāng)廠〉％時(shí)，熒光液體中諸多點(diǎn)發(fā)出時(shí)光都能在

C處發(fā)生臨界折射，因此只要滿足r/R21/“，即可看到壁厚為零。

(2)當(dāng)々二"2時(shí)一口”

此時(shí)熒光液體發(fā)出的光線將直接穿過(guò)容器內(nèi)壁，只要在C。及其延長(zhǎng)線上有發(fā)光體，即可看

到壁厚為零，因此此時(shí)應(yīng)滿足條件仍然是“R21o

(3)當(dāng)%>%時(shí)

因?yàn)榈ぁ怠?，，因此熒光液體發(fā)出時(shí)光在容器內(nèi)壁上不可能發(fā)生折射角為90。日勺臨界折射，

因此當(dāng)r=F時(shí)，所看到的壁厚不可能為零了。當(dāng)廠>不時(shí)，應(yīng)考慮的)是圖24中ABCD這

樣一種臨界狀況，其中4B光線的入射角為90。，8c光線的折射角為外，此時(shí)應(yīng)該有

空”二2，在直角三角形OBE中有sinq=QE/OB，因?yàn)閳D23和圖24中的心侑是

sinr,In4.

cif)Q(ViiR

相似的，因此OE=r。，即契絲將？=一代入，可得當(dāng)r/RN"丐時(shí)，可看

rjrn2勺

到容器壁厚度為零。

上面的討論，圖23和圖24中〃點(diǎn)和C點(diǎn)的位置都是任意H勺，故所得條件對(duì)眼H勺所有位置

均能成立。

例6、有一放在空氣中的玻璃棒，折射率中心軸線氏L=45cm,一端是半徑為叫=10cm

的凸球面。

（1）要使玻璃棒的作用相稱于一架理想H勺天文望遠(yuǎn)鏡（使主光軸上無(wú)限遠(yuǎn)處物成像于主光

軸上無(wú)限遠(yuǎn)處H勺望遠(yuǎn)系統(tǒng)），取中心軸為主光軸，玻璃棒另一端應(yīng)磨成什么樣的球面？

（2）對(duì)于這個(gè)玻璃棒，由無(wú)限遠(yuǎn)物點(diǎn)射來(lái)日勺平行入射光束與玻璃棒口勺主光軸成小角度例時(shí),

從棒射出日勺平行光束與主光軸成小角度求82（此比值等于此玻璃棒的望遠(yuǎn)系統(tǒng)日勺

視角放大率）。

分析：首先我們懂得對(duì)于一種望遠(yuǎn)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，從主光軸上無(wú)限遠(yuǎn)處物點(diǎn)發(fā)出H勺入射光線為

平行于主光軸H勺光線，它通過(guò)系統(tǒng)后的出射光線也應(yīng)與主光軸平行，即像點(diǎn)也在主光軸上無(wú)

限遠(yuǎn)處，然后我們?cè)龠\(yùn)用正弦定理、折射定律及的小角度近似計(jì)算，即可得出最終成果。

解：（1）對(duì)于一種望遠(yuǎn)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，從主光軸上無(wú)限遠(yuǎn)處的物點(diǎn)發(fā)出H勺入射光為平行于主光軸

的光線，它通過(guò)系統(tǒng)后H勺出射光線也應(yīng)與主光軸平行，即像點(diǎn)也在主光軸上無(wú)限遠(yuǎn)處，如圖

25所示，圖中G為左端球面日勺球心。由正弦定理、折射定律和小角度近似得

"萬(wàn)一用二sin〃?！?1=1①即"_1=」_②

&sin"；—1）（Z）//,）n-\凡n-\

光線PF.射至另一端面時(shí)，其折射光線為平行于主光軸的光線，由此可知該端面的球心C2一

定在端面頂點(diǎn)5口勺左方，G6等丁球面的半徑自，如圖25所示。

仿照上面對(duì)左端球面上折射的關(guān)系可得竺L_i=_L-③

R?n-\

又有西=心_函④，由②@④式并代入數(shù)值可得A?=5?！á?/p>

即右端應(yīng)為半徑等于5切?的向外凸面球面。

（2）設(shè)從無(wú)限遠(yuǎn)處物點(diǎn)射入的平行光線用〃、〃表達(dá),令“過(guò)G,〃過(guò)A.如圖26所示.

則這兩條光線經(jīng)左端球面折射后的相交點(diǎn)M,即為左端球面對(duì)此無(wú)限遠(yuǎn)物點(diǎn)成的像點(diǎn)c

目前求M點(diǎn)的位置。在AAGM中———=￡U_=---&-----⑥

sin（左一口）sin@sin（^-（p\）

AMR}

又〃sin%'=sin臼⑦已知?dú)w、〃均為小角度，則有廠⑧，與②式比較可知，

n

而。麗，即M位于過(guò)垂直于主光軸的平面上。上面已知，玻璃棒為天文望遠(yuǎn)系統(tǒng)，

則但凡過(guò)M點(diǎn)的傍軸光線從棒的右端面射出時(shí)都將是相互平行H勺光線。輕易看出，從M射

向CJ向光線將沿原方向射出，這也就是過(guò)M點(diǎn)的任意光線（包括光些。、b）從玻璃棒射

出的平行光線口勺方向。此方向與主光軸的夾角即為°,。區(qū)=絲_=絲二A⑨，由②③

-6G片BF「R?

式可得竺一飛一旦,則竺=4_=2⑩

電—&R29\%

幾何光學(xué)

§4球面反射和折射

4.1球面鏡成像

（1）球面鏡的焦距球面鏡的反射仍遵從反射定律，法線是球面的半徑。一束近主軸的平行

光線，經(jīng)凹鏡反射后將會(huì)聚于主軸上一點(diǎn)尸（圖1）,這F點(diǎn)稱為凹鏡的焦點(diǎn)。一束近主軸

的平行光線經(jīng)凸面鏡反射后將發(fā)散，反向延長(zhǎng)可會(huì)聚于主軸上一點(diǎn)尸（圖2）,這尸點(diǎn)稱為

凸鏡的虛焦點(diǎn)。焦點(diǎn)

F到鏡面頂點(diǎn)0之間

的J距離叫做球面鏡的

焦距￡可以證明，球

面鏡焦距/等于球面半徑RH勺二分之一，即/'='

2

（2）球面鏡成像公式

根據(jù)反射定律可以推導(dǎo)出球面鏡的成像公式。下面以凹鏡為例來(lái)推導(dǎo)：（如圖3所示）

設(shè)在凹鏡的I主軸上有一種物體S,由S發(fā)出日勺射向凹鏡時(shí)光線鏡面A點(diǎn)反射后與主軸交于s，

點(diǎn)，半徑CA為反射的法線，S，即S的j像。根據(jù)反射定律，ZSAC=ZSrAC'則CA

Aq「q

為SAS'角A日勺平分線，根據(jù)角平分線日勺性質(zhì)有①

AS'CSf

由為S4為近軸光線，因此AS'=S'O，AS=SO,①式可改寫(xiě)為"=空②

OS'CS'

②式中OS叫物距〃，°S'叫像距V,設(shè)凹鏡焦距為f,則CS=°S-°C=〃-2/,

CS'=℃-°S'=2/-u代入①式四=巴二2￡,化簡(jiǎn)即可。

U2f-u

這個(gè)公式同樣合用于凸鏡，使用球面鏡的成像公式時(shí)要注意：凹鏡焦距/取正，凸鏡焦距/

取負(fù)；實(shí)物〃取正，虛物〃取負(fù)：實(shí)像V為正，虛像V為負(fù)。-+-=-

uuJ

上式是球面鏡成像公式。它合用于凹面鏡成像和凸面鏡成像，各量符號(hào)遵照“實(shí)取正，虛取

負(fù)”的原則。凸面鏡的焦點(diǎn)是虛的I，因此焦距為負(fù)值。在成像中，像長(zhǎng)和物長(zhǎng)"之比為成

/?/U

m=—=—

像放大率，用機(jī)表達(dá)，h11

由成像公式和放大率關(guān)系式可以討論球面鏡成像狀況，對(duì)于凹鏡，如表I所列：對(duì)于凸鏡,

如表I